Potenzen und wurzeln zusammenfassung
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Presentation Transcript
Potenzen und wurzeln zusammenfassung

Wenn dieses Symbol erscheint, musst du die Taste drücken, damit es weitergeht

Potenzen und WurzelnZusammenfassung

Jahrgang 8 G- Kurs


Du bist jetzt hier: drücken, damit es weitergeht 1 Potenzen2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln


Eine potenz gibt an wie oft eine zahl mit sich selber malgenommen wird
Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selber malgenommen wird:

4³ = 4 · 4 · 4

125 = 12 · 12 · 12 · 12 · 12

68 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6

77 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7


Eine besondere potenz ist die quadratzahl hier ist die hochzahl immer die 2

Wir erinnern uns: Beim malgenommen wird:Quadrat ist die Fläche immer

A = a · a = a²

A

a

a

Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl. Hier ist die Hochzahl immer die 2.

42 = 4 · 4

122 = 12 · 12

62 = 6 · 6


Man kann mit potenzen rechnen ohne diese jeweils auszuschreiben
Man kann mit Potenzen rechnen, ohne diese jeweils auszuschreiben:

Beispiel:

43 · 4 =

4· 4 · 4 · 4 =

44

Das geht doch auch direkt!?

44 · 4 =

45

Einmal „·4“ mehr, also …

Das gilt, auch wenn es nicht „·4“, sondern „das Vierfache von“ heißt:

Das Vierfache von 47 =

48

Das Vierfache, also „·4“!

4·4·4·4·4·4·4 ·4

also 8 mal


F r potenzen gelten vorfahrtregeln wie f r und und auch
Für Potenzen gelten Vorfahrtregeln wie für „+“ , „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

Zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- und zuletzt Strichrechnung.

Beispiel:

Zuerst KLammer

(4 + 3)²+ 2 · 5 =

Dann Potenz

72 + 2 · 5 =

Dann „·“ und „:“

14 + 2 · 5 =

14 + 10 =

24

Dann „+“ und „-“


Es gibt noch andere auff lligkeiten
Es gibt noch andere Auffälligkeiten! „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

= 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

34·35

= 39

Aha, ich muss also nur 4 + 5 = 9 rechnen

34·35 = 34+5=39

Das ist ja viel weniger Arbeit!

Das ist ‚ne Rechenregel!

74·78 =74+8= 712

Mit Buchstaben:

xm·xn = xm+n


Du bist jetzt hier: „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. 1 Potenzen  2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln


Eine weitere besondere potenz ist die zehnerpotenz hier ist die grundzahl immer die 10
Eine weitere besondere Potenz ist die „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. Zehnerpotenz. Hier ist die Grundzahl immer die 10.

102 = 10 · 10 = 100

103 = 10 · 10 · 10 = 1000

107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10000000

Bei genauer Betrachtung fällt auf, das die Hochzahl immer der Anzahl der Nullen entspricht!


Brigens

1 = 10 „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. 0Eins

10 = 101Zehn

100 = 102 Hundert

1000 = 103 Tausend

10000 = 104Zehn- Tausend

100000 = 105 Hundert-Tausend

1000000 = 106Millionen

10000000 = 107Zehn-Millionen

100000000 = 108 Hundert-Millionen

1000000000 = 109Milliarden

10000000000 = 1010Zehn-Milliarden

100000000000 = 1011 Hundert-Milliarden

1000000000000 = 1012Billionen

10000000000000 = 1013Zehn-Billionen

100000000000000 = 1014 Hundert-Billionen

1000000000000000 = 1015Billiarden

10000000000000000 = 1016 Zehn- Billiarden

100000000000000000 = 1017Hundert-Billiarden

Übrigens


Du bist jetzt hier: „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. 1 Potenzen2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln


Wir kennen

= 10 „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. 9

10 00000000

= 108

100000000

= 107

10000000

= 106

1000000

= 105

100000

= 104

10000

= 103

1000

100

= 102

10

= 101

1

= 100

10-1 =

0,1

10-2 =

0,01

10-3 =

0,001

10-4 =

0,0001

10-5 =

0,00001

Wir kennen:

Neu!

Über die Hochzahl können wir auch kleine Zahlen definieren!

Die Hochzahl zeigt, wie oft das Komma von der 1 weg verschoben wird!


Zehnerpotenzen mit negativem exponent beschreiben den rechenschritt 10

1 „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

10

1

10 · 10

1

10 · 10 · 10

= 0,1

10-1 =

= 0,01

10-2 =

= 0,001

10-3 =

Zehnerpotenzen mit negativem Exponent beschreiben den Rechenschritt „:10“

Wenn wir „:10“ als Bruch ausdrücken, können wir schreiben:

Und weiter gilt

.. und so weiter!

Die negative Hochzahl einer Zehnerpotenz gibt also an, wie oft durch 10 geteilt wird.


Du bist jetzt hier: „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. 1 Potenzen2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen 5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln


Grosse zahlen mit zehnerpotenzen
Grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

Man kann sehr große Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !

Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle !

268900000000000

= 2689 · 1011

= 268,9 · 1012

11 Nullen,

(11 Kommastellen)!

= 26,89 · 1013

= 2,689 · 1014


Kleine zahlen mit zehnerpotenzen
Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

Man kann sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !

Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle, aber in die andere Richtung!!

0,0002689

= 2,689 · 10-4

= 26,89 · 10-5

4 Kommastellen

= 268, 9 · 10-6

= 2689 · 10-7


Du bist jetzt hier: „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. 1 Potenzen2 Zehnerpotenzen 3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln 6 Kubikwurzeln


Quadratwurzel

2 „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

? = 16

Quadratwurzel

Bisher haben wir das Ergebnis einer Potenzierung gesucht:

Beispiel:

5² =

5 · 5 =

25

Jetzt haben wir das Ergebnis und suchen die Zahl, die mit sich selber malgenommen das Ergebnis ergibt.

? · ? =

16

Diese Berechnung hat eine bestimmte Schreibweise:

Man sagt dazu: „Wurzel“, hier „Wurzel 16“.


Quadratwurzel1

25 = „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

5 =

16 =

8 =

9 =

2

2

2

2

2

2,2360679774997896964091736687313..

2,8284271247461900976033774484194...

Quadratwurzel

Aus dem 1 x 1 kennen wir schon verschiedene Ergebnisse

Beispiel:

4 denn 4 · 4 = 16

3 denn 3 · 3 = 9

5 denn .....

Andere Zahlen gehen nicht glatt auf:


Quadratwurzel2

9 = „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

9 ist

9

1, 2, 9, 16, 5, 6, 7, 8, 81, 10, 11, =

1, 2, 3, 4, 25, 6, 7, 8, 9, 100, 11, =

Es ist also nicht nur

sondern

3

3 usw.

Damit liegt die Zahl

zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 4.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

... und die Zahl

7 (= 2,64575131106459...)

zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 3.

Quadratwurzel

Die Wurzel gilt nicht als Term, also „Rechenanweisung“, sondern als Zahl.

Man könnte also schreiben:

oder:


Quadratwurzel3

16 = „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch. 4

36 = 6

2

2

1600 = 40

3600 = 60

2

2

160 = 12,64911064

360 = 18,97366596

2

2

16000 = 126,4911064

36000 = 189,7366596

2

2

Quadratwurzel

Man kann bei einigen Zahlen vorhersehen, ob das Ergebnis einer Wurzel eine „glatte“ Zahl ergibt:

Beispiel:

aber:

aber:

Du kommst selber drauf. Achte auf die Anzahl der Nullen!


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