Perspektiva
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 62

PERSPEKTIVA PowerPoint PPT Presentation


  • 109 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Sveučilište u Splitu Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Katedra za geometriju. PERSPEKTIVA. prof.dr.sc. Zdravka Božikov Gorana Aras-Gazić Ana Barbir. SADRŽAJ. Osnovni elementi metode……………………………………………................................... 1

Download Presentation

PERSPEKTIVA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Perspektiva

Sveučilište u Splitu

Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije

Katedra za geometriju

PERSPEKTIVA

prof.dr.sc. Zdravka Božikov

Gorana Aras-Gazić

Ana Barbir


Perspektiva

SADRŽAJ

  • Osnovni elementi metode……………………………………………................................... 1

  • Perspektivna slika točke i pravca. Prikaz ravnine.....…………...………………................ 2

  • Pravci u perspektivi……..………………………...……………………………….................. 7

  • 3.1.Pravci u posebnom položaju…………...………………………………........................................ 7

  • 3.2.Pripadnost pravca ravnini.………………………………............................................................. 11

  • 3.3.Međusobni položaj pravaca.....…………………………............................................................. 12

  • 3.4.Prikloni kut pravca.....…………………………........................................................................... 14

  • 3.5.Pravci jednakog priklonog kuta...………………………............................................................. 15

  • Ravnine u perspektivi……..………………………...………………………………............. 18

  • 4.1.Ravnine u posebnom položaju……...……………………………….............................................18

  • 4.2.Međusobni položaj ravnina.....………………………….............................................................. 22

  • 4.3.Prikloni kut ravnine.....………………………….......................................................................... 24

  • 4.4.Ravnine jednakog priklonog kuta………………………............................................................. 26

  • 5. Pravci i ravnine u međusobnom odnosu……………...……..……………………............. 28

  • 5.1.Pravci u ravnini - sutražnice……...………………………………................................................ 28

  • 5.2.Pravci u ravnini - priklonice……...………………………………................................................. 29

  • 5.3.Probodište pravca i ravnine……...………………………………................................................ 30


Perspektiva

SADRŽAJ

  • 6.Okomiti položaj pravca i ravnine………………...………………………………................ 31

  • 6.1.Nedogledna probodišta i nedogledni pravci okomitih pravaca i ravnina.................................. 31

  • 6.2.Okomica ravnine u jednoj njezinoj točki.………………............................................................. 33

  • 6.3.Okomite ravnine.....……………….................…………............................................................. 35

  • 6.4.Perspektivna slika tlocrta pravca na horizontalnoj ravnini........................................................ 36

  • 6.5.Perspektivna slika ortogonalne projekcije pravca na opću ravninu.......................................... 37

  • 7.Opća ravnina i zadaće u vezi s njom……………...………………………………............. 38

  • Horizontalna ravnina i zadaće u vezi s njom………..……..……………………............. 50

  • 9.Metoda probodišta………..……..……………………..................................................... 54


Perspektiva

OSNOVNI ELEMENTI METODE

  • točka O – centar (središte) projiciranja, očište

P3:

  • ravnina slike 

  • točka OC – glavnatočka (okomita projekcija očišta)

d

  • distancijad; d = udlj(O,)

  • kružnica kd(OC,d) – distancijskakružnica

d

O

OC

.

P2:

kd

kd

OC

d

1


Perspektiva

TCT

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE I PRAVCA. PRIKAZ RAVNINE

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE I

P3:

  • točka T

  • TC – perspektivna slika točke T;(TC=OT)

kd

P2:

OC

.

O

kd

T

OC

TC

TC

TTC

2


Perspektiva

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE I PRAVCA. PRIKAZ RAVNINE

PERSPEKTIVNA SLIKA PRAVCA

  • opći pravac p

  • perspektivna slika pC pravca p je određena perspektivnim slikama njegovih dvaju istaknutih točaka:

P3:

– pravoprobodištepravca p ; (P=p P=PC)

  • P

Pn

– beskonačno daleka točka pravca p

  • P∞

P∞

  • zraka OP∞pn – nedoglednipravac pravca p ; (pnO,pn‖p)

pC

  • točka Pn– nedoglednoprobodište pravca p ;

pn

.

