1 / 14

Teorema Divergensi Gauss

Teorema Divergensi Gauss. Teorema Gauss.

kathy
Download Presentation

Teorema Divergensi Gauss

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Teorema Divergensi Gauss

  2. Teorema Gauss • In vector calculus, the divergence theorem, also known as Gauss's theorem or Ostrogradsky's theorem,is a result that relates the flow (that is, flux) of a vector field through a surface to the behavior of the vector field inside the surface. • More precisely, the divergence theorem states that the outward flux of a vector field through a closed surface is equal to the volume integral of the divergence of the region inside the surface. Intuitively, it states that the sum of all sources minus the sum of all sinks gives the net flow out of a region. • The divergence theorem is an important result for the mathematics of engineering, in particular in electrostatics and fluid dynamics. • In physics and engineering, the divergence theorem is usually applied in three dimensions. However, it generalizes to any number of dimensions. In one dimension, it is equivalent to the fundamental theorem of calculus. • The theorem is a special case of the more general Stokes' theorem.

  3. Teorema Gauss • Andaikan S suatu benda pejal tertutup dan terbatas dalam ruang dimensi-3, yang secara lengkap dicakup oleh suatu permukaan mulus sepotong-sepotong S (seperti pada gambar)

  4. Teorema Gauss • Andaikan F = Mi + Nj + Pk suatu medan vektor sedemikian sehingga M, N, dan P mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada S dan batasnya S. Jika n menyatakan normal satuan terluar terhadap S , maka atau

  5. Teorema Gauss • Tafsiran fisis Misalkan F(x, y, z) menyatakan vektor kecepatan fluida di (x, y, z) dan misalkan ΔS adalah bagian dari permukaan S. Banyaknya fluida yang melintasi permukaan ini per satuan waktu dalam arah n, secara aproksimasi adalah F.n ΔS disebut juga fluks dari medan vektor F menembus permukaan S

  6. Teorema Gauss • div F (x0, y0, z0) mengukur laju pada mana fluida “memencar” menjauhi (x0, y0, z0) • Jika div F (x