Margem de fase e margem de ganho
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Margem de Fase e Margem de Ganho. Margem de Fase e Margem de Ganho. Considere uma FTMA G estritamente própria e sem pólos ou zeros no SPD fechado, com a possível exceção de um pólo simples na origem. O critério de estabilidade de Nyquist leva em conta o ganho e a fase

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Margem de Fase e Margem de Ganho

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Presentation Transcript


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Fase e Margem de Ganho


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Fase e Margem de Ganho

Considere uma FTMA G estritamente própria e sem pólos ou zeros

no SPD fechado, com a possível exceção de um pólo simples na origem.

O critério de estabilidade de Nyquist leva em conta o ganho e a fase

De G(jw) com relação ao ponto crítico -1.


Margem de fase e margem de ganho

Im

-1

Re

Margem de Fase e Margem de Ganho

Considere o sistema original estável.

Como fica a estabilidade para o sistema perturbado?


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Fase e Margem de Ganho


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Fase e Margem de Ganho


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Fase e Margem de Ganho


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Fase e Margem de Ganho


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Fase e Margem de Ganho


Margem de fase e margem de ganho

Margens de Ganho e Fase pelo diagrama de Bode


Margem de fase e margem de ganho

Análise de estabilidade

via diagrama de Bode

  • Critério de estabilidade via diagrama de Bode. Considere uma FTMA GMA estritamente própria e sem pólos ou zeros no SPD fechado, com a possível exceção de um pólo simples na origem. Assuma que a resposta em frequencia de MA tenha apenas um único ponto de frequência de cruzamento de fase

  • e um único ponto de frequencia de cruzamento de ganho

  • Neste caso, a FTMF é estável se e só se MG>0 dB e MF>0

  • Se a frequência de cruzamento de ganho é menor do que a frequência de cruzamento de fase

  • então a malha fechada é estável.


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Ganho

negativa

Margem de Ganho

positiva

1

1

-1

-1

Margem de fase

negativa

Margem de fase

positiva

Sistema instável

Sistema estável


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Ganho

positiva

Margem de Ganho

negativa

dB

dB

0

0

Margem de fase positiva

Margem de fase negativa

Sistema estável

Sistema instável


Margem de fase e margem de ganho

Estabilidade via diagrama de Bode

K em dB

Margem de fase

Este sistema é estável.


Margem de fase e margem de ganho

Estabilidade via diagrama de Bode

Neste exemplo, o sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa é instável.


Margem de fase e margem de ganho

Estabilidade via diagrama de Bode

K

MG(dB)

Estável?

C

1

+12

Sim

4

0

Condicionalm.estável

20

-14

Não

Considere um processo com função de transferência Gp(s). Se for utilizado um controle proporcional, determine a estabilidade em malha fechada para 3 valores de Kc: 1, 4 e 20.

Observe que o gráfico da fase é o mesmo para os três casos (por que?).


A margem de ganho e de fase s o relacionadas

A margem de ganho e de fase são relacionadas

Válido para sistemas de fase mínima

Bode mostrou que

A margem de fase é largamente determinada pela inclinação da curva de ganho na frequência de crossover de ganho


Margem de fase e margem de ganho

A margem de ganho e de fase são relacionadas

exemplo:para inclinação na frequência de cross over do ganho de

–40 dB/década

temos que

MF= 0 - correção

Para ter uma boa margem de fase, é desejável que a inclinação da curva na frequência seja de –20 dB/dec


Margem de fase e margem de ganho

Margem de Fase e

Desempenho Transitório

Apenas para sistemas de segunda ordem

Relação entre MF e z

A aproximação linear se aplica apenas para valores de  no intervalo 0   0,6. Valores aceitáveis para a taxa de amortecimento  : 0,3   0,7 Portanto: 30oMF  65o.


Margem de fase e margem de ganho

Observações

  • Para sistemas de ordem maior do que 2, são disponíveis técnicas matemáticas para a obtenção da correlação exata entre margem de fase e coeficiente de amortecimento, porém são muito trabalhosas e de pequeno valor prático.

  • Em geral, valores grandes de MG e MF correspondem a respostas em malha fechada mais lentas, enquanto que valores menores, resultam em respostas mais rápidas mas mais oscilatórias.

  • A especificação da MF e da MG requer um compromisso entre desempenho e robustez.

Margem de ganho MG e margem de fase MF  intervalos aceitáveis (depende do autor):


Margem de fase e margem de ganho

Exemplo onde a margem de fase e a margem de ganho fornecem falsa noção de robustez de estabilidade


Margem de fase e margem de ganho

Frequência de Corte e Largura de Banda

A frequência de corte (ou de canto ou de largura de banda) wc é definida como sendo aquela a partir da qual o ganho cai abaixo de 3 dB com relação ao ganho de baixas frequências.

A região de frequências , é denominada largura de banda (ou largura de faixa, ou ainda, banda passante),


Margem de fase e margem de ganho

Frequência de Corte e Largura de Banda

  • Freqüência de corte: em geral, definido como especificação de projeto para sistema de malha fechada

  • A frequência de corteωc pode ser definida como a frequência no qual |G(jω)| = 0.707.

  • (-3dB corresponde a aproximadamente |G(jω)| = 0.707)

  • alguns autores usam o ponto de –6dB ao invés do ponto –3dB.

  • A largura de banda (bandwidth) indica a faixa de frequencias para qual ocorre acompanhamento (tracking) satisfatório do set-point. Em particular, ωc é a maior frequência para que um set point senoidal não seja atenuado mais do que 70.7%.


Margem de fase e margem de ganho

Frequência de Corte e Largura de Banda

  • O sistema filtra os componentes do sinal cujas freqüências são maiores do que a freqüência de corte e transmite aquelas componentes do sinal com freqüências menores do que a freqüência de corte.

  • A largura de faixa fornece uma indicação da velocidade de resposta de um sistema de controle.


  • Margem de fase e margem de ganho

    Frequência de Corte e Largura de Banda

    Para sistemas de segunda ordem, podemos relacionar a frequência de largura de banda (frequência de corte) com coeficiente de amortecimento e tempo de resposta (tempo de acomodação, subida, pico,...)


    Margem de fase e margem de ganho

    ·A velocidade de resposta a uma entrada do tipo degrau será proporcional a wB.

    ·        Exemplo: considere duas funções de transferência de malha fechada T1 e T2:

    A resposta em freqüência, a resposta ao degrau e a resposta à rampa dos dois sistemas estão mostradas a seguir:


    Margem de fase e margem de ganho

    ·Considere agora os dois sistemas de segunda ordem a seguir, com funções de transferência de malha fechada:

    Ambos os sistemas possuem sobre-sinal de 15%, mas T4possui um tempo de pico de 0.12 segundos, comparado a 0.36 segundos para T3.

    Observe também que o tempo de acomodação para T4é de 0.37 segundos, enquanto que é de 0.9segundos para T3.


    Margem de fase e margem de ganho

    Frequência de Corte e Largura de Banda

    • Uma estimativa grosseira que pode ser usada

    • frequência de corte=frequência natural=k/(tempo de resposta).

    • Fatores para especificação da largura de banda (da malha fechada) :

    • i) fidelidade de reprodução dos sinais de entrada pela saída;

    • ii) características de filtragem requeridas para o ruído de alta frequência.


    Margem de fase e margem de ganho

    Carta de Nichols [família de curvas dos ganhos (em dB) e ângulos de fase (em graus) de malha fechada]


    Margem de fase e margem de ganho

    Outro exemplo de Carta de Nichols [os ganhos não estão em dB]


    Margem de fase e margem de ganho

    Curvas de Módulo Constante para Malha Fechada _Círculos-M


    Margem de fase e margem de ganho

    Círculos deganho de malha fechada constante


    Margem de fase e margem de ganho

    Curvas de Fase Constante para Malha Fechada_Círculos-N


    Margem de fase e margem de ganho

    Im(G)

    Círculos defase constante

    Re(G)

    -1

    -0.5

    0

    j

    a

    r

    c

    y

    G

    1+G

    Circunferência

    (centro = -0.5-jc, raio = r)


    Margem de fase e margem de ganho

    Im(G)

    Círculos defase constante

    Re(G)

    -1

    -0.5

    0

    j

    a

    y

    r

    -c

    y

    Circunferência

    (centro = -0.5-jc, raio = r)

    G

    1+G


    Margem de fase e margem de ganho

    A função de transferência de malha fechada pode ser obtida superpondo-se o diagrama polar de G(jw) nos diagramas dos círculos-M e círculos-N.

    Observe que o pico de ressonância da função de transferência de malha fechada ocorre em w=w4 , onde o diagrama polar da função de transferência de malha aberta G(jw)é tangente a um círculo-M com M=2.


    Margem de fase e margem de ganho

    Exemplo: Carta de Nichols

    Considere um sistema com realimentação unitária com uma função de transferência de malha aberta dada por:

    O diagrama de Nichols para G(jw)superposto à carta de Nichols é mostrado abaixo:


    Margem de fase e margem de ganho

    Determinar para

    a MF

    Freq. Ress wr

    Freq corte wc


    Margem de fase e margem de ganho

    ·A magnitude máxima da função de transferência de malha fechada é aproximadamente igual a +2.5dBe ocorre em wr=0.8 rad/s.

    ·A frequência de corte, onde a magnitude de malha fechadaé igual a –3dB , é igual a wcMF=1.33rad/s, ponto no qual a fase de malha fechada é –142o.


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