Pertemuan 1
Download
1 / 47

PERTEMUAN 1 - PowerPoint PPT Presentation


  • 157 Views
  • Uploaded on

PERTEMUAN 1. TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS. Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem Persamaan Linier

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' PERTEMUAN 1' - kennan


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Pertemuan 1

PERTEMUAN 1

bilqis


Tujuan instruksional khusus
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan :

  • Mengetahui definisi Sistem Persamaan Linier

  • Dapat membentuk matriks yang merepresentasikan Sistem Persamaan Linier

  • Dapat menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan menggunakan metode Gauss dan Gauss Jordan

bilqis


Contoh soal berapa nilai x y dan z
Contoh Soal  berapa nilai x, y dan Z

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

bilqis



Persamaan linier :

Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1 atau 0 dan tidak terjadi perkalian antar variabelnya.

Contoh: (1) x + y + 2z = 9 PL

(2) 2x + y = 9 PL

(3) 2xy – z = 9 Bukan PL

Solusi PL (1) : berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai sesuai urutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaan tersebut.

Himpunan solusi untuk persamaan (1) di atas:

{ … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. }

Himpunan solusi juga disebut Ruang Solusi (solution space)

bilqis


Misal :

atau

atau

terserah variable mana yang akan diumpamakan, rumus berbeda, tapi hasil akhir untuk x, y, dan z tetap sama

bilqis


Sistem Persamaan Linier:

Suatu sistem dengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.

Contoh:

x + y = 3

3x – 5y = 1

Ruang Solusi:

berupa semuaordered-pair(nilai-x, nilai-y) yang harus

memenuhi semua persamaan linier dalam sistem tersebut;

untuk sistem ini ruang solusinya {(2, 1) }

bilqis


PENYIMPANGAN PADA PENYELESAIAN SUATU SPL

Pada beberapa SPL tertentu terdapat penyimpangan – penyimpangan dalam penyelesaiannya, misal :

Diberikan SPL sebagai berikut :

x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1

1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0

1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0

Didapat penyelesaian x1 = 9, x2 = -36, dan x3 = 30

Jika SPL tersebut dituliskan dalam bentuk dua desimal :

x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1

0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0

0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0

Didapat penyelesaian x1 ≈ 55,55; x2 ≈ -277,778; dan x3 ≈ 255,556

bilqis


  • Interpretasi Geometrik:

  • Sistem menggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar.

    • g1: x + y = 3

    • g2: 3x – 5y = 1

  •   Solusi: g1 dan g2 berpotongan di(2, 1)

  • Kemungkinan:

  • Var => sama

    Konst => tidak

    Kelipatan

    X+y = 5

    X+y = 7

    X+y = 5

    2X+2y = 10

    tidak berpotongan

    berpotongan di 1 titik

    berimpit

    bilqis


    • Solusi Sistem Persamaan Linier

      • a. Cara Biasa → Seperti SMA

      • b. Eliminasi Gauss

      • c. Eliminasi Gauss - Jordan

    • a. Cara Biasa (untuk mengingat kembali):

    • I. x + y = 3  3x + 3y = 9

    • 3x – 5y = 1  3x – 5y = 1

    • 8y = 8 y = 1

    • 3x – 5 = 1  3x = 6  x = 2

    • II. y = 3 – x

    • 3x – 5(3 – x) = 1 atau 3x – 15 + 5x = 1  8x = 16  x = 2

    • y = 3 – x  y = 1

    bilqis


    b. Eliminasi Gauss (ringkasan):

    Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Substitusi

    LinierAugmentedGauss Balik

    OBE

    bilqis


    • Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

      • Eliminasi Gauss(lihat contoh 3, halaman 5)

        • x + y + 2z = 9 1 1 2 9

        • 2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1

        • 3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0

    • lalu diusahakan berbentuk 1 1 2 9

      • 0 1 ? ?

      • 00 1 ?

  • dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

  • (Elementary Row Operation - ERO)

  • ditulis dalam

    bentuk matriks

    augmented

    bilqis


    • MatriksAugmented : (Matriks yang diperbesar)

      • Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien-koefisien Sistem Persamaan Linier

    • Contoh : x + y + 2z = 9

    • 2x + 4y – 3z = 1

    • 3x + 6y – 5z = 0

    •  Matriks Augmented-nya : 1 1 2 9

    • 2 4 -3 1

    • 3 6 -5 0

    bilqis


    O.B.E

    • sebuah baris dengan kostanta 0

    • sebuah baris dengan konstanta 0 kemudian pada baris lain

    • Menukar dua buah baris

      Ciri-ciri eliminasi Gauss (Eselon Baris)

    • Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)

    • Baris nol terletak paling bawah

    • 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1 utama baris di atasnya.