OC

O

  • pC – perspektivna slika pravca p;(pCPPn ; O,p)

P

P2:

kd

p

Pn

kd

OC

pC

P

p(P, Pn)

3


Perspektiva

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE I PRAVCA. PRIKAZ RAVNINE

PRIKAZ RAVNINE

  • opća ravnina 

P3:

  • pravac r – pravitrag ravnine  ;(r=)

  • ravnina n – nedoglednaravnina ravnine; (nO, ‖n)

  • pravac rn – nedoglednitrag ravnine  ;(rn=n)

rn

kd

P2:

O

OC

.

rn

n

kd

r

OC

r

(r, rn)

4


Perspektiva

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE I PRAVCA. PRIKAZ RAVNINE

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE II

  • točka T

P3:

  • TC – perspektivna slika točke T

  • pravac p, pT – pravac nositelj

Pn

pn

  • točka T je zadana na pravcu nositelju

pC

O

OC

P2:

.

p

P

Pn

T

kd

OC

pC

TC

P

kd

Tp TCpC

TC

5


Perspektiva

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE I PRAVCA. PRIKAZ RAVNINE

PERSPEKTIVNA SLIKA TOČKE III

  • točka T

  • TC – perspektivna slika točke T

P3:

  • ravnina , T – ravnina nositeljica

  • točka T je zadana u ravnini nositeljici

rn

P2:

OC

O

.

n

rn

kd

r

OC

T

kd

r

TC

T(TC) (r, rn)

TC

6


Perspektiva

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRAVCI U POSEBNOM POLOŽAJU I

P3:

  • p O, p ‖

PPnpC

P

  • ppnPPn pC

P2:

.

OC

O

PPnpC

p

ppn

OC

kd

kd

7


Perspektiva

  • točka P, polovište dužine AB

  • AP : BP = ACPC : BCPC

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRAVCI U POSEBNOM POLOŽAJU II

P3:

  • p  O, p ‖ 

pn‖p

  • pC , p‖pC

A

kd

AC

Pravci usporednim sa ravninom slike nemaju u konačnosti ni pravo ni nedogledno probodište, zadaju se ravninom nositeljicom.

P

PC

O

OC

.

B

BC

p

pC

pn

Samo na pravcima usporednim sa ravninom slike, djelišni omjer ostaje sačuvan.

8


Perspektiva

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRAVCI U POSEBNOM POLOŽAJU III

P3:

  • pO, p||

  • ppn

.

OC

O

kd

p

p pn

9


Perspektiva

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRAVCI U POSEBNOM POLOŽAJU IV

  • pravac n, n  

P3:

  • pravac nn, n ‖nn, nnO

N

n

.

P2:

N

kd

OC

OC= Nn

O

nn

.

OC

OC= Nn

kd

nC

nC

Pravac okomit na ravninu slike ima nedogledno probodište u glavnoj točki OC.

10


Perspektiva

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRIPADNOST PRAVCA RAVNINI

P3:

  • pravac p, ravnina , p  

  • nedogledni pravac pn, nedogledna ravnina n, pn n

n

rn

kd

P2:

Pn

rn

pn

OC

O

Pn

.

OC

pc

r

kd

pC

P

r

p

P

Pravac pripada ravnini ako mu je pravo probodište na pravom tragu, a nedogledno probodište na nedoglednom tragu ravnine.

11


Perspektiva

PRAVCI U PERSPEKTIVI

MEĐUSOBNI POLOŽAJ PRAVACA I

  • pravci p i q, p ‖ q

P3:

  • pravac pnqn – nedogledni pravac pravaca p i q

Pn=Qn

Pn=Qn

Pn=Qn

P2:

Pn=Qn

Pn

qC

pC

pnqn

kd

OC

O

qC

.

pC

OC

P

P

kd

p

Q

Q

q

Usporedni pravci imaju zajedničko nedogledno probodište.

12


Perspektiva

PRAVCI U PERSPEKTIVI

MEĐUSOBNI POLOŽAJ PRAVACA II

P2:

  • pravci a(A, An), b(B, Bn), c(C, Cn)

B

An

bC

  • a,b(r, rn), r AB, rnAnBn

  • b,c(s, sn), s BC, snBnCn

OC

Bn=Cn

Bn

aC

Zaključujemo:

kd

cC

  • pravci a i b se sijeku

A

C

sn

  • pravci b i c su paralelni

  • pravci a i c su mimosmjerni

r

rn

s

Ako se pravci u prostoru sijeku ili su paralelni, određuju ravninu, tj. spojnica njihovih pravih probodišta mora biti usporedna sa spojnicom njihovih nedoglednih probodišta.

13


Perspektiva

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRIKLONI KUT PRAVCA I

  • pravac p

  • prikloni kut  pravca p - kut između pravca i ravnine slike 

P3:

 =2

P2:

Pn

Pn

kd

pC

pn

pno

pC

O”=OC

O

.

d

P

.

OC

pn’’

d

P

Oo

pn’’

p

po

p’’

p’’

14

 = (p,  ) =(p, p’’) = (pn, pn’’)


Perspektiva

|AnOC|> d; prikloni kut pravca a(A, An) je manji od 45

|BnOC|= d; prikloni kut pravca b(B, Bn) je jednak 45

(Na distancijskoj kružnici nalaze se nedogledna probodišta svih pravaca kojima je prikloni kut 45.)

|CnOC| < d; prikloni kut pravca c(C, Cn) je veći od 45

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRIKLONI KUT PRAVCA II

P2:

An

an’’

1

Bn

ano

45

bno

bn’’

OC

d

.

