Corso di introduzione alla finanza quantitativa matematica computazionale
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Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa ( matematica computazionale ). Desenzano 10/11 Settembre 2011 17/18 Settembre 2011 A cura di: Luigi Piva www.intermarketstrategies.eu Equity Line Solutions – Londra. www.intermarketstrategies.eu. MODULO 3 

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Corso di introduzione alla finanza quantitativa matematica computazionale

Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa(matematicacomputazionale)

Desenzano

10/11 Settembre 2011

17/18 Settembre 2011

A cura di:

Luigi Piva

www.intermarketstrategies.eu

EquityLineSolutions – Londra


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www.intermarketstrategies.eu


Corso di introduzione alla finanza quantitativa matematica computazionale

MODULO 3 

  Sabato 17 settembre  h10.00-13.00 e 14.30-18.00 

STRATEGIE QUANTITATIVE D’INVESTIMENTO

1-     Analisi economica delle alternative:

1.1   descrizione delle opportunità d’investimento;

1.2   Strategie d’investimento

1.3   Valutazione dei titoli azionari

 2-     La decisione tra diverse alternative:

2.1   Tipi di proposte d’investimento;

2.2   Opzioni

2.3   Derivati sui tassi si interesse

2.4   Ottimizzazione di portafoglio


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Teoriadell’utilità

La massimizzazionedell’utilitàattesa, riconosciuta come criteriogeneraledi

decisione in condizionidiincertezza, costituisce un obiettivoditipoglobale,

nelsensocheraccogliedirettamente in unasintesi finale tutti I singoli

elementidigiudiziochepossonoconcorrere, anche in manieracontrastante

traloro, a determinare la preferibilitàdiunasceltarispetto ad un’altra.

Moltospessosiottieneunadescrizionepiùchiara del problemadecisionale

disaggregandol’obiettivoglobale in piùobiettiviparziali; taliobiettivi

andrannodapprimaconsideratiseparatamente e poi armonizzatitraloro in

unafase finale, nellaqualeilmiglior “compromesso” verràindividuato

perseguendol’obiettivoglobale.


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Teoriadell’utilità

Un esempiotipicodiquestomododiprocederesi ha nel campo delle “scelte

pubbliche”, quandovogliamorappresentare le preferenzediunacollettività

organizzatadiindividui, intesa come un’unicaentità, attraversouna “funzione

diutilitàsociale”.

In questocontestorisulteràsignificativoconsideraredapprima come obiettivi

parziali le preferenze, generalmentecontrastanti, deisingoliindividui, per

conglobarli , poi, armonizzandolinelmodogiudicatopiùidoneorispetto a

certicriteriprefissati, nellafunzionedipreferenzacollettiva.


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Misuredirischiosità

Nell’ambitodellateoriadelledecisionifinanziarie in condizionidiincertezza è

espressivoscomporreilcriteriodellamassimizzazionedell’utilitàattesa

introducendo due obiettiviparziali, consistenti, intuitivamente, nella

massimizzazione del profittodauna parte, e nellaminimizzazione del rischio

dall’altra.

Con riferimentoall’individuo I, dotatodifunzionediutilitàu(x), chedeve

valutare la situazionefinanziariaincerta X, la decomposizionepuòessere

effettuata in modorigorosodefinendounamisuradirischiositàdi X come:

avendoindicato con U(X) l’utilitàattesa E[u(X)]


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Come risultadalladiseguaglianzadi Jensen e, più in generale, dalle

considerazionisvolte in precedenza, questamisuradirischiosità non è mai

negativa e siannulla solo neicasiestremidivariabilealeatoria X degenere .

Esempio: se l’individuo I è dotatodifunzionediutilitàquadratica

L’equazioneprecedentefornisce:


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Datoche, per costruzione, è:

La massimizzazionedell’utilitàattesadovràottenersicontemperando in

qualchemodo la massimizzazionediu[E(X)] e la minimizzazionediϕ(X).

Dato che u(x) è una funzione monotona di x, il primo di questi obiettivi si

riduce a massimizzare E(X).