    • Dibawah 1 utama harus 0

    bilqis


    Contoh :

    Ciri-ciri eliminasi Gauss Jordan (Eselon Baris Tereduksi)

    • Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)

    • Baris nol terletak paling bawah

    • 1 utama baris berikutnya berada di kanan 1utama baris diatasnya..

    • Tiap kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain

      Contoh :

    bilqis


    [baris 1 -2] + baris 2

    Eliminasi Gauss menggunakan O.B.E :

    *+ =

    * + =

    * + =

    Substitusi Balik

    [baris 1 -3] + baris 3

    baris 2 * 1/2

    [baris 2 -3] + baris 3

    baris 3 -2

    z = 3

    bilqis


    • x y z

    • 1 1 2 9 Substitusi Balik:

  • 0 2 -7 -17

  • 0 0 -½ -3/2 -1/2 z = -3/2 z = 3

  • 1 1 2 9

  • 0 2 -7 -17 2y – 7z = - 17

  • 0 0 -½ -3/2 2y = 21 – 17 y = 2

    • 1 1 2 9 x + y + 2z = 9

    • 0 2 -7 -17 x = – 2 – 6 + 9 x = 1

    • 0 0 -½ -3/2

  • z

    y

    z

    bilqis


    • Bentuk eselon baris:

    • Entri-entri dalam sebuah baris tidak semuanya nol, maka entri pertama yang tidak nol harus 1 (disebut 1-utama / leading-1)

    • Baris-baris yang semua entrinya 0, dikelompokkan di bagian bawah matriks

    • Posisi 1-utama dari baris yang lebih bawah harus lebih ke kanan d/p 1-utama baris yang lebih atas

    • Bentuk eselon baris tereduksi:

    • 1, 2, 3, ditambah

    • 4. Semua entri (yang lain) dari kolom yang berisi 1-utama harus di-0-kan

    bilqis


    • Operasi Baris Elementer (OBE)

    • (Elementary Row Operation - ERO)

    • Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier

      • Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k  0

      • Menukar posisi dua baris

      • Menambah baris-i dengan k kali baris-j

    bilqis


    • c. Eliminasi Gauss-Jordan(ringkasan):

    • Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Solusi

      • LinierAugmentedGauss-Jordan (langsung)

    • OBE

    bilqis


    • Eliminasi Gauss-Jordan(contoh yang sama)

      • x + y + 2z = 9 1 1 2 9

      • 2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1

      • 3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0

  • dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ?0 1 0 ?

    • 00 1 ?

  • dengan proses Operasi Baris Elementer (OBE)

  • (Elementary Row Operation - ERO)

  • bilqis


    Gauss jordan matlab
    Gauss-Jordan  MatLab

    bilqis


    Eliminasi Gauss-Jordan menggunakan O.B.E

    • idem Gauss

    • disambung dengan :

      * + =

      * + =

      * + =

    baris 3

    + baris 2

    baris 3

    -2 + baris 1

    baris 2

    -1 + baris 3

    bilqis


    Suatu SPL mempunyai 3 kemungkinan jawaban, yaitu :

    1. Mempunyai jawaban tunggal

    2. Mempunyai banyak jawaban

    3. Tidak mempunyai jawaban

    Contoh :

    Tentukan nilai a agar SPL berikut:

    • Mempunyai jawaban tunggal

    • Mempunyai banyak jawaban

    • Tidak mempunyai jawaban

    x – 2y + 3z = 1

    2x – 3y + 9z = 4

    x – 3y + (a2 - 4)z = 1 + a

    bilqis


    Penyelesaian :

    Matriks Eselon SPL di atas adalah :

    • Mempunyai jawaban tunggal

      a2 – 4 ≠ 0  a ≠ -2 dan a ≠ 2

    • Mempunyai banyak jawaban

      a2 – 4 = 0 dan a +2 = 0  a = -2

      iii. Tidak mempunyai jawaban

      a2 – 4 = 0 dan a + 2 ≠ 0  a = 2

    bilqis


    bilqis


    Halaman 5
    Halaman 5

    Example 3.

