Numerische Simulation des Stofftransports

1. Numerische Simulation des Stofftransports Olaf A. Cirpka, Eawag W+T Wolfgang Kinzelbach, ETH IfU

2. Massen- und Volumenbilanz einer infinitesimal schmalen Flussscheibe Transportgleichung nach Einsetzen Advektions-Dispersionsgleichung

3. Integrale Betrachtungsweise J: Massenflussdichte [kg/s/m2]

4. Stationäre Strömung ohne laterale Zu-/Abflüsse • Geometrie an Querschnitten i  1/2 gegeben:  Vi= x ·(Ai-1/2 + Ai+1/2)/2 • Primäre Unbekannte: Konzentration ci in Zelle i • Dispersion: Gradient an i 1/2? • Advektion: Welche Konzentration an i 1/2? • Zeitliche Integration?

5. Tatsächliche Konzentration c Zellenmittelwert x i + 1 i Dispersion:Ermittlung von Gradienten • Differenzenquotient statt Differentialquotient:

6. Advektion:Konzentration am Interface • Upwind: ci+1/2 = ci • Downwind: ci+1/2 = ci+1 • Zentrale Differenzen: ci+1/2 =(ci + ci+1)/2 c u i + 1 i

7. Zentrale Differenzen ci+1/2 =(ci + ci+1)/2 • Pro: Genauer im Sinne einer Taylorreihen-Analyse • Contra: Oszillationen  negative Konzentrationen

8. Oszillationen durch Zentrale Differenzen c u Richtig 0 i - 2 i - 1 i + 2 i i + 1

9. Oszillationen durch Zentrale Differenzen c Falsch! Müsste abnehmen. u Richtig 0 i - 2 i - 1 i + 2 i i + 1

10. Oszillationen durch Zentrale Differenzen Simulation des advektiven Transports mit zentralen Differenzen erzeugt nachlaufende Oszillationen c Falsch! Müsste abnehmen. Völlig Falsch! Führt zu negativer Konzentration u Richtig 0 i - 2 i - 1 i + 2 i i + 1

11. Upwind Differenzen ci+1/2 = cibei positiver Geschwindigkeit ci+1/2 = ci+1bei negativer Geschwindigkeit • Pro: Keine Oszillationen • Contra: Numerische Dispersion

12. Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen c u Richtig 0 i - 2 i - 1 i + 2 i i + 1

13. Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen c Richtig u Richtig 0 i - 2 i - 1 i + 2 i i + 1

14. Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen c Richtig u Richtig Richtig 0 i - 2 i - 1 i + 2 i i + 1

15. Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen c u 0 i - 2 i - 1 i + 2 i i + 1

16. Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen c u 0 i - 2 i - 1 i + 2 i i + 1

17. Mittelwert in Jeder Zelle Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen Mittelwertbildung in den Zellen führt zu verschmierten Konzentrationsverteilungen  sieht aus wie Dispersion c u 0 i - 2 i - 1 i + 2 i i + 1

18. Numerische Fehler in der Simulation der Advektion • Oszillationen • Negative Konzentrationen sind unphysikalisch, • führen zu “erstaunlichem” Reaktionsverhalten (z.B. Zunahme statt Abnahme) • oder zu Instabilität (z.B. unendliche Raten) • Numerische Dispersion • führt zu falscher Mischung von Stoffen • und damit zu überhöhten Reaktionsraten.

19. The Easy Way Out • Approximationsfehler hängen von der Diskretisierung ab • Feine Auflösung hilft immer • Zentrale Differenzen: Gitter-Peclet-Zahl<2 (Pe = uΔx/D) verhindert negative Konzentrationen • Upwind Differenzen: Numerischer Dispersionkoeffizient ist proportional zur Gitterweite Δx

20. Slope Limiter Verfahren (Godunov-Verfahren höherer Ordnung) • Rekonstruktion der räumlichen Konzen-trationsverteilung innerhalb der Zellen • Es dürfen keine neuen Extrema auftreten • Exakte Lösung des Riemann-Problems • Mittelwert-Bildung in den Zellen

21. Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter Anfangsverteilung

22. Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter Lineare Interpolation

23. Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter Wähle kleineren Gradienten (bei Extrema null Gradient)

24. Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter Exakte Lösung

25. Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter Exakte Lösung Mittelung in Zellen

26. “Minmod” Limiter • Mittlere Konzentration in Zelle i: ci • Gradient in Zelle i: si • Gitterweite: x • Konzentrationsverteilung in Zelle i:

27. Zeitliche Integration • Explizites Euler-Verfahren • Massenflüsse werden ausschließlich zum alten Zeitpunkt ermittelt • Sehr schnell • Erfordert Limitierung der Zeitschrittweite • Implizites Euler-Verfahren • Massenflüsse werden (partiell) zum neuen Zeitpunkt ermittelt • Erfordert Lösung großer Systeme linearer Gleichungen

28. Zeitliche Integration • Semidiskretisierung • Partielle DGL wird nur im Raum diskretisiert • Führt zu System gewöhnlicher DGL’n • Verwendung von DGL-Lösern (ode solver) • Hier behandelt: • Explizites Euler-Verfahren • Semidiskretisierung

29. Explizites Euler-Verfahren(mit Upwind Differenzen) • Rechte Seite enthält ausschließlich Konzentrationen zum alten Zeitpunkt. • Jede Zelle kann unabhängig berechnet werden.

30. Explizite Integration des advektiven Transports mit “Minmod” Limiter

31. 1 0 0 x i-1 i+1 i Zeitschrittbegrenzung durch Advektion • Courant-Friedrich-Lax Kriterium

32. 1 0 Zeitschrittbegrenzung durch Advektion • Courant-Friedrich-Lax Kriterium Courant Zahl x i-1 i+1 i

33. Optimale Zeitschrittweite für explizite Integration der Advektion Cr = 1 • Konzentrationen werden genau um eine Zelle verschoben • Exakte Lösung • Erfordert unregelmäßige Gitterabstände bei ungleichförmiger Strömung • Nicht realisierbar bei instationärer Strömung mit ortsfestem Gitter

34. 1 0 0 x i-1 i+1 i Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion • Neumann Kriterium

35. 1/3 1/3 1/3 Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion • Neumann Kriterium Neumann Zahl x i-1 i+1 i

36. Maximale Zeitschrittweite für explizite Integration der Dispersion Ne < 1/3 • Extrema werden nicht umgekehrt Ne < 1/2 • Es gibt keine negativen Konzentrationen • Grundsätzlich gilt: Je kleiner der Zeitschritt, umso genauer die explizite Berechnung der Dispersion

37. Anfangswertproblem nach Semidiskretisierung • Definiere Konzentration am Interface • Benötigt Anfangsbedingung c(t=0) • Integriere mit DGL-Löser (z.B. Runge-Kutta, Adams-Bashforth, Gear)

38. Vergleich der Diskretisierungsverfahren für die Advektion

39. Anwendung auf den 1D Transport in Flüssen • Dispersionskoeffizient ist vergleichsweise groß (im Gegensatz zum Grundwasser) • Deswegen kann bei ausreichend feiner Diskretisierung zentrale Differenzen für die Advektion gewagt werden • Bei gleichförmigem Abfluss: Upwind-Differenzen mit Cr = 1 und explizite Zeitintegration