.

d

cn’’

Oo

.

2

d

Oo

Cn

cno

kd

Oo

15


Perspektiva

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRAVCI JEDNAKOG PRIKLONOG KUTA I

P3:

  • pravac p - prikloni kut 

 2

  • pravac q - prikloni kut 

Pn

P2:

Pn

pn

kd

pn’’

d

O

.

pn’’

.

pno

O”=OC

pC

pC

qn’’

OC

qn

.

d

.

P

P

qn’’

Oo

qC

P

Qn

q

p

Q

Qn

p’’

q’’

qno

Oo

pravci jednakog priklonog kuta - svi pravci kojima nedogledna probodišta opisuju kružnicu sa središtemu OC

16


Perspektiva

PRAVCI U PERSPEKTIVI

PRAVCI JEDNAKOG PRIKLONOG KUTAII

Točkom T(TC) ravnine (r, rn) položiti pravce priklonog kuta  =30:

Zadatak:

P2:

An

Postupak:

k

30

  • proizvoljni pravac a takav da je

  • (a,  ) = 30

P2n

ano

Oo kd

rn

P1n

an" OCOo , an"OC

an"

ano Oo , (ano , OCOo ) = 60

kd

ano an"= {An}

  • nedogledna probodišta pravaca, kojima je prikloni kut 30, opisuju kružnicu k(OC¸, |OCAn|)

OC

.

d

p1C

60

p2C

Oo

TC

3. k(OC, |OCAn|)  rn = {P1n, P2n}

r

4. p1C  P1nTC

P1

P2

5. p2C  P2nTC

17


Perspektiva

RAVNINE U PERSPEKTIVI

RAVNINE U POSEBNOM POLOŽAJU I

P3:

  • ravnina (r, rn),   O

   n, r  rn

P2:

r  rn

r  rn

O

OC

OC

.

  n

kd

18


Perspektiva

  • točka C, polovište dužine AB

  • AC:BC= ACCC:BCCC

RAVNINE U PERSPEKTIVI

RAVNINE U POSEBNOM POLOŽAJU II

  • ravnina , ‖

P3:

  • n‖, r  rn (u beskonačnosti)

n I i

AC

A

  • O  I, I‖

O

OC

  • zrake projiciranja ne probadaju  u konačnosti, pa se ona projicira u beskonačnost – izbježnaravnina I ilii

.

C

CC

pC

B

pn

  • pravac p, p  

BC

p

  • A, B p

Na dužinama koje pripadaju ravninama usporednim sa ravninom slike djelišni omjer ostaje sačuvan.

19


Perspektiva

RAVNINE U PERSPEKTIVI

RAVNINE U POSEBNOM POLOŽAJU III

  • ravnina , 

 OC  rn

P3:

P2:

OC

O

d

rn

.

rn

n

OC

r

kd

.

r

Ravnini okomitoj na ravninu slike, glavna točka OC pripada nedoglednom tragu.

20


Perspektiva

RAVNINE U PERSPEKTIVI

RAVNINE U POSEBNOM POLOŽAJU IV

  • horizontalna ravnina , 

P3:

  • pravi trag horizontalne ravnine zovemo osnovica i označavamo s o

  • nedogledni trag horizontalne ravnine zovemo horizont i označavamo s h

OC

O

d

P2:

rn

h

n

Hn

kd

OC

h

.

o

r

H

o

21

Horizontalnu ravninu označavamo s H(o, h).


Perspektiva

RAVNINE U PERSPEKTIVI

MEĐUSOBNI POLOŽAJ RAVNINA I

  • ravnine  i , ‖

P3:

  • ravnina nn - nedogledna ravnina ravnina i 

d

P2:

d

rndn

kd

rndn

OC

O

OC

.

nn

r

kd

r

22

Usporedne ravnine imaju isti nedogledni trag.


Perspektiva

RAVNINE U PERSPEKTIVI

MEĐUSOBNI POLOŽAJ RAVNINA II

- ravnina (r, rn)

P2:

- ravnina (d, dn)

rn

- presječnica p ravnina i  se nalazi u obje ravnine pa joj je:

Pn

  • pravoprobodište na pravom tragu ravnina  i  ; (P = r  d)

kd

OC

  • nedoglednoprobodište na nedoglednom tragu ravnina  i  ; (Pn= rn  dn)

pC

r

P

d

dn

23


Perspektiva

RAVNINE U PERSPEKTIVI

PRIKLONI KUT RAVNINE I

P3:

  • ravnina 

 2

n

  • prikloni kut  ravnine  - prikloni kut njezine priklonice n

rn

Nn

P2:

.

nn

Nn

nc

rn

O

.

kd

O"OC

d

r

N

nno

nn"

nc

.