    In the left column below we solve a system of equations by operating on

    the equations in the system, and in the right column we solve the same

    system by operating on the rows of the augmented matrix.

    x + y + 2z = 9

    2x + 4y – 3z = 1

    3x + 6y -5z = 0

    Add -2 times the first equation to the second to obtain

    Add -2 times the first row to the second to obtain

    x + y + 2z = 9

    2y – 7z = -17

    3x + 6y -5z = 0

    Add -3 times the first equation to the third to obtain

    Add -3 times the first row to the third to obtain

    x + y + 2z = 9

    2y – 7z = -17

    3y -11z = -27

    bilqis


    Multiply the second equation by ½ to obtain

    Multiply the second row by ½ to obtain

    Add -3 times the second equation to the third to obtain

    Add -3 times the second row to the third to obtain

    Multiply the third equation by -2 to obtain

    Multiply the third row by -2 to obtain

    bilqis


    Add -1 times the second equation to the first to obtain

    Add -1 times the second row to the first to obtain

    Add -11/2 times the third row to the first and 7/2 times the third row to the second to obtain

    Add -11/2 times the third equation to the first and 7/2 times the third equation to the second to obtain

    The solution : x = 1, y = 2, z = 3

    bilqis


    Halaman 11
    Halaman 11

    Step 1. Locate the leftmost column that does not consist entirely of zeros.

    Step 2. Interchange the top row with another row, if necessary, to bring a nonzero entry to the top of the column found in Step 1.

    Leftmost nonzero column

    The first and second rows in the preceding matrix were interchanged

    bilqis


    Step 3 if the entry that is now at the top of the coloumn found in step 1 is

    a, multiply the first row by 1/a in order to introduce a leading 1

    The first row of the

    preceding

    matrix was multiplied by ½

    step 4 add suitable multiples of the top row to the rows below so that all

    entries below the leading 1 to zeros

    -2 times the first row

    of the preceding matrix was

    added to the third row

    step 5 Now cover the top row in the matrix and begin again with step 1

    applied to the submatrix that remains. Continue in this way until

    the entire matrix is in row-echelon form

    left most nonzero coloumn in the

    submatrix

    bilqis


    The first row in the submatrix found in step 1 is

    was multiplied

    by -1/2 to introduce a leading 1

    -5 times the first row of the submatirx

    was added to the second row of the submatrix

    to introduce a zero below the leading 1

    The top row in the submatrix was

    covered, and we returned again

    to the step 1

    • leftmost non zero coloumn in the new submatrix

    The first(and only) row in the submatrix

    was multiplied by 2 to introduce a leading 1

    • The entire matrix is now in row-echelonform. To find the reduce row-echelon form we need the following additional step

    bilqis


    Step 6 Begining with the last nonzero row and working upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    7/2 times the third row of the

    preceding matrix was added

    to the second row

    -6 times the third row was

    added

    to the first row

    5 times the second row was

    added to the first row

    The last matrix is in reduced row echelon form

    bilqis


    • Sistem Persamaan Linier Homogen : upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    • Sistem Persamaan Linier dikatakan homogen jika semua suku di kanan tanda “=“ adalah 0.

    • Solusi Sistem Persamaan Linier Homogen:

      • Solusi Trivial ( semua xi = 0; i = 1 .. n ): pasti ada

      • Solusi Non-trivial ( solusi trivial, plus solusi di mana ada xi ≠ 0 )

  • Contoh: lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya

  • 2 2 -1 0 1 0

  • -1 -1 2 -3 1 0

  • 1 1 -2 0 -1 0

  • 0 0 1 1 1 0

  • bilqis


    Contoh: upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s lihat contoh 6 halaman 18 dan verifikasi proses penyelesaiannya

    2 2 -1 0 1 0

    -1 -1 2 -3 1 0

    1 1 -2 0 -1 0

    0 0 1 1 1 0

    Brs-1  (1/2)

    1 1 -1/2 0 1/2 0

    -1 -1 2 -3 1 0

    1 1 -2 0 -1 0

    0 0 1 1 1 0

    Brs-2 + brs-1

    Brs-3 – brs-1

    1 1 -1/2 0 1/2 0

    0 0 3/2 -3 3/2 0

    0 0 -3/2 0 -3/2 0

    0 0 1 1 1 0

    bilqis


    1 1 -1/2 0 1/2 0 upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    0 0 3/2 -3 3/2 0

    0 0 -3/2 0 -3/2 0

    0 0 1 1 1 0

    Brs-2  (2/3)

