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Numerische Simulation des Stofftransports. Olaf A. Cirpka, Eawag W+T Wolfgang Kinzelbach, ETH IfU. Massen- und Volumenbilanz einer infinitesimal schmalen Flussscheibe. Transportgleichung nach Einsetzen. Advektions-Dispersionsgleichung. Integrale Betrachtungsweise. J:Massenflussdichte

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Numerische Simulation des Stofftransports

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Presentation Transcript


Numerische Simulation des Stofftransports

Olaf A. Cirpka, Eawag W+T

Wolfgang Kinzelbach, ETH IfU


Massen- und Volumenbilanz

einer infinitesimal schmalen Flussscheibe

Transportgleichung nach Einsetzen

Advektions-Dispersionsgleichung


Integrale Betrachtungsweise

J:Massenflussdichte

[kg/s/m2]


Stationäre Strömung ohne laterale Zu-/Abflüsse

  • Geometrie an Querschnitten i  1/2 gegeben:

     Vi= x ·(Ai-1/2 + Ai+1/2)/2

  • Primäre Unbekannte: Konzentration ci in Zelle i

    • Dispersion: Gradient an i 1/2?

    • Advektion: Welche Konzentration an i 1/2?

  • Zeitliche Integration?


Tatsächliche Konzentration

c

Zellenmittelwert

x

i + 1

i

Dispersion:Ermittlung von Gradienten

  • Differenzenquotient statt Differentialquotient:


Advektion:Konzentration am Interface

  • Upwind: ci+1/2 = ci

  • Downwind: ci+1/2 = ci+1

  • Zentrale Differenzen:ci+1/2 =(ci + ci+1)/2

c

u

i + 1

i


Zentrale Differenzen

ci+1/2 =(ci + ci+1)/2

  • Pro: Genauer im Sinne einer Taylorreihen-Analyse

  • Contra: Oszillationen  negative Konzentrationen


Oszillationen durch Zentrale Differenzen

c

u

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1


Oszillationen durch Zentrale Differenzen

c

Falsch! Müsste abnehmen.

u

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1


Oszillationen durch Zentrale Differenzen

Simulation des advektiven Transports mit zentralen Differenzen

erzeugt nachlaufende Oszillationen

c

Falsch! Müsste abnehmen.

Völlig Falsch!

Führt zu negativer

Konzentration

u

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1


Upwind Differenzen

ci+1/2 = cibei positiver Geschwindigkeit

ci+1/2 = ci+1bei negativer Geschwindigkeit

  • Pro: Keine Oszillationen

  • Contra: Numerische Dispersion


Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen

c

u

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1


Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen

c

Richtig

u

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1


Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen

c

Richtig

u

Richtig

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1


Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen

c

u

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1


Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen

c

u

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1


Mittelwert in

Jeder Zelle

Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen

Mittelwertbildung in den Zellen führt zu verschmierten

Konzentrationsverteilungen  sieht aus wie Dispersion

c

u

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1


Numerische Fehler in der Simulation der Advektion

  • Oszillationen

    • Negative Konzentrationen sind unphysikalisch,

    • führen zu “erstaunlichem” Reaktionsverhalten (z.B. Zunahme statt Abnahme)

    • oder zu Instabilität (z.B. unendliche Raten)

  • Numerische Dispersion

    • führt zu falscher Mischung von Stoffen

    • und damit zu überhöhten Reaktionsraten.


The Easy Way Out

  • Approximationsfehler hängen von der Diskretisierung ab

  • Feine Auflösung hilft immer

  • Zentrale Differenzen:

    Gitter-Peclet-Zahl<2 (Pe = uΔx/D) verhindert negative Konzentrationen

  • Upwind Differenzen:

    Numerischer Dispersionkoeffizient ist proportional zur Gitterweite Δx


Slope Limiter Verfahren (Godunov-Verfahren höherer Ordnung)

  • Rekonstruktion der räumlichen Konzen-trationsverteilung innerhalb der Zellen

    • Es dürfen keine neuen Extrema auftreten

  • Exakte Lösung des Riemann-Problems

  • Mittelwert-Bildung in den Zellen


Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Anfangsverteilung


Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Lineare Interpolation


Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Wähle kleineren Gradienten

(bei Extrema null Gradient)


Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Exakte Lösung


Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Exakte Lösung

Mittelung in Zellen


“Minmod” Limiter

  • Mittlere Konzentration in Zelle i: ci

  • Gradient in Zelle i: si

  • Gitterweite: x

  • Konzentrationsverteilung in Zelle i:


Zeitliche Integration

  • Explizites Euler-Verfahren

    • Massenflüsse werden ausschließlich zum alten Zeitpunkt ermittelt

    • Sehr schnell

    • Erfordert Limitierung der Zeitschrittweite

  • Implizites Euler-Verfahren

    • Massenflüsse werden (partiell) zum neuen Zeitpunkt ermittelt

    • Erfordert Lösung großer Systeme linearer Gleichungen


Zeitliche Integration

  • Semidiskretisierung

    • Partielle DGL wird nur im Raum diskretisiert

    • Führt zu System gewöhnlicher DGL’n

    • Verwendung von DGL-Lösern (ode solver)

  • Hier behandelt:

    • Explizites Euler-Verfahren

    • Semidiskretisierung


Explizites Euler-Verfahren(mit Upwind Differenzen)

  • Rechte Seite enthält ausschließlich Konzentrationen zum alten Zeitpunkt.

  • Jede Zelle kann unabhängig berechnet werden.


Explizite Integration des advektiven Transports mit “Minmod” Limiter


1

0

0

x

i-1

i+1

i

Zeitschrittbegrenzung durch Advektion

  • Courant-Friedrich-Lax Kriterium


1

0

Zeitschrittbegrenzung durch Advektion

  • Courant-Friedrich-Lax Kriterium

Courant Zahl

x

i-1

i+1

i


Optimale Zeitschrittweite für explizite Integration der Advektion

Cr = 1

  • Konzentrationen werden genau um eine Zelle verschoben

  • Exakte Lösung

  • Erfordert unregelmäßige Gitterabstände bei ungleichförmiger Strömung

  • Nicht realisierbar bei instationärer Strömung mit ortsfestem Gitter


1

0

0

x

i-1

i+1

i

Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion

  • Neumann Kriterium


1/3

1/3

1/3

Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion

  • Neumann Kriterium

Neumann Zahl

x

i-1

i+1

i


Maximale Zeitschrittweite für explizite Integration der Dispersion

Ne < 1/3

  • Extrema werden nicht umgekehrt

    Ne < 1/2

  • Es gibt keine negativen Konzentrationen

  • Grundsätzlich gilt: Je kleiner der Zeitschritt, umso genauer die explizite Berechnung der Dispersion


Anfangswertproblem nach Semidiskretisierung

  • Definiere Konzentration am Interface

  • Benötigt Anfangsbedingung c(t=0)

  • Integriere mit DGL-Löser (z.B. Runge-Kutta, Adams-Bashforth, Gear)


Vergleich der Diskretisierungsverfahren für die Advektion


Anwendung auf den 1D Transport in Flüssen

  • Dispersionskoeffizient ist vergleichsweise groß (im Gegensatz zum Grundwasser)

  • Deswegen kann bei ausreichend feiner Diskretisierung zentrale Differenzen für die Advektion gewagt werden

  • Bei gleichförmigem Abfluss: Upwind-Differenzen mit Cr = 1 und explizite Zeitintegration


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