Métodos Numéricos Computacionais

1. Métodos Numéricos Computacionais Rodrigo Cristiano Silva rodrigo@facens.br

2. Regressão por Mínimos Quadrados • Quando um erro substancial estiver associado aos dados, a interpolação polinomial é inapropriada e pode produzir resultados insatisfatórios quando usada para prever valores intermediários; • Dados experimentais, em geral, são desse tipo; • A figura abaixo mostra sete pontos de dados obtidos experimentalmente exibindo variações significativas;

3. Regressão por Mínimos Quadrados • Se um polinômio de grau seis for ajustado a esses pontos (figura slide anterior), ele passará por todos os pontos, mas devido a variabilidade dos dados, a curva vai oscilar muito no intervalo entre os pontos; • Uma estratégia mais adequada para tais casos seria determinar uma função aproximadora que ajustasse a forma ou tendência geral dos dados sem necessariamente passar por todos os pontos; • Uma forma de fazê-lo é determinar a curva que minimize a discrepância entre os dados e os pontos da curva;

4. Regressão Linear • O exemplo mais simples de aproximação por mínimos quadrados é ajustar uma reta a um conjunto de pares de observação (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn); • A expressão matemática do ajuste por uma reta é: • onde a0 e a1 são coeficientes representando a intersecção com o eixo y e a inclinação, respectivamente, e e é o erro ou resíduo entre o modelo e a observação, o qual pode ser representado, reorganizando a expressão anterior:

5. Critério para “Melhor” Ajuste • Uma estratégia é minimizar a soma dos quadrados dos resíduos entre o y medido e o y calculado com o modelo linear:

6. Ajuste por uma Reta • Para determinar os valores de a0 e a1, a equação apresentada no slide anterior é derivada com relação a cada coeficiente:

7. Ajuste por uma Reta • Igualando as derivadas a zero será obtido um Sr mínimo. As equações podem ser expressas como:

8. Ajuste por uma Reta • Portanto, pode-se expressar as equações como um sistema de duas equações lineares:

9. Ajuste por uma Reta • As equações do sistema podem ser resolvidas simultaneamente através das expressões abaixo:

10. Regressão Polinomial • O procedimento dos mínimos quadrados pode ser prontamente estendido para ajustar dados por um polinômio de grau mais alto. Por exemplo, suponha que se queira ajustar um polinômio de segundo grau: • Nesse caso, a soma dos quadrados dos resíduos é:

11. Ajuste por uma Parábola • Seguindo o mesmo procedimento usado para ajuste por uma reta, toma-se a derivada de Sr com relação a cada um dos coeficientes desconhecidos do polinômio:

12. Ajuste por uma Parábola • As equações apresentadas no slide anterior podem ser igualadas a zero e reorganizadas para determinar o seguinte sistema linear:

13. Ajuste por uma Parábola • Observe que o sistema do slide anterior apresenta três equações lineares que possuem três incógnitas a0, a1 e a2; • Nesse caso, vê-se que o problema de determinar o polinômio de segundo grau por mínimos quadrados é equivalente a resolver um sistema de três equações lineares com três incógnitas.