L’INTEGRALE DEFINITO

1. L’INTEGRALE DEFINITO

2. ARGOMENTI • Mappa concettuale • Le successioni numeriche • Il Trapezoide – area del Trapezoide • L’integrale definito – def. Di Riemann • Funzioni integrabili secondo Riemann • Proprietà dell’integrale definito – teorema della media • La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario • Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione” • Applicazioni dell’integrale definito- Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede - Calcolo di volumi - volumi di figure di rotazione - Lunghezza di un arco di curva - Calcolo dell’area di superfici di rivoluzione - Integrali impropri o generalizzati - Applicazioni del calcolo integrale alla fisica

3. c CONCETTO di LIMITE L’INTEGRALE DEFINITO è il limite di una successione LA DERIVATA è il limite del rapp.increm. L’INTEGRALE INDEFINITO è l’insieme infinito delle PRIMITIVE INTEGRALE DEFINITO e AREA del TRAPEZOIDE TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

4. LE SUCCESSIONI NUMERICHE Una successione è una funzione reale di variabile naturale: f: N  R (Dominio N e Codominio R) Una successione può essere definita: 1. Mediante la formula che definisce il termine n-esimo: an = 2n2+1  nN 2. Per ricorrenza, cioè indicando i primi termini e la legge che lega un termine al precedente:a0= 0, a1= 1, … , an+2= an+1+an (a0=0, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5, a6=8, a7=13, a8=21 … successione di Fibonacci).

5. LIMITI DELLE SUCCESSIONI Non ha senso considerare il limite di una successione per n tendente ad un valore finito, ma, essendo il dominio N illimitato superiormente, è interessante studiare il limite di una successione per n  + . Definizioni: • Successione convergente: si dice che una successione {an} converge verso l, e si scrive se  R+ esiste un nN, tale che si verifichi |an-l| <  ancon n > n. • Successione divergente: diverge positivamente se diverge negativamente se 3. Successione indeterminata: si dicono indertminate le successioni che non sono nè convergenti, nè divergenti.

6. DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI • Progressione aritmetica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo seguente: a1, a2=a1+d, a3=a2+d, … , an+1=an+d Il numero reale d prende il nome di ragione. La somma dei primi n termini è data dalla formula: 2. Progressione geometrica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo seguente: a1, a2=a1q, a3=a2q, … , an+1=anq Il numero reale q prende il nome di ragione. La somma dei primi n termini è data dalla formula:

7. IL TRAPEZOIDE Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi sia non negativa. Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.

8. L’AREA DEL TRAPEZOIDE Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Miesistono per il teorema di Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme:

9. snprende il nome diplurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate minime mi della curva in tali intervallini; Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è … Evidentemente sn≤Sn ,qualunque sia n. Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]: sn e Snsono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni. Teorema. Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n  +  e risulta: Definizione: Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0, dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune per n +  delle somme sn e Sn .

10. L’INTEGRALE DEFINITO Definizione di integrale definito secondo Riemann: Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con la scrittura: Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx . I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale: a - estremo inferiore, b - estremo superiore. La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione. N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b].

11. Se per ogni x [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile, allora rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a≤x≤b, 0 ≤ y≤ f(x)}.        

12. Esempi di calcolo dell’integrale definito. • Considero la funzione f(x) = px + q e calcolo l’integrale definito La f(x) è continua in [a ; b].

13. Calcoliamo ora l’integrale definito: Si può anche scrivere : L’ultima espressione è la formula per l’area del trapezio !

14. Osservazione importante: L’espressione precedente si può scrivere nel seguente modo: Il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [a ; b] della funzione Si può scrivere quindi: Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow) spiega tale concetto.

15. 2. Considero la funzione f(x) = 2 x e calcolo l’integrale definito La f(x) è continua in [1 ; 2]. Dividiamo l’intervallo [1;2] in n parti uguali, mediante i punti x0, x1, … , xn-1, xn : Le somme fra parentesi sono quelle di n termini in progressione geometrica di ragione 21/n , perciò si può scrivere:

16. Anche in questo caso osservo che il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [1 ; 2] della funzione Si può scrivere quindi:

17. FUNZIONI INTEGRABILI Teorema Condizione necessaria affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia limitata in [a; b] . La condizione non è sufficiente. Esempio: la funzione f(x) sia definita in [a; b] dalla seguente legge: Questa funzione, pur essendo limitata in [a; b], ivi non è integrabile secondo Riemann, perché, come si dimostra facilmente Teorema Condizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] . Classi di funzioni integrabili: • Ogni funzione f : [a, b]  R   continua è integrabile; • Ogni funzione f : [a, b]  R   limitata e monotona è integrabile; • Ogni funzione f : [a, b]  R    limitata con un numero finito o numerabile di punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile.

19. PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO Definizioni: • se a < b si pone:                                             • se a = b Teoremi:         1. 2. 3. 4. 5. 6. proprietà additiva

20. 7. Teorema della media Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c [a, b] tale che (*) Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b]. Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha: L’espressione è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori intermedi, esiste almeno un punto c [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*).

21. Interpretazione geometrica del teorema della media. Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato. Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata. In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente come area al trapezoide.

22. FUNZIONE INTEGRALE Fissato x0 [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]: Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione.

23. La Funzione Integrale – altra interpretazione grafica

24. TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE(Torricelli-Barrow) Data una funzione f(x)continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale è derivabile x [a, b], e si ha:F'(x) = f (x) eF(a) = 0 . Dimostrazione: prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x):

25. Calcolo il limite del rapporto incrementale per h  0: Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) . La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo:

26. Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale Data la funzione f(x)continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha: Dimostrazione: Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè φ(x) = F(x) + k φ(x) = + k , quindi, poiché , si ha: Regola: L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore a dell’integrale stesso.

29. Grafico della funzione integrale F(x) Se fosse sempre facile determinare una primitiva di una funzione, per studiare la funzione integrale F(x), basterebbe determinare una primitiva (x) della f(x), quindi porre F(x) = (x) - (a), come, per esempio: Questo procedimento non sempre è agevole e conviene tener presente quanto segue. Il teorema di Toricelli-Barrow afferma che, data una funzione f(x), continua sull'intervallo [a, b], la sua funzione integrale è derivabile x [a, b], e si ha: F’(x) = f (x) eF(a) = 0 . Osserviamo, quindi che: • se f(x) > 0  F(x) è crescente, se f(x) < 0  F(x) è decrescente; • se f(x) = 0  esistono punti stazionari (a tangente orizzontale) par la F(x); • se f(x) è dispari  F(x) è pari; • se f(x) è pari e a = 0  F(x) è dispari. Dalle due figure seguenti si comprende il significato della condizione ‘ a = 0 ’.

32. Esempio: studia la funzione ( in questo caso non è facile trovare la primitiva! ) Poiché si ha che: dominio F(x): tutto R; F(x) > 0 per x > 0 (la funzione integranda è sempre positiva!); F(x) = 0 per x = 0 ( F(a) = 0), quindi passa per l’origine; per quanto detto sopra, ai punti a,b,c,d, si ha: a. F’(x) = f(x) > 0  x R  F(x) è sempre crescente in R; b. F’(x) = f(x) = 0 per nessun valore di x, quindi F(x) non ha punti stazionari; d. f(x) è pari e a = 0, quindi la F(x) è dispari. quindi concavità verso l’alto per x < 0, verso il basso per x > 0 e punto di flesso discendente nell’origine, con tangente y = x ( y =F’(0)x , con F’(0)=1 ). Tenuto presente che , si riconosce che le tangenti al grafico di F(x) hanno, al tendere di x a ±  , coefficienti angolari sempre più piccoli: ciò suggerisce l’esistenza di due asintoti orizzontali, uno per x  +  e uno per x  -  . Da quanto detto, il grafico sarà:

34. REGOLE DI INTEGRAZIONE 1. Integrazione per parti Siano f e g due funzioni continue con le derivate f' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale: g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:

35. 2. Integrazione per sostituzione Sia  f : [a, b]  R una funzione continua, sia  φ : [α, β]  [a, b]  una funzione continua e derivabile con continuità.Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo  [c, d]  [a, b], esistono due valori  γ, δ  tali che c = φ(γ),  d=φ (δ) e vale la formula: Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato.Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ]è univocamente determinato, in tal caso si può scrivere: Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:

36. Esempio Considero la funzione f(x) = x e l’integrale definito Sia inoltre φ(t) = t2, funzione non invertibile (si deve effettuare una restrizione per renderla invertibile) e sia x = φ(t), cioè x = t2 e Osservo che l’intervallo di x [1;4] è immagine di quattro intervalli di t: [1;4] = φ([1;2]) = φ([-1;2]) = φ([1;-2]) = φ([-1;-2]) . Effettuando la sostituzione x  t2, ( dx = d(t2)  dx = 2tdt ), si ha:

41. Altro esempio (integrazione per sostituzione) Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che: Di ciascuno dei seguenti integrali: dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è questo. Risoluzione. Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti: per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano x = 0  t = 0; x = 1  t = 1/2; x = 2  t =1, quindi