Potenzen und wurzeln zusammenfassung
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Potenzen und Wurzeln Zusammenfassung

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Presentation Transcript


Potenzen und wurzeln zusammenfassung

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Potenzen und WurzelnZusammenfassung

Jahrgang 8 G- Kurs


Potenzen und wurzeln zusammenfassung

Du bist jetzt hier:1 Potenzen2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln


Eine potenz gibt an wie oft eine zahl mit sich selber malgenommen wird

Eine Potenz gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selber malgenommen wird:

4³ = 4 · 4 · 4

125 = 12 · 12 · 12 · 12 · 12

68 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6 · 6

77 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7


Eine besondere potenz ist die quadratzahl hier ist die hochzahl immer die 2

Wir erinnern uns: Beim Quadrat ist die Fläche immer

A = a · a = a²

A

a

a

Eine besondere Potenz ist die Quadratzahl. Hier ist die Hochzahl immer die 2.

42 = 4 · 4

122 = 12 · 12

62 = 6 · 6


Man kann mit potenzen rechnen ohne diese jeweils auszuschreiben

Man kann mit Potenzen rechnen, ohne diese jeweils auszuschreiben:

Beispiel:

43 · 4 =

4· 4 · 4 · 4 =

44

Das geht doch auch direkt!?

44 · 4 =

45

Einmal „·4“ mehr, also …

Das gilt, auch wenn es nicht „·4“, sondern „das Vierfache von“ heißt:

Das Vierfache von 47 =

48

Das Vierfache, also „·4“!

4·4·4·4·4·4·4 ·4

also 8 mal


F r potenzen gelten vorfahrtregeln wie f r und und auch

Für Potenzen gelten Vorfahrtregeln wie für „+“ , „-“ „·“ und „:“ und „()“ auch.

Zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- und zuletzt Strichrechnung.

Beispiel:

Zuerst KLammer

(4 + 3)²+ 2 · 5 =

Dann Potenz

72 + 2 · 5 =

Dann „·“ und „:“

14 + 2 · 5 =

14 + 10 =

24

Dann „+“ und „-“


Es gibt noch andere auff lligkeiten

Es gibt noch andere Auffälligkeiten!

= 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

34·35

= 39

Aha, ich muss also nur 4 + 5 = 9 rechnen

34·35 = 34+5=39

Das ist ja viel weniger Arbeit!

Das ist ‚ne Rechenregel!

74·78 =74+8= 712

Mit Buchstaben:

xm·xn = xm+n


Potenzen und wurzeln zusammenfassung

Du bist jetzt hier:1 Potenzen  2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln


Eine weitere besondere potenz ist die zehnerpotenz hier ist die grundzahl immer die 10

Eine weitere besondere Potenz ist die Zehnerpotenz. Hier ist die Grundzahl immer die 10.

102 = 10 · 10 = 100

103 = 10 · 10 · 10 = 1000

107 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10000000

Bei genauer Betrachtung fällt auf, das die Hochzahl immer der Anzahl der Nullen entspricht!


Brigens

1 = 100Eins

10 = 101Zehn

100 = 102 Hundert

1000 = 103 Tausend

10000 = 104Zehn- Tausend

100000 = 105 Hundert-Tausend

1000000 = 106Millionen

10000000 = 107Zehn-Millionen

100000000 = 108 Hundert-Millionen

1000000000 = 109Milliarden

10000000000 = 1010Zehn-Milliarden

100000000000 = 1011 Hundert-Milliarden

1000000000000 = 1012Billionen

10000000000000 = 1013Zehn-Billionen

100000000000000 = 1014 Hundert-Billionen

1000000000000000 = 1015Billiarden

10000000000000000 = 1016 Zehn- Billiarden

100000000000000000 = 1017Hundert-Billiarden

Übrigens


Potenzen und wurzeln zusammenfassung

Du bist jetzt hier:1 Potenzen2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln


Wir kennen

= 109

10 00000000

= 108

100000000

= 107

10000000

= 106

1000000

= 105

100000

= 104

10000

= 103

1000

100

= 102

10

= 101

1

= 100

10-1 =

0,1

10-2 =

0,01

10-3 =

0,001

10-4 =

0,0001

10-5 =

0,00001

Wir kennen:

Neu!

Über die Hochzahl können wir auch kleine Zahlen definieren!

Die Hochzahl zeigt, wie oft das Komma von der 1 weg verschoben wird!


Zehnerpotenzen mit negativem exponent beschreiben den rechenschritt 10

1

10

1

10 · 10

1

10 · 10 · 10

= 0,1

10-1 =

= 0,01

10-2 =

= 0,001

10-3 =

Zehnerpotenzen mit negativem Exponent beschreiben den Rechenschritt „:10“

Wenn wir „:10“ als Bruch ausdrücken, können wir schreiben:

Und weiter gilt

.. und so weiter!

Die negative Hochzahl einer Zehnerpotenz gibt also an, wie oft durch 10 geteilt wird.


Potenzen und wurzeln zusammenfassung

Du bist jetzt hier:1 Potenzen2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln


Grosse zahlen mit zehnerpotenzen

Grosse Zahlen mit Zehnerpotenzen

Man kann sehr große Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !

Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle !

268900000000000

= 2689 · 1011

= 268,9 · 1012

11 Nullen,

(11 Kommastellen)!

= 26,89 · 1013

= 2,689 · 1014


Kleine zahlen mit zehnerpotenzen

Kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen

Man kann sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen ausdrücken !

Bei jeder Erhöhung der Zehnerpotenz verschiebt sich das Komma um eine Stelle, aber in die andere Richtung!!

0,0002689

= 2,689 · 10-4

= 26,89 · 10-5

4 Kommastellen

= 268, 9 · 10-6

= 2689 · 10-7


Potenzen und wurzeln zusammenfassung

Du bist jetzt hier:1 Potenzen2 Zehnerpotenzen3 Zehnerpotenzen mit negativen Hochzahlen 4 Standardschreibweise für große und kleine Zahlen5 Quadratwurzeln6 Kubikwurzeln


Quadratwurzel

2

? = 16

Quadratwurzel

Bisher haben wir das Ergebnis einer Potenzierung gesucht:

Beispiel:

5² =

5 · 5 =

25

Jetzt haben wir das Ergebnis und suchen die Zahl, die mit sich selber malgenommen das Ergebnis ergibt.

? · ? =

16

Diese Berechnung hat eine bestimmte Schreibweise:

Man sagt dazu: „Wurzel“, hier „Wurzel 16“.


Quadratwurzel1

25 =

5 =

16 =

8 =

9 =

2

2

2

2

2

2,2360679774997896964091736687313..

2,8284271247461900976033774484194...

Quadratwurzel

Aus dem 1 x 1 kennen wir schon verschiedene Ergebnisse

Beispiel:

4 denn 4 · 4 = 16

3 denn 3 · 3 = 9

5 denn .....

Andere Zahlen gehen nicht glatt auf:


Quadratwurzel2

9 =

9 ist

9

1, 2, 9, 16, 5, 6, 7, 8, 81, 10, 11, =

1, 2, 3, 4, 25, 6, 7, 8, 9, 100, 11, =

Es ist also nicht nur

sondern

3

3 usw.

Damit liegt die Zahl

zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 4.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

... und die Zahl

7 (= 2,64575131106459...)

zwischen den natürlichen Zahlen 2 und 3.

Quadratwurzel

Die Wurzel gilt nicht als Term, also „Rechenanweisung“, sondern als Zahl.

Man könnte also schreiben:

oder:


Quadratwurzel3

16 = 4

36 = 6

2

2

1600 = 40

3600 = 60

2

2

160 = 12,64911064

360 = 18,97366596

2

2

16000 = 126,4911064

36000 = 189,7366596

2

2

Quadratwurzel

Man kann bei einigen Zahlen vorhersehen, ob das Ergebnis einer Wurzel eine „glatte“ Zahl ergibt:

Beispiel:

aber:

aber:

Du kommst selber drauf. Achte auf die Anzahl der Nullen!


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