.

OC

d

N

Oo

n

nn"

.

r

n"

no

n"

24

=(,  )=(n, n") = (nn, nn")


Perspektiva

RAVNINE U PERSPEKTIVI

PRIKLONI KUT RAVNINE II

Pravcem p(P, Pn)položiti ravninu priklonog kuta =60:

Zadatak:

P2:

r2

Postupak:

//

  • proizvoljni pravac a takav da je

  • (a,  ) = 60

r1n

Oo kd

Pn

/

k

pC

an" OCOo , an"OC

P

r2n

ano Oo , (ano , OCOo ) = 30

OC

ano an"= {An}

.

//

an"

r1

2. k(OC, |OCAn|)

d

kd

/

60

3. tangente točkom Pnna kružnicu k - r1n, r2n

An

30

ano

Oo

4. 1(r1, r1n)

5. 2(r2, r2n)

25


Perspektiva

RAVNINE U PERSPEKTIVI

RAVNINE JEDNAKOG PRIKLONOG KUTA

P3:

  • ravnina (r, rn) - prikloni kut 

  • ravnina (d, dn) - prikloni kut 

n

 2

P2:

rn

Nn

Nn

rn

.

.

kd

nn

nn"

nno

nC

OC

d

.

O

Oo

O"OC

d

.

.

d

r

N

nn"

r

.

Oo

n

n"

dn

Sve ravnine koje diraju stožac s bazom k(OC, OCNn ) visine v = d imaju jednaki prikloni kut.

26


Perspektiva

RAVNINE U PERSPEKTIVI

Točkom Tp(P, Pn) i pravcem a(A, An) položiti ravninu (r,rn):

Zadatak:

Zadatak:

P2:

rn

P

Postupak:

An

An Fn

1. fT, f || a  Fn  An

2. pravci p i a određuju ravninu (d, dn),

dn PnFn; d || dn; dP

fC

3. F = d fC

OC

4. (r, rn), r  AF; rn || r; rn  An

TC

aC

d

dn

r

pC

A

F

Pn

27


Perspektiva

PRAVCI I RAVNINE U MEĐUSOBNOM ODNOSU

PRAVCI U RAVNINI - SUTRAŽNICE

  • ravnina 

P3:

  • sutražnice – pravci u ravnini usporedni s tragom

  • pravac s, s, s||

kd

n

rn

P2:

OC

.

sn

O

rn

OC

r

r

s

kd

T

sC

TC

sC

TC

28


Perspektiva

PRAVCI I RAVNINE U MEĐUSOBNOM ODNOSU

PRAVCI U RAVNINI - PRIKLONICE

P3:

  • ravnina (r, rn)

  • priklonice – pravci u ravnini okomiti na trag

n

rn

  • ni, nir, i=1,2,3

N3n N2n N1n

N2n N1n

N1n

Nn N3n N2nN1n

OC

n1n

n1n n2n n3n

n1nn2n

P2:

O

.

rn

n3C

Nn

n2C

r

n1C

N3

OC

N2

n3C

N1

n2C

n1C

n3

r

kd

N3

n2

.

n1

N2

N1

Nedogledno probodište svih priklonica ravnine je točka Nn (presjek nedoglednog traga ravnine i okomice na njega točkom OC).

29


Perspektiva

- pravac p(P, Pn), p  

PRAVCI I RAVNINE U MEĐUSOBNOM ODNOSU

PROBODIŠTE PRAVCA I RAVNINE

P2:

- ravnina (r, rn)

rn

Pn

pC

Fn

- ravnina (a, an)  [p], proizvoljna

kd

OC

- pravac f(F, Fn), f =  

fC

r

F

- točka S(SC) probodište pravca p i ravnine , S = p f

SC

P

a

an

30


Perspektiva

OKOMITI POLOŽAJ PRAVCA I RAVNINE

NEDOGLEDNA PROBODIŠTA I NEDOGLEDNI PRAVCI OKOMITIH PRAVACA I RAVNINA I

P3:

ZADAĆA:

Odrediti nedogled N1n okomice na opću ravninu (r, rn).

dn

d

Nn

rn

Postupak:

.

.

.

n

pn

1. priklonica p, p(P, Nn)

O

OC

2. p (d, dn), (d, dn)  

n

.

.

.

3. nedogledna okomica nn na ravninu ; nn O, nn  pn

pC

nn

4. nedogled okomice na ravninu ;

N1n = nn dn

P

r

.

p

N1n

31


Perspektiva

OKOMITI POLOŽAJ PRAVCA I RAVNINE

NEDOGLEDNA PROBODIŠTA I NEDOGLEDNI PRAVCI OKOMITIH PRAVACA I RAVNINA II

ZADAĆA:

P3:

Odrediti nedogledno probodište N1n pravaca okomitih na opću ravninu (r, rn).