Restano quindi individuati due criteri di scelta parziali, che consistono l’uno

nel rendere massimo il valore atteso dell’importo incerto X, l’altro nel rendere

quanto più piccola possibile la rischiosità.


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L’utilitàattesa come funzionedirischio e rendimento

L’espressivitàdiquestoapprocciorisultaevidente se sirappresentano la

rischiosità e la speranzamatematicadi X su un piano cartesiano, secondoil

metodotipicodellacosiddettaanalisirischio-rendimento.

Per semplicitàdinotazioneindicheremo con m la speranzamatematicadi

E(X) e con ϕla rischiosità di ϕ (X). Evidentemente, ogni possibile posizione

finanziaria sarà caratterizzata da un valore della media e da un valore della

rischiosità; sarà quindi rappresentata da un punto P nel piano (ϕ ,m) .

Di conseguenza l’insieme X delle opportunità avrà la forma di un sottoinsieme

del piano (ϕ ,m) .


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L’utilitàattesa ha la forma:

Geometricamente, ad ognipunto P rappresentativodiunaposizione

finanziariaincerta X, corrisponderà un valoredellafunzione U(P) e quindi

l’utilitàattesasaràrappresentatadaunasuperficienellospazio a tre

dimensioni (ϕ , m, U) defnitasull’insiemeX delleopportunità.

Ragionandonel piano (ϕ , m) sipuòassumereche u(x) siaderivabilealmeno

due volte. La derivataparzialediUrispetto a m è positiva, essendo


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Quindisipuòaffermarechetra due puntiaventi la stessaascissaϕ sarà

preferitoquelloaventeordinata m maggiore, datochel’utilitàattesa U è

funzionecrescentedi m, per ϕfissata. Analogamente, la derivataparzialedi

Urispetto a ϕ è negativa:

Conseguentemente, comunquepresi due puntisullaretta m= costante, sarà

preferitotraessiquello con valoreminoredell’ascissaϕ .


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Nellafigura, ad esempio A> B, datoche , a paritàdirischiosità, ilpunto A

corrisponde ad unasituazionefinanziaria con valoreattesomaggiore


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Analogamente è C>D, poiché, per uno stesso livello di importo atteso, la

posizione C è caratterizzata da un valore più basso della rischiosità.

Naturalmente questo semplice criterio introduce un ordinamento soltanto

parziale, come subito si verifica osservando che le posizioni corrispondenti ai

punti B e C, ad esempio, risultano tra loro non confrontabili.

La rappresentazionecompletadellepreferenzepotràottenersi solo

considerandocongiuntamentegliobiettivied m attraverso la valutazione

dellafunzioneU(ϕ ,m) . Le ipotesigeneralisullafunzionediutilitàpermettono

diricavarel’andamentoqualitativodellelineedilivellodellasuperficie

U(ϕ ,m) , cioè la forma del luogodeipunti del piano (ϕ ,m) che

corrispondono ad unostessolivello u0dell’utilitàattesa e cherisultano

pertantoindifferentitraloro.


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Queste linee di livello, dette curve di indifferenza, sono implicitamente

descritte dall’equazione U (ϕ ,m) = u0 dove u0 assume il significato di un

parametro che contraddistingue tra di loro le singole curve. Dato che u(x)

È dotata di inversa, l’equazione:

Può essere risolta rispetto ad m, fornendo quindi l’espressione della curva di indifferenza con utilità attesa u0 , si ha:


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La derivata prima ha la forma:

Ed è quindi positiva, per l’ipotesi di crescenza su u(x)(u’(x)>0)

Calcolando la derivatasecondasiottiene:


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Anch’essa positiva per la crescenza e concavità di u(x)(u’’(x)<0). Si conclude

quindi che le curve di indifferenza nel piano (ϕ ,m) sono funzioni crescenti e

convesse in ϕ . Dato che U (ϕ ,m) cresce al crescere di m e al decrescere di ϕ,

muovendosi in direzione “nord-ovest” nel piano (ϕ ,m) si incontraranno curve

di indifferenza corrispondenti a valori crescenti di utilità attesa.