    Brs-3  (– 2/3)

    1 1 -1/2 0 1/2 0

    0 0 1 -2 1 0

    0 0 1 0 1 0

    0 0 1 1 1 0

    Brs-3 – brs-2

    Brs-4 – brs-2

    1 1 -1/2 0 1/2 0

    0 0 1 -2 1 0

    0 0 0 2 0 0

    0 0 0 3 0 0

    bilqis


    1 1 -1/2 0 1/2 0 upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    0 0 1 -2 1 0

    0 0 0 2 0 0

    0 0 0 3 0 0

    Brs-3  (1/2)

    Brs-4  (1/3)

    1 1 -1/2 0 1/2 0

    0 0 1 -2 1 0

    0 0 0 1 0 0

    0 0 0 1 0 0

    Brs-4 – brs-3

    1 1 -1/2 0 1/2 0

    0 0 1 -2 1 0

    0 0 0 1 0 0

    0 0 0 0 0 0

    bilqis


    1 1 -1/2 0 1/2 0 upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    0 0 1 -2 1 0

    0 0 0 1 0 0

    0 0 0 0 0 0

    1 1 -1/2 0 1/2 0

    0 0 1 0 1 0

    0 0 0 1 0 0

    0 0 0 0 0 0

    baris-1 + (1/2)  baris-2

    1 1 0 0 1 0

    0 0 1 0 1 0

    0 0 0 1 0 0

    0 0 0 0 0 0

    bilqis


    1 1 0 0 1 0 upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    0 0 1 0 1 0

    0 0 0 1 0 0

    0 0 0 0 0 0

    x1 + x2 + x5 = 0

    x3 + x5 = 0

    x4 = 0

    x5 = s x3 + x5 = 0  x3 = – x5

    x2 = t x1 + x2 + x5 = 0  x1 = – x2 – x5

    Ruang solusinya = { (-t-s, t, -s, 0, s ) }

    Catt => yang diumpamakan dahulu adalah  index terbesar

    bilqis


    Teorema: upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    Sistem Persamaan Linier Homogen dengan variabellebih banyak d/p. persamaan mempunyai tak berhingga banyak pemecahan.

    Ditinjau dari matriksnya:

    Sistem Persamaan Linier Homogen dengan kolomlebih banyak d/p. barismempunyai tak berhingga banyak pemecahan.

    bilqis


    Contoh menggunakan matlab
    Contoh menggunakan upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s Matlab

    • Soal

      x + y + 2z = 9

      2x + 4y – 3z = 1

      3x + 6y – 5z = 0

      Buat matrix pada Matlab

    bilqis


    Matlab
    Matlab upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    Mengenol-kan baris ke-2, kolom 1

     Baris 2 = Baris 1 * -2 + baris 2

    bilqis


    Matlab1
    Matlab upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    Mengenol-kan baris ke-3, kolom 1

     Baris 3 = Baris 1 * -3 + baris 3

    bilqis


    Matlab2
    Matlab upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    Membuat nilai 1 pada kolom 2 dan baris 2

     Baris 2 = Baris 2 * 1/2

    bilqis


    PR upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    • Contoh pada slide 3, coba tukar antara baris pertama dengan baris 3, apakah hasilnya tetap sama ? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dgn tangan)

    • x + y + 2z = 9

    • 2x + 4y – 3z = 1

    • 3x + 6y – 5z = 0

    • 3x + 6y – 5z = 0

    • 2x + 4y – 3z = 1

    • x + y + 2z = 9

    bilqis


    PR upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s

    • Contoh pada slide 8, coba kerjakan 2 SPL yang seharusnya jawabannya sama, tapi kenapa berbeda? Jawab dengan menggunakan Gauss-Jordan (dengan tangan)

    x1 + 1/2x2 + 1/3x3 = 1

    1/2x1 + 1/3x2 + 1/4x3 = 0

    1/3x1 + 1/4x2 + 1/5x3 = 0

    x1 + 0,5x2 + 0,33x3 = 1

    0,5x1 + 0,33x2 + 0,25x3 = 0

    0,33x1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0

    bilqis


    Pr kerjakan 2 saja
    PR upward, add suitable multiplies of each row to the rows above to introduce zeros above the leading 1’s kerjakan 2 saja

    • 1.1  3.b, 4.c, 5.d, 11

    • 1.2  6.b, 7.c, 8.a, 13.b, 14.c, 15.b, 17, 22

    bilqis


    ad