P2:

d

dn

Nn

rn

Nn

.

n

pn

rn

O

pno

OC

kd

pC

n

.

nC

.

.

.

OC

.

Oo

nn

dnnn"

P

r

r

.

nno

p

N1n

N1n

32


Perspektiva

OKOMITI POLOŽAJ PRAVCA I RAVNINE

OKOMICA RAVNINE U JEDNOJ NJEZINOJ TOČKI I

P3:

ZADAĆA:

U točki S ravnine (r, rn) uzdignuti okomicu na ravninu.

N

dn

d

Postupak:

Nn

rn

1. priklonicap(P, Nn ), pS

.

.

2. p (d, dn), n  (d, dn),(d, dn)  

.

pn

n

O

OC

3. nedogledna okomica nn na ravninu ; O  nn, nn  pn

SC

n

.

.

pC

.

4. nedogledno probodište okomice na ravninu ; N1n = nn dn

S

nC

nn

P

5. okomica na ravninu  točkom S;nS,

n  nn

r

.

p

6. pravo probodište okomice na ravninu  točkom S; N= nd

  • nCNN1n – perspektivna slika okomice točkom S

N1n

33


Perspektiva

OKOMITI POLOŽAJ PRAVCA I RAVNINE

OKOMICA RAVNINE U JEDNOJ NJEZINOJ TOČKI II

ZADAĆA:

P3:

U točki S ravnine (r, rn) uzdignuti okomicu na ravninu.

N

P2:

dn

d

N

Nn

rn

Nn

.

.

.

.

pn

n

rn

pC

O

pno

OC

SC

n

.

kd

.

.

Oo

pC

OC

.

.

S

nC

SC

d

nn

dn  nn"

P

nC

r

r

.

P

p

nno

N1n

N1n

34


Perspektiva

OKOMITI POLOŽAJ PRAVCA I RAVNINE

OKOMITE RAVNINE

P2:

Nn

  • ravnina (r, rn)

  • N1n – nedogledno probodište svih okomica na ravninu 

rn

kd

  • nedogledni trag ravnine (s, sn) okomite na ravninu  sadrži N1n

.

Oo

OC

.

s

r

Dvije ravnine su međusobno okomite ako jedna od njih sadrži okomicu na drugu ravninu.

N1n

sn

35


Perspektiva

OKOMITI POLOŽAJ PRAVCA I RAVNINE

PERSPEKTIVNA SLIKA TLOCRTA PRAVCA NA HORIZONTALNOJ RAVNINI

ZADAĆA:

Odrediti tlocrt pravca p(P, Pn) na horizontalnu ravninu H(o,h).

P2:

an

a

Postupak:

1. položimo ravninu (a, an), p,   H(o, h)

P

2.   H = pC'(P', Pn')

pC

3. pC  pC' = PC = p  H (probodište pravca p sa H(o, h) )

OC=Nn

h

Pn'

.

PC

pC'

o

P'

.

Pn

36


Perspektiva

OKOMITI POLOŽAJ PRAVCA I RAVNINE

PERSPEKTIVNA SLIKA ORTOGONALNE PROJEKCIJE PRAVCA NA OPĆU RAVNINU

ZADAĆA:

Odrediti tlocrt pravca p(P, Pn) na opću ravninu (r, rn).

P2:

a

an

P

Pn'

Nn

Qn

rn

pC

Postupak:

PC

OC

1. položimo ravninu β(b, bn), βp, β(r, rn), β= pC'

Oo

pC'

.

qC

2. pC  pC'= PC= p   (probodište)

Pn

* za pronaći probodište može i bilo

koja ravnina (a, an)  p;

  (r, rn) = qC(Q, Qn), qC  pC= PC

r

P'

Q

b

N1n

bn

37


Perspektiva

.

.

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

(O)

ROTACIJA OPĆE RAVNINE I

(in)

P3:

  • izbježna ravnina I; O I, I||

(pn)

  • izbježnica i; i =   I

rn

Nn

I

Pn

in

O

(i)

.

n

OC

pn

d

pC

TC

  • ravnina (r, rn)

r

  • p  , T  p

P

T

i

(i1n)

(O1)

p

(T)

(p)

  • udlj(r, i) = |ONn|

  • središte rotacije Nn, polumjer |ONn|

  • (O), (in), (O1), (i1n)

  • (pn)  (O)(Pn)

(i1)

  • (p) || (pn) , P  (p)

38


Perspektiva

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

P2:

ROTACIJA OPĆE RAVNINE II

(O)

  • ravnina (r,rn)

(pn)

  • p(P,Pn)  , T(TC)  p

Postupak:

Pn

Nn

1. Nn

rn

2. Ookd

3. (O)

4. |ONn|= |NnOo|= |Nn(O)|

kd

pC

.