Nella figura sono illustrate curve di indifferenza relative ai valori u0, u1, u2

dell’utilità attesa, con u0 < u1 < u2 .

Le posizioni A e C sono indifferenti, perché hanno utilità attesa uguale a u2

La posizione D è preferita alla B, perché è indifferente a B’ che, a sua volta, è

preferita a B .


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FrontieradelleOpportunità e FrontieraEfficiente

Il problemadellamassimizzazionedell’utilitàattesa è significativo solo in

presenzadivincolisullevariabilidecisionaliϕ e m ; in assenzadilimitazioni

sullarischiosità e sulvaloreattesodi X, infatti, esisteràsempre la soluzione

banaleϕ = 0 e m = ∞ .

In tutti I casidiinteressepraticol’insiemedelleopportunitàXsaràquindi

rappresentatoda un sottoinsiemeproprio del piano (ϕ , m) .

Nell’insiemeXrivestono un ruolologicamenteimportante le opportunitàdi

frontiera. Unaopportunitàdifrontiera è definita come l’opportunitàche la

minima rischiositàtratutte le opportunitàchehanno la stessasperanza

matematica.


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Per ognilivellofissatodi m0, del valoreatteso E(X), la corrispondente

opportunitàdifrontierasaràsoluzione del problema:

Geometricamente, fissatoillivellom0, l’opportunitàdifrontierasarà

rappresentatadalpuntoP0di x alla cui destrasisituanotuttiglialtripuntiX

chegiaccionosullarettaorizzontalem = m0.

Talipunti-opportunitàsarannotuttidominatidaP0, nelsensodellarelazione

dipreferenza> .


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Al variaredim0, vengono individuate in X tutte le opportunitàdifrontiera, che

costituisconoappunto la frontieradiX, o frontieradelleopportunità, che

indicheremo con B .

Sulla frontieraBpossonoesisteredelleopportunitàcaratterizzatedallastessa

rischiosità, ma diversasperanzamatematica; possonocioèesisteredeipunti

difrontierasituatisullerettaverticaleϕ = ϕ0 .

Si definiscealloraopportunitàefficienteogniopportunitàdifrontierache ha

massimovaloreattesofratutte le opportunitàdi B aventiuguale

rischiositàϕ0 .


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Unaopportunitàefficiente è quindisoluzione del problema:

Il luogodelleopportunitàefficienti, corrispondentiaidiversivaloridiϕ0 , è un

sottoinsiemeε dellafrontieraB , ed è chiamatofrontieraefficiente

dell’insimeX . Glielementichecompongono la frontieraefficiente

rappresentanodeipuntidiottimoparetiano, dalnomedell’economista

Vilfredo Pareto.


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Il procedimento in base al qualeabbiamodefinito la frontieraεgarantisce

infattiche non cisipuòspostaresudiessa per migliorareunodegliobiettivi

parziali, per es. Per aumentare la speranzamatematica, senzapeggiorare

l’altro, senzacioèaumentare la rischiosità.


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Con l’individuazionedellafrontieraefficienteεsiesaurisce la fasedi

ottimizzazione, consistentenell’analizzareseparatamentegliobiettiviparziali.

Il processodecisionalesaràrisoltoindividuandoilpuntodimassimo

dell’obiettivoglobaleU (ϕ ,m) , e questo non potràcheessereunodeipuntidi

ottimo. Si tratteràquindidiindividuareilpuntodellafrontieraefficiente

chesisituasullacurvadiindifferenzaU (ϕ ,m) = con valorepiù alto di

dellautilitàattesa.

Nellafigura , la zonaombreggiataindical’insiemeXdelleopportunità , allora

La linea continua che ne costituisceilcontornorappresenta le frontieradelle

opportunitàB .


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I punti P0, P1 e P2rappresentano le opportunitàdifrontiera relative ailivelli

disperanzamatematicaE(X) uguali a m0, m1 e m2, rispettivamente.

Il punto P1corrispondeall’opportunitàmenorischiosatratutte le

opportunitàdisponibili.

La porzionedellafrontieraBchecorrisponde a valoridimmaggiori,

evidenziati in nero, costituisce la frontieraefficienteε, cioèilluogodeipunti

diottimo.

Il puntodimassimo è ilpunto per cui si ha la massimautilitàattesa

tratutti I puntidiε , e quinditratutti I puntidiX . Come sivede è ilpunto

ditangenzatra la frontieraefficiente e la lineadiindifferenzaU = .


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I Modelli Media-Varianza

Secondol’approcciosviluppato in precedenza, con l’introduzionediobiettivi

parziali la massimizzazionedell’utilitàattesa per un individuoI puòessere

fattaprecederedaunafase in cui vengonoricercatesoluzioniottimenel

sensodi Pareto.

E’ importantesottolineareche con questaimpostazione la forma della

funzionediutilità, e quiandi la strutturadellepreferenzediI, non entra in

gioco solo nellasecondafase, ma svolge un ruoloimportanteanchenella

precedentefasediottimizzazione.


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Infatti la misuradirischiogeneralizzataϕ (X), definita in precedenza, dipende

essastessadallafunzionediutilità, la cui forma contribuiràquindianchealla

determinazionedellafrontieraefficiente. In moltimodellidecisionali, più

orientati verso le applicazionipratiche. È importanteindividuaredegli

obiettiviparzialidivalorepiùoggettivonelsensodipoteressereconsiderati

comuni ad un’interaclassediindividui, chepossonoesserepensati come gli

agentieconomicipartecipanti a un idealemercatofinanziario.

In questomodo la suddivisione del processodecisionalenelle due fasidi

ottimizzazione e dimassimizzazioneequivale a scomporrel’analisi

dell’incertezza in due momentidistinti.


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Dapprima ne vengonostudiatiglieffettisull’ambienteeconomico in cui I

decisoriagiscono, in n secondo tempo vengonointrodotte le considerazioni

sulcomportamentodeisingoli, specificando le preferenzeindividualidifronte

al rischio.

Nell’ambitodiunaconcezioneoggettivadellaprobabiltàrisulterànaturale

individuareobiettiviparzialideterminatiunicamentedallecaratteristiche

dellefunzionididistribuzione F(x) dellevariabilialeatorie X.

Si trattadi un mododiprocedereevidentemente in contrasto con la teoria

soggettivadelleprobabilità per la qualel’utilità e l aprobabilitàandrebbero

definite, almeno in via teorica, simultaneamente e congiuntamente, la

definizionestessadiprobabilitàsoggettivaessendo un casoparticolaredella

teoriadelledecisioni.


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Tuttavia, in moltesituazionirealisiconstatache è più facile trovareaccordo

tragliindividui a propositodelledistribuzionidiprobabilitàpiuttostochesul

gradodiavversione al rischio.

Ciò ha portato a svilupparemodellibasatisull’ipotesidi “homogeneous

expectations”, per cui, basandosisull’osservazionechel’uniformitàdi

aspettativesembracostituireunasituazionemoltomenoirrealistica

dell’uniformitàneilivellidiavversione al rischio, si assume chetuttigliagenti

economicicondividano le stesseopinioniprobabilistiche e sidifferenzino

solamente per la concavitàpiù o menoaccentuatadellafunzionediutilità.

Questotipodiapproccio, se inteso come una prima, gossolana

approssimazionedicertesituazionireali, puòessereconsideratoaccettabile

ancheda un puntodi vista soggettivista.


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Tra I possibiliobiettiviparzialiche un individuoI deveperseguire per

massimizzare la propriautilitàattesa U(X), la massimizzazione del valormedio

e la minimizzazionedellavarianzasono I piùimportantiedimmediati.

Ammettendoche la funzionediutilitàdi I siasviluppabile in seriedi Taylor e

scegliendo, ad esempio, come puntoinizialedellosviluppoilvaloreatteso

m=E(X) si ha:

Essendo R3ilrestoditerzoordine espresso dalla:


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