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Numerische Simulation des Stofftransports

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Numerische Simulation des Stofftransports. Olaf A. Cirpka, Eawag W+T Wolfgang Kinzelbach, ETH IfU. Massen- und Volumenbilanz einer infinitesimal schmalen Flussscheibe. Transportgleichung nach Einsetzen. Advektions-Dispersionsgleichung. Integrale Betrachtungsweise. J: Massenflussdichte

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Presentation Transcript
numerische simulation des stofftransports

Numerische Simulation des Stofftransports

Olaf A. Cirpka, Eawag W+T

Wolfgang Kinzelbach, ETH IfU

advektions dispersionsgleichung

Massen- und Volumenbilanz

einer infinitesimal schmalen Flussscheibe

Transportgleichung nach Einsetzen

Advektions-Dispersionsgleichung
integrale betrachtungsweise
Integrale Betrachtungsweise

J: Massenflussdichte

[kg/s/m2]

station re str mung ohne laterale zu abfl sse
Stationäre Strömung ohne laterale Zu-/Abflüsse
  • Geometrie an Querschnitten i  1/2 gegeben:

 Vi= x ·(Ai-1/2 + Ai+1/2)/2

  • Primäre Unbekannte: Konzentration ci in Zelle i
    • Dispersion: Gradient an i 1/2?
    • Advektion: Welche Konzentration an i 1/2?
  • Zeitliche Integration?
dispersion ermittlung von gradienten

Tatsächliche Konzentration

c

Zellenmittelwert

x

i + 1

i

Dispersion:Ermittlung von Gradienten
  • Differenzenquotient statt Differentialquotient:
advektion konzentration am interface
Advektion:Konzentration am Interface
  • Upwind: ci+1/2 = ci
  • Downwind: ci+1/2 = ci+1
  • Zentrale Differenzen: ci+1/2 =(ci + ci+1)/2

c

u

i + 1

i

zentrale differenzen
Zentrale Differenzen

ci+1/2 =(ci + ci+1)/2

  • Pro: Genauer im Sinne einer Taylorreihen-Analyse
  • Contra: Oszillationen  negative Konzentrationen
oszillationen durch zentrale differenzen
Oszillationen durch Zentrale Differenzen

c

u

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1

oszillationen durch zentrale differenzen9
Oszillationen durch Zentrale Differenzen

c

Falsch! Müsste abnehmen.

u

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1

oszillationen durch zentrale differenzen10
Oszillationen durch Zentrale Differenzen

Simulation des advektiven Transports mit zentralen Differenzen

erzeugt nachlaufende Oszillationen

c

Falsch! Müsste abnehmen.

Völlig Falsch!

Führt zu negativer

Konzentration

u

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1

upwind differenzen
Upwind Differenzen

ci+1/2 = cibei positiver Geschwindigkeit

ci+1/2 = ci+1bei negativer Geschwindigkeit

  • Pro: Keine Oszillationen
  • Contra: Numerische Dispersion
verhinderung von oszillationen durch upwind differenzen13
Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen

c

Richtig

u

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1

verhinderung von oszillationen durch upwind differenzen14
Verhinderung von Oszillationen durch Upwind-Differenzen

c

Richtig

u

Richtig

Richtig

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1

numerische dispersion durch upwind differenzen17

Mittelwert in

Jeder Zelle

Numerische Dispersion durch Upwind-Differenzen

Mittelwertbildung in den Zellen führt zu verschmierten

Konzentrationsverteilungen  sieht aus wie Dispersion

c

u

0

i - 2

i - 1

i + 2

i

i + 1

numerische fehler in der simulation der advektion
Numerische Fehler in der Simulation der Advektion
  • Oszillationen
    • Negative Konzentrationen sind unphysikalisch,
    • führen zu “erstaunlichem” Reaktionsverhalten (z.B. Zunahme statt Abnahme)
    • oder zu Instabilität (z.B. unendliche Raten)
  • Numerische Dispersion
    • führt zu falscher Mischung von Stoffen
    • und damit zu überhöhten Reaktionsraten.
the easy way out
The Easy Way Out
  • Approximationsfehler hängen von der Diskretisierung ab
  • Feine Auflösung hilft immer
  • Zentrale Differenzen:

Gitter-Peclet-Zahl<2 (Pe = uΔx/D) verhindert negative Konzentrationen

  • Upwind Differenzen:

Numerischer Dispersionkoeffizient ist proportional zur Gitterweite Δx

slope limiter verfahren godunov verfahren h herer ordnung
Slope Limiter Verfahren (Godunov-Verfahren höherer Ordnung)
  • Rekonstruktion der räumlichen Konzen-trationsverteilung innerhalb der Zellen
    • Es dürfen keine neuen Extrema auftreten
  • Exakte Lösung des Riemann-Problems
  • Mittelwert-Bildung in den Zellen
godunov verfahren mit minmod limiter23
Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Wähle kleineren Gradienten

(bei Extrema null Gradient)

godunov verfahren mit minmod limiter25
Godunov Verfahren mit“Minmod” Limiter

Exakte Lösung

Mittelung in Zellen

minmod limiter
“Minmod” Limiter
  • Mittlere Konzentration in Zelle i: ci
  • Gradient in Zelle i: si
  • Gitterweite: x
  • Konzentrationsverteilung in Zelle i:
zeitliche integration
Zeitliche Integration
  • Explizites Euler-Verfahren
    • Massenflüsse werden ausschließlich zum alten Zeitpunkt ermittelt
    • Sehr schnell
    • Erfordert Limitierung der Zeitschrittweite
  • Implizites Euler-Verfahren
    • Massenflüsse werden (partiell) zum neuen Zeitpunkt ermittelt
    • Erfordert Lösung großer Systeme linearer Gleichungen
zeitliche integration28
Zeitliche Integration
  • Semidiskretisierung
    • Partielle DGL wird nur im Raum diskretisiert
    • Führt zu System gewöhnlicher DGL’n
    • Verwendung von DGL-Lösern (ode solver)
  • Hier behandelt:
    • Explizites Euler-Verfahren
    • Semidiskretisierung
explizites euler verfahren mit upwind differenzen
Explizites Euler-Verfahren(mit Upwind Differenzen)
  • Rechte Seite enthält ausschließlich Konzentrationen zum alten Zeitpunkt.
  • Jede Zelle kann unabhängig berechnet werden.
zeitschrittbegrenzung durch advektion

1

0

0

x

i-1

i+1

i

Zeitschrittbegrenzung durch Advektion
  • Courant-Friedrich-Lax Kriterium
zeitschrittbegrenzung durch advektion32

1

0

Zeitschrittbegrenzung durch Advektion
  • Courant-Friedrich-Lax Kriterium

Courant Zahl

x

i-1

i+1

i

optimale zeitschrittweite f r explizite integration der advektion
Optimale Zeitschrittweite für explizite Integration der Advektion

Cr = 1

  • Konzentrationen werden genau um eine Zelle verschoben
  • Exakte Lösung
  • Erfordert unregelmäßige Gitterabstände bei ungleichförmiger Strömung
  • Nicht realisierbar bei instationärer Strömung mit ortsfestem Gitter
zeitschrittbegrenzung durch dispersion

1

0

0

x

i-1

i+1

i

Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion
  • Neumann Kriterium
zeitschrittbegrenzung durch dispersion35

1/3

1/3

1/3

Zeitschrittbegrenzung durch Dispersion
  • Neumann Kriterium

Neumann Zahl

x

i-1

i+1

i

maximale zeitschrittweite f r explizite integration der dispersion
Maximale Zeitschrittweite für explizite Integration der Dispersion

Ne < 1/3

  • Extrema werden nicht umgekehrt

Ne < 1/2

  • Es gibt keine negativen Konzentrationen
  • Grundsätzlich gilt: Je kleiner der Zeitschritt, umso genauer die explizite Berechnung der Dispersion
anfangswertproblem nach semidiskretisierung
Anfangswertproblem nach Semidiskretisierung
  • Definiere Konzentration am Interface
  • Benötigt Anfangsbedingung c(t=0)
  • Integriere mit DGL-Löser (z.B. Runge-Kutta, Adams-Bashforth, Gear)
anwendung auf den 1d transport in fl ssen
Anwendung auf den 1D Transport in Flüssen
  • Dispersionskoeffizient ist vergleichsweise groß (im Gegensatz zum Grundwasser)
  • Deswegen kann bei ausreichend feiner Diskretisierung zentrale Differenzen für die Advektion gewagt werden
  • Bei gleichförmigem Abfluss: Upwind-Differenzen mit Cr = 1 und explizite Zeitintegration
ad