5. (pn)  (O)(Pn)

Oo

OC

6. (p) || (pn) , P  (p)

TC

7. (T)

P

r

(T)

(p)

39


Perspektiva

  • ZADANO:

  • (r, rn),p(P, Pn), p  , dužina AB

  • (ACBC) na pravcu p

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

PREVALJIVANJE (ROTACIJA) OPĆE RAVNINE U RAVNINU SLIKE

(O)

P2:

  • način:

  • polumjer rotacije za točku O je udaljenost točke O od rn (ΔOoOCNn - hipotenuza)

(pn)

//

  • (pn)

M

Pn

Nn

rn

  • (p)  P, (p)  (pn)

  • perspektivna kolineacija: os ≡ r,

  • središte (O)

ω

pC

AC

  • a = |AB| |(A)(B)| = (a)

OC

OC

Oo

.

  • način:

  • M =k(Pn, |Pn(O)|)  rn, M ≡ “mjerna točka” nedogleda Pn (2 mogućnosti – rotacija za kut  ili π - )

aC

BC

A1

B1

r

P

//

  • a = |A1B1|

(B)

//

  • (O)M (A)A1  (B)B1

(a)

  • [M je nedogled smjera (A)A1,

  • (B)B1, ... ]

(p)

40

(A)


Perspektiva

ZADANO: opća ravnina (r, rn), sutražnica s(sC),

dužina AB(ACBC ) s

  • ACBC – perspektivna slika dužine AB  s

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

1.) DUŽINA NA SUTRAŽNICI OPĆE RAVNINE

(O)

P2:

1. način: priklonice i rotacija

  • |A1B1| = |(A)(B)| = |AB|

D1

Nn

D2

rn

←Pn→

ω

2. način:

  • D1, D2 – nedogledi pravaca koji

  • s tragom zatvaraju kut od 450

OC

O0

.

sC

BC

AC

  • |A2B2| = |A3B3| = |AB|

r

A3

B3

A2

B2

A1

A4

B1

B4

3. način: mjerna točka Pn

450

450

450

450

(s)

(A)

(B)

  • |A4B4| = |AB|

41


Perspektiva

ZADANO: opća ravnina (r, rn), priklonica p,

dužina CD p

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

2.) DUŽINA NA PRIKLONICI OPĆE RAVNINE

P2:

  • D1n i D2n - nedogledi svih pravaca u ravnini (r, rn) koji sa tragom zatvaraju kut od 450

  • |C1D1|= |C2D2|= |(C)(D)| = |CD|

D2n

Nn

rn

D1n

ω

pC

DC

Oo

.

OC

CC

r

C1

D2

D1

C2

450

450

450

450

(C)

(p)

42

(D)


Perspektiva

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

(O)

MEĐUSOBNO OKOMITI PRAVCI U OPĆOJ RAVNINI

P2:

.

(pn)

(qn)=(tn)

///

ZADANO: (r, rn), p(P, Pn)  ,

S(SC), R(RC) p

//

Qn=Tn

Pn

Nn

rn

ZADATAK:Točkama S i Rpravca p postaviti okomice q i tkoje pripadaju ravnini 

POSTUPAK:

  • (p) || (pn), (p) P

SC

Oo

OC

.

  • (pn) ≡ Pn(O) – rotirani nedogledni pravac

RC

qC

tC

pC

  • (S), (R)  (p)

P

T

r

Q

  • (q)  (S), (q)  (p)

///

(t)

  • (t)  (R), (t)  (p)

.

(R)

  • (qn)  (pn), (tn)  (pn), (qn)≡ (tn)

///

 Qn ≡ Tn

(q)

  • qC ≡ QnSC

(p)

  • tC≡ TnRC

//

.

43

(S)


Perspektiva

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

CENTRALNA PROJEKCIJA KVADRATA U OPĆOJ RAVNINI

(O)

P2:

.

Zadatak:

Konstruirati perspektivnu sliku kvadrata ABCD koji pripada ravnini ( r, rn ), ako mu je AB(ACBC) jedna stranica.

(qn)=(tn)

(pn)

Nn

Qn=Tn

rn

POSTUPAK:

Pn

  • (pn)

qc

tc

  • (p)

pC

  • (A)

DC

.

Oo

  • (B)

CC

OC

AC

  • okomice q  A i t  Bna

  • pravac p

(B)

.

P

r

T

Q

  • konstrukcija kvadrata

  • (A)(B)(C)(D)

(a)

BC

  • Dc

(t)

.

