14 多重積分

1. 14 多重積分 Multiple Integration

2. 14.1 逐次積分和平面上的面積 14.2 重積分和體積 14.3 積分變數變換：極坐標 14.4 質心和慣性矩 14.5 曲面面積

3. P.643 Ch14 多重積分 14.5 曲面面積(Surface area) 曲面面積的定義 假設 f 和 f 的偏導數都在 xy-平面中的閉區域 R上連續。 以 z = f (x, y) 的圖形在 R 之上所定出的曲面 S的面積公 式為

4. P.642 Ch14 多重積分 圖14.42

5. P.643 Ch14 多重積分 圖14.43

6. P.644 Ch14 多重積分 例 1平面區域的面積 如圖14.44，求平面 z = 2 – x –y 在四分之一的圓域 x2 +y2≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 上方的面積。 解　由於 fx(x, y) = –1，fy(x, y) = –1，所求部分的面積是 注意上述結果就是 乘上區域 R 的面積，R 是半徑為 1 的四分之一圓，面積等於π/4。所以 S 等於 π/4。

7. P.644 Ch14 多重積分 圖14.44平面在四分之一圓上部分的面積是 π/4。

8. P.644 Ch14 多重積分 例 2求曲面面積 如圖14.45(a)，求曲面 f (x, y) = 1 – x2 + y 在以 (1, 0, 0), (0,－1, 0) 和 (0, 1, 0) 為頂點的三角形上方的面積。 解　由於 fx(x, y) = –2x, fy(x, y) = 1，所求面積 S 為 從圖14.45(b)，不難看出 R 的範圍是 0 ≤x ≤ 1，和 x – 1 ≤ y ≤ 1 – x，所以 S 的積分變成

9. P.645 Ch14 多重積分 例 2（續）

10. P.644 Ch14 多重積分 圖14.45(a)

11. P.645 Ch14 多重積分 圖14.45(b)

12. P.645 Ch14 多重積分 例 3極坐標變數變換 如圖14.46 求拋物面z = 1+ x2 + y2在單位圓上方的面積。 解　由於 fx(x, y) =2x, fy(x, y) = 2y，所求面積 S 為 以 x =r cosθ,y =r sinθ代入，換成極坐標求積分。因 為 R 的範圍是 0 ≤ r ≤ 1 和 0 ≤θ≤ 2π，所以 S 的積分 變成

13. P.645 Ch14 多重積分 例 3（續）

14. P.645 Ch14 多重積分 圖14.46在單位圓上方的拋物面面積約為5.33。

15. P.645 Ch14 多重積分 例 4求曲面面積 如圖14.47，求半球面 在圓域 x2 + y2≤ 9 上方的面積。 解f 的一階偏導數為 從曲面面積的公式可得

16. P.646 Ch14 多重積分 例 4（續） 因此，所求面積 S 為 其中 R 代表圓域，x2 + y2≤ 9。以 x =r cosθ， y =r sinθ代入，換成極坐標求積分，由於 R 的範圍是 0 ≤ r ≤ 3 和 0 ≤θ≤ 2π，所以 S 的積分變成

17. P.645 Ch14 多重積分 圖14.47在圓域上方半球面的面積是10π。

18. P.646 Ch14 多重積分 圖14.48

19. P.646 Ch14 多重積分 例 5以辛浦森法求曲面面積的近似值 如圖14.49，求拋物面 f (x, y) = 2 – x2 – y2 在四方形區域 –1 ≤x ≤1, –1 ≤ y ≤ 1 上方的面積。 解f 的偏導數為 fx(x, y) = –2x和 fy(x, y) = –2y 代入曲面的面積公式得到

20. P.647 Ch14 多重積分 例 5（續） 其中 R 代表四方形區域。在極坐標中，直線 x = 1 就是 r cosθ= 1 或是 r = secθ。因此，求出圖14.50 中，R 的 四分之一部分的範圍是 令 x =r cosθ, y =r sinθ代入，換成極坐標積分得到

21. P.647 Ch14 多重積分 例 5（續） 最後，取 n = 10，以辛浦森法求單變數積分的近似值， 得到

22. P.647 Ch14 多重積分 圖14.50R的四分之一部分的範圍是：