GEOMETRIA

1. GEOMETRIA A cura della Prof.ssa Maddalena Dominijanni ANNO SCOLASTICO 2005 - 2006 Prof.ssa Maddalena Dominijanni

2. Come consultare l’ipertesto “GEOMETRIA” Benvenuti !Per navigare e muoversi nell’ipertesto “GEOMETRIA” dovete semplicemente fare clic sui pulsanti riportati sul lato destro. • Vi riporta alla pagina iniziale • Vi riporta a questa pagina con le indicazioni su come muoversi all’interno dell’ipertesto • Vi posiziona sulla pagina precedente • Vi posiziona sulla pagina successiva • Vi posiziona sull’ultima pagina • Vi riporta all’ultima diapositiva visualizzata Oppure Potete selezionare un link che vi rimanda alla pagina collegata Ricordate che il puntatore del mouse si trasforma in una piccola mano quando è posizionato su un link Prof.ssa Maddalena Dominijanni

3. GEOMETRIA Può essere INTUITIVA RAZIONALE Parte da Si basa su CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI Definiti mediante Prof.ssa Maddalena Dominijanni

4. DALLA GEOMETRIA INTUITIVA ALLA GEOMETRIA RAZIONALE Prof.ssa Maddalena Dominijanni

5. Indice I contenuti • Gli elementi fondamentali della geometria euclidea • Postulati e teoremi • Punto • Retta • Piano • Postulati riguardanti gli enti elementari • Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari • (semirette, segmenti, angoli Gli obiettivi • Comprendere il significato di “dimostrazione” • Cogliere la differenza fra postulato e teorema • Approfondire la conoscenza degli enti geometrici fondamentali • Operare con segmenti ed angoli Prof.ssa Maddalena Dominijanni

6. Di che cosa tratta la geometria Il termine geometria deriva dal greco (ghe: “terra”, e metron: “misura”) e significa «misuradella Terra». Già gli antichi egiziani erano abili nell’arte di misurare la terra, perché costretti a ripristinare ai vari proprietari i confini dei terreni periodicamente invasi dalle inondazioni del Nilo. Le conoscenze geometriche egiziane, di natura tipicamente pratica, furono portate in Grecia da Talete di Mileto (624-548 a. C.) e servirono agli antichi greci per creare quella branca della matematica che ancora oggi si chiama Geometria. Rimane però il fatto che l’uomo è stato spontaneamente portato a creare questa scienza, osservando l’ambiente e astraendo dagli oggetti circostanti quelle proprietà (forma ed estensione) che non dipendono dalla sostanza di cui essi sono fatti. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

7. I punti di partenza della geometria Gli enti primitivi della Geometria sono: PUNTO RETTA PIANO Prof.ssa Maddalena Dominijanni

8. Gli elementi fondamentali della geometria Gli enti fondamentali della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei quali non è data definizione: la loro natura risulta però determinata da particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati. (Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!) Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure geometriche. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

9. PUNTO • PUNTO • Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un punto. • Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso indica soltanto una posizione. • Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc. • A • C • D • B Prof.ssa Maddalena Dominijanni

10. RETTA • RETTA Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di una retta. A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e senza spessore. Su di una retta si possono segnare infiniti punti Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc. retta a Prof.ssa Maddalena Dominijanni

11. PIANO • PIANO Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago, forniscono delle immagini concrete di un piano. Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come indefinitamente esteso in tutti i sensi I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco: α (alfa), β (beta), γ (gamma), ecc. α Piano α Prof.ssa Maddalena Dominijanni

12. Postulati riguardanti gli enti elementari • Alla retta appartengono infiniti punti • Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti • Esistono infinite rette Prof.ssa Maddalena Dominijanni

13. Postulati riguardanti gli enti elementari • Per due punti distinti passa una sola retta •A •B • Per un punto passano infinite rette (l’insieme di tale rette è chiamato fascio poprio) A • Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro • La retta è illimitata e continua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”. Prof.ssa Maddalena Dominijanni

14. Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari • Semiretta –Si dice semirettaciascuna delle due parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto. A • semiretta semiretta origine • Segmento –Un segmentoè la parte di retta limitata da due suoi punti che si dicono estremi del segmento A B • • segmento estremi Prof.ssa Maddalena Dominijanni

15. Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari • Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si dicono consecutivi A C • B • Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi ed appartengono alla stessa retta C A B • • • • Prof.ssa Maddalena Dominijanni

16. Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari • Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di lineaspezzata • Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata C E A Spezzata aperta D B Spezzata chiusa Spezzata intrecciata Prof.ssa Maddalena Dominijanni

17. Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari • ANGOLO:ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano da due semirette aventi l’origine in comune Angolo concavo Angolo convesso Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati Prof.ssa Maddalena Dominijanni

18. Angoli particolari • Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA. In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il prolungamento dell’altro ( 180 °)] Angolo piatto A O B PIATTO:180° Prof.ssa Maddalena Dominijanni

19. Angoli particolari • Angolo GIRO -Se invece OA ruota di un giro completo intorno ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)] B Angolo giro GIRO: 360° O A • Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si dice che AÔB è un angolo nullo B O A Prof.ssa Maddalena Dominijanni

20. Angoli particolari Un angolo si diceRETTOse è la metà di un angolo piatto RETTO:90° Prof.ssa Maddalena Dominijanni

21. Angoli particolari Un angolo si diceOTTUSOse è maggiore di un angolo retto OTTUSO: > di 90° Un angolo si diceACUTO se è minore di un angolo retto ACUTO: < di 90° Prof.ssa Maddalena Dominijanni

22. Angoli particolari • Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune C Lato comune B O A Prof.ssa Maddalena Dominijanni

23. Angoli particolari • Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una stessa retta Prof.ssa Maddalena Dominijanni

24. Angoli particolari • Angoli OPPOSTI AL VERTICE:se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro O Prof.ssa Maddalena Dominijanni

25. Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI • Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI Prof.ssa Maddalena Dominijanni

26. Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI Prof.ssa Maddalena Dominijanni

27. Concetti o enti primitivi • Enti che non definiamo esplicitamente • Assiomi o postulati • Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo • Teoremi • I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema, mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate, vale a dire dei risultati di altri teoremi. Prof.ssa Maddalena Dominijanni