  • Cc

(A)

(p)

(C)

(q)

44

(D)


Perspektiva

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

KRUŽNICA U OPĆOJ RAVNINI

Zadatak:

Konstruirati kružnicu sa središtem u točki S(SC) koja dira ravninu slike, a pripada ravnini (r, rn )

(O)

P2:

D1

Nn

D2

rn

(i)

OC

.

Oo

4C

6C

8C

1C

2C

SC

7C

5C

r

3C=(3)

(3)

45◦

45◦

(7)

(5)

(S)

(1)

(2)

PROJEKCIJA KRUŽNICE MOŽE BITI BILO KOJA KONIKA!

(6)

(8)

45

(4)


Perspektiva

rn

OC

r

OPĆA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

NANOŠENJE VISINE I

ZADANO: opća ravnina (r, rn), točka S(Sc)  

P2:

ZADATAK: Na okomici ravnine koja prolazi tom točkom S treba odrediti točku V tako da dužina |SV| bude jednaka zadanoj dužini v

d

dn

Vc

  • POSTUPAK:

  • 1. NAČIN

  • p - priklonica u točki S

V1

Nn

N1

M3

(pn)

pc

  • N1n – nedogled svih okomica

  • ravnine

v=v0

.

Oo

.

Sc

  • ravnina Δ(d, dn) – određena

  • priklonicom p i okomicom n

S1

N

nc

(nn)

  • n – okomica u točki S

  • M3- mjerna točka nedogleda

  • N1nza Δ(d,dn)

N1n

46


Perspektiva

NANOŠENJE VISINE: (OPĆA RAVNINA) II

P2:

VC

ZADANO: opća ravnina (r, rn), točka S(Sc)  

ZADATAK: Na okomici ravnine koja prolazi tom točkom S treba odrediti točku V tako da dužina |SV| bude jednaka zadanoj dužini v

V1

Nn

Nn

Pn

rn

  • t - opći pravac nositelj točke S

(pn)

  • t, n  (a, an)

OC

tc

  • M3= mjerna točka za (a, an)

.

Oo

.

M3

S1

SC

r

P

nc

a

an

(nn)

N1n

N1n

47


Perspektiva

ZADANO: (A)(B); v

BC

ZADATAK: Odrediti perspektivnu sliku pravilne uspravne trostrane prizme kojoj je AB brid osnovice, a duljina visine iznosi v.

AC

CC

B1

  • pravci ACBC i ACBC imaju

  • isti nedogled

  • pravci BCCC i BCCC imaju isti

  • nedogled

PRAVILNA USPRAVNA TROSTRANA PRIZMA

P2:

nCC

v

nBC

nAC

(C)

Pn

rn

Qn

Nn

pC

  • konstrukcija jednakostraničnog

  • trokuta (A)(B)(C)

qC

(A)

  • perspektivna slika ACBCCC

  • osnovice

OC

Oo

.

.

CC

M

AC

  • okomice točkama A, B i C

(O)

(B)

  • ravnina (a, an)  p, nA,nB

BC

B1

a

  • mjerna točka M nedogleda N1n

r

P

an

  • nanošenje visine

N1n

48


Perspektiva

S1

SC

CENTRALNA PROJEKCIJA ROTACIJSKOG VALJKA S BAZOM U OPĆOJ RAVNINI

P2:

Zadatak:

Konstruirati perspektivnu sliku rotacijskog valjka, zadane visine v, kojemu donja osnovica sa središtem S(SC) i polumjerom rV pripada ravnini (r,rn).

rV

v

D2

rn

D1

Nn

M

Postupak:

v

.

1. donja osnovica k(S,rV)-skraćeni postupak

Oo

.

OC

sC

- 8 točaka i 8 tangenata

SC

- čuva se djelišni omjer na dužinama koje su paralelne s ravninom slike

kd

S1

r

2. N1n – nedogled okomica na ravninu 

45◦

3. os valjka

- mjerna točka M nedogleda N1n

rv

- nanošenje visine

4. točke gornje osnovice

49

N1n


Perspektiva

HORIZONTALNA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

Profil:

P2:

kd

O

OC

Hn

OC

h

h

d

o

H

o

.

50


Perspektiva

  • AB H(o, h); AB  s

HORIZONTALNA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

1) DUŽINA NA SUTRAŽNICI HORIZONTALNE RAVNINE

(O)

P2:

1. način:

  • prevaljene priklonice p1o, p2o

  • točkama (A), (B)

  • OC = Nn

  • priklonice p1C, p2C

 Sn 

OC

D1

OC = Nn

D2

h

  • pravci horizontalne ravnini H(o, h)

  • koji s ravninom slike zatvaraju kut od 450

p1C

p2C

BC

sC

AC

  • D1, D2 – distancijske točke

o 

VRIJEDI:

45◦

45◦

45◦

45◦

B3

A3

A2

A1

B1

B2

- |AB| = |A1B1| = |A2B2| = |(A)(B)|

(s)

2. način: mjerna točka - Sn

(A)

(B)

- |AB| = |A3B3|

3. način: perspektivna kolineacija

p1o

p2o

- |AB| = |(A)(B)|

Točke A i BH možemo projicirati na osnovicu iz bilo koje točke horizonta.

