Volatilità e informazione implicita

1. Volatilità e informazione implicita

2. Il modello di Black & Scholes • Il modello di Black & Scholes è basato sull’assunzione di distribuzione normale dei rendimenti. Si tratta di un modello nel tempo continuo. Ricordando la definizione di prezzo forward F(Y,t) = Y(t)/v(t,T) U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

3. Prezzi di opzioni put • Dalla relazione di parità put-call e dalla proprietà della normale standard secondo la quale: 1 – N(a) = N(– a) otteniamo U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

4. Volatilità implicita • La volatilità utilizzata è selezionata per ottenere prezzi coerenti con quelli osservati sul mercato. • Questo concetto è noto come volatilità implicita e rappresenta un esempio di informazione implicita estratto dai dati di mercato. • Si noti che il modello di Black e Scholes è basato sull’ipotesi che la volatilità sia costante. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

5. Il mondo di Black e Scholes • La volatilità è costante, che equivale a dire che i rendimenti sono distribuiti normalmente • I portafogli di replica sono ribilanciati senza costo nel tempo continuo, e i derivati possono essere replicati esattamente (mercati completi) • I derivati non sono soggetti a rischio di controparte cioè il rischio che la controparte possa non tenere fede alle proprie oibbligazioni. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

6. Oltre Black & Scholes • Il modello di Black & Scholes implica la stessa volatilità per ogni contratto derivato • Dal crash del 1987, questa regolarità non è supportata dai dati • La volatilità implicita varia per diversi strike (smile effect) • La volatilità implicita varia per diverse date di esercizio (struttura a termine di volatilità) • Il sottostante non ha distribuzione log-normale. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

7. Smile, please! U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

8. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

9. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

10. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

11. U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

12. Informazione implicita • Nel mondo di Black e Scholes, a volatilità costante, e distribuzione normale dei rendimenti, la volatilità implicita di una opzione qualsiasi racchiude tutta l’informazione implicita nei mercati. • Dopo Black e Scholes, si prova a estrarre da tutte le opzioni scambiate sul mercato per una stessa data di esercizio l’intera distribuzione aggiustata per il rischio dei prezzi (informazione implicita) utilizzando l’approccio di Breeden e Litzemberger. • Più recentemente prezzi di opzioni con strike e tempi di esercizio diversi sono stati utilizzati per estrarre la dinamica implicita dei prezzi (alberi impliciti) U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

13. Digitali… U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

14. …e spread verticali (super-replica) U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

15. Probabilità implicita nelle call… • Ricordiamo che il valore dell’opzione digitale cash-or-nothing (CoN) è dato da Digital Call CoN = P(t,T)Q( S(T) > K) • Sappiamo anche che il pay-off può essere approssimato da …da cui U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

16. …e nelle put • La stessa analisi può esser fatta per l’opzione put digitale, cioè che paga un’unità di valuta se S(T)  K Digitale Put CoN = P(t,T)Q( S(T)  K) • Allo stesso modo l’approssimazione da dati di mercato è …da cui U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

17. Probabilità implicita S&P Mib – Aprile U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

18. Probabilità implicita S&P Mib Maggio U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

19. Eventi estremi: aprile U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

20. Eventi estremi: maggio U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna

21. Alberi Impliciti U. Cherubini / G. Lusignani - Università di Bologna