Neuer Abschnitt: Modellierung des Raumes

1. Neuer Abschnitt:Modellierung des Raumes Bisher: Modellierung von Objekten

2. Räume (I) • Nach I. Kant ist der Raum eine grundlegende Form unserer Anschauung • anders ausgedrückt: eine bestimmte Weise, wie wir unsere Wahrnehmung organisieren • die Vorstellung von Raum geht somit der Erfahrung (Messung) voraus • eine Messung ist die Bestimmung einer Invariante • ohne das Konzept einer Invariante wäre die strafrechtliche Verfolgung von Geschwindigkeitsübertretungen nicht zu vertreten • Geschwindigkeit Invariante gegenüber • Tachometer • Radarmessung der Polizei

3. Räume (II) • Interessanterweise gibt es nicht einen, sondern mehrere Räume • abhängig von der Fragestellung • 4 große Bereiche • Betrachungen auf der Erdoberfläche • Geometrie auf dem Ellipsoid (geodätisches Rechnen) • Abbildung der Erdoberfläche auf die Ebene (Karte) • Netzentwürfe, Kartographie • Abbildungen im Raum und in der Ebene • euklidische Geometrie, lineare Algebra • Projektion auf das Bild • Verzerrende Abbildungen, Topologie

4. Projektivität Affinität Ähnlichkeit Bewegung Invarianten Abbildungen Operationen Geradentreue ... + Parallelenkonvergenz Parallelentreue ... + Scherung Winkeltreue Zoom  + r + t Abstandstreue r + t Verschiebungt Translation Rotation Rotation r (um 0) Koordinaten-differenzen Richtungswinkel-differenzen

5. Topologische Räume • In der Praxis sinnvolle Transformationen, die • alle „geometrischen“ Invarianten verletzen können • trotzdem „strukturelle“ räumliche Eigenschaften erhalten • Paradigma: elastische Verformung • Metapher: Gummihauttransformation • anderes Beispiel: Tätowierung • (kartographisches) Beispiel: • Übersichtskarte Hamburg (aus einem Tourenplaner) • Liniennetzplan des Hamburger Verkehrsverbundes

6. Übersichtskarte Hamburg und Umgebung

7. Schnellbahnen Hamburg undUmgebung

8. Ausgangs-punkt ElastischeVerformung

9. Ein Knoten ist Endpunkt einer Kante Zwei Kanten kreuzen sich / sind kreuzungsfrei Ein Punkt liegt im Inneren einer Fläche Ein Punkt liegt auf dem Rand einer Fläche Eine Fläche hat ein Loch Eine Fläche ist zusammenängend / nicht zusammenhängend Zwei Flächen sind benachbart Topologische Invarianten (Beispiele)

10. Nicht-topologische Eigenschaften • Abstand • Fläche • Winkel • Umfang • Durchmesser

11. Mathematik

12. Punkt Nachbarschaft Punktmengentopologie • Ausgangspunkt: Eine Menge S und die Menge allerTeilmengen von S (die Potenzmenge P(S) ) • Ein topologischer Raum besteht aus einer Menge S und einer Menge von Teilmengen von S (nicht notwendig aller), den Nachbarschaften. Dabei gilt: T1: Jeder Punkt x  S liegt in einer Nachbarschaft von S. T2: Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eine Punktes x  S enthält eine Nachbarschaft von x.

13. Beispiele Punkt • Die offene Kreisscheibein der euklidischen Ebene • Menge aller Punkte, die durch einen Kreis begrenzt werden, aber nichtauf demselben liegen • punktierte Linie: offen • durchgezogene Linie: geschlossen • Beachte: T2 ist erfüllt • Der Durchschnitt zweier Nachbarschaften eines x  S enthält eine Nachbarschaft von x. OffeneKreisscheibe

14. Weitere ( teilweise „pathologische“) Beispiele • Die diskrete Topologie von S: • S und die Menge aller Teilmengen von S • die kleinste Nachbarschaft von x ist {x}(„Einzimmerappartment“, daher der Name „diskret“) • Die indiskrete Topologie • S selbst ist die einzige Nachbarschaft von S • die offenen Intervalle (a,b) in der Menge S der reellen Zahlen als Nachbarschaften (S = R) • die offenen Kugeln in S = R3

15. Die „Fahrtzeittopologie“ • Gegeben sei ein Gebiet, das durch ein Verkehrsnetz erschlossen ist. S sei die Menge aller Punkte des Gebiets. • Sei d(x,y) die Fahrtzeit auf der kürzesten Verbindung zwischen x und y. • Annahme Für alle x, y  S gilt: d(x,y) = d(y,x) • Symmetrie, keine Einbahnstraßen • t-Zone: die Menge aller Punkte, die in weniger als t Minuten erreichbar ist. • S mit der Menge aller t-Zonen ist eine Topologie.

16. Die 1-Stunden-Zone um Liége

17. Jetzt kommen einige auf den ersten Blick recht abstrakte Definitionen

18. Zielbegriff:Der Rand oder die Grenze Teilziel:Offene und geschlossene Flächen

19. Im folgenden stets: S sei ein topologischer Raum, XS, x S x ist nahe an X, falls jede Nachbarschaft von x einen Punkt von X enthält. X ist offen, wenn jeder Punkt y  X eine Nachbarschaft hat, die ganz in X ist. X ist geschlossen, wenn X alle nahen Punkte enthält. C = {(x,y) | x2 + y2 < 1} sei die offene Kreisscheibe um den Ursprung mit Radius 1. Nicht nahe nahe Nähe, Offen + Geschlossen geschlossen offen

20. Der Abschluß einer Teilmenge X S ist die Vereinigung von X mit allen nahen Punkten.Notation: X¯ Komplement: X‘ Das Innere von X ist die Menge aller Punkte von X, die nicht zugleich nahe Punkte von X‘ sind. Notation: X° Die Grenze (oder der Rand) von X ist die Menge aller Punkte, die nahe zu X und zugleich zu X‘ sind. Notation: X Es gilt: X = X¯ \ X° (mengentheor. Diff.) Der „Rand“ einer offenen Kreisscheibe ist der Kreis (wie zu erwarten) Der Rand oder die Grenze

21. Das Innere von S Die Menge S Abschluß von S Rand von S Beispiele

22. Ein Punktmenge X heißt zusammenhängend, wenn für jede Partition (disjunkte Zerlegung) in nichtleere Teilmengen A und B gilt: Entweder enthält A einen Punkt nahe an B oder umgekehrt. nicht zusammenängend zusammenhängend Zusammenhang

23. Übung 1: Zeigen Sie:In der diskreten Topologie ist jede nichtleere Menge gleichzeitig offen und geschlossen. Übung 2:Zeigen Sie:In der indiskreten Topologie ist jede nichtleere Menge weder offen noch geschlossen. Diskret und indiskret

24. Eine topologische Transfor-mation (Homeomorphismus) oder eine elastische Verformung bildet Nachbar-schaften auf Nachbarschaften ab. Ferner ist jede Nachbarschaft Bild eine Nachbarschaft. Topologische Eigenschaften sind die Invarianten topologischer Abbildungen. Euklidische Topologie äquivalent nicht äquivalent Topologische Eigenschaften