51


Perspektiva

  • AB  H(o, h); AB  p

HORIZONTALNA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

2) DUŽINA NA PRIKLONICI HORIZONTALNE RAVNINE

(O)

P2:

1. način:

- |AB| = |A2B2|

- |AB| = |A1B1|

OC=Nn

OC

D1

D2

h

2. način: perspektivna kolineacija

pC

BC

- |AB| = |(A)(B)|

AC

o 

45◦

45◦

45◦

45◦

B2

B1

A2

A1

(A)

(p)

52

(B)


Perspektiva

  • AB n; A  H; n  H(o,h)

HORIZONTALNA RAVNINA I ZADAĆE U VEZI S NJOM

3) DUŽINA NA OKOMICI HORIZONTALNE RAVNINE

P2:

B2

  • n||

B3

B1

BC

1. način: glavna točka

 Sn 

D1

D2

h

- |AB| = |A1B1|

OC

2. način: distancijske točke

- |AB| = |A2B2|

AC

3. način: mjerna točka - Sn

o 

- |AB| = |A3B3|

A1

A3

A2

nC

Možemo točku AH projicirati na osnovicu iz bilo koje točke horizonta.

53


Perspektiva

.

METODA PROBODIŠTA

P3:

Metoda probodišta objedinjuje perspektivu i Mongeovu projekciju.

 2

Perspektiva je zadana ravninom slike  i očištem O. Time je određena i distancija d.

Hn

OC O"

OC

h

Mongeova projekcija je zadana proizvoljnom horizontalnom ravninom H(o,h) koja se poistovjećuje sa tlocrtnom ravninom projiciranja, tj. H(o,h)1, a nacrtna ravnina projiciranja se poistovjećuje sa ravninom slike , tj.  2.

zT"

d

T"

T2"TC

TC

H1

H

O

zT

T

o 1x2

o

T2'

Zadaća:

Odrediti perspektivnu sliku točke T.

T'

d

zT'

O'

Mongeova projekcija

TCT2zT 2

Perspektivna slika točke T je drugo probodište njene zrake.

54


Perspektiva

METODA PROBODIŠTA

Perspektiva

Metoda probodišta =

+

P3 (Profil):

Mongeova projekcija

2

P2:

kd

OC

OC

O

O"OC

OC =h

Hn

O"OC =h

h

d

d

udlj(o,h)

udlj(o,h)

H

o 1x2

o

o 1x2

H1

o

.

O'

d

d

55

O'


Perspektiva

METODA PROBODIŠTA

Metodom probodišta odrediti perspektivnu sliku točke T(T',T"):

Zadatak:

P2:

T2"T2

T2"T2TC

T"

zT"

Postupak:

O"OC

h

1. zraka zT OT

2. perspektivna slika točke T, TCT2zT 2

o1x2

T2'

d

T'

zT'

O'

56


Perspektiva

METODA PROBODIŠTA

Metodom probodišta odrediti perspektivnu sliku točke T(T') koja pripada pravcu p(pC):

Zadatak:

P2:

pC

T2"T2TC

T2" T2

Postupak:

O"OC

h

1. zraka zT OT

2. perspektivna slika točke T, TCT2zT 2 ; TC  pC

o 1x2

T2'

d

T'

zT'

O'

57


Perspektiva

METODA PROBODIŠTA

Zadatak:

Metodom probodišta odrediti perspektivnu sliku pravca s(s',s"), s || 1:

P2:

SS2"

S2"

s"

sC

O"OC

SnSn2"

sn"h

Sn2"

h

Postupak:

- perspektivna slika sC pravca s; sC SSn

1. S - pravo probodište pravca s

o1x2

Ss s2S2

Sn2'

S2'

2. Snnedoglednoprobodište pravca s

Snsn sn2 Sn2 ; sn || s, snO

d

s'

sn'

O'

58


Perspektiva

METODA PROBODIŠTA

PERSPEKTIVNA SLIKA OBJEKTA S KRUŽNICOM U VERTIKALNOJ RAVNINI

Zadatak:

Metodom probodišta konstruirati perspektivnu sliku objekta zadanog tlocrtom i nacrtom (s osnovicom u horizontalnoj ravnini H(o,h)):

x

d1

x

d2

d1

45◦

45◦

//

N1n

/

N2n

S1C

S2C

x

O"=OC

h

S2'

d2

//

udlj(o,h)

d3

S1"=S2"

o=1x2

//

/

d3

//

1x2

S2'

S1'

/

//

d

59

S1'

O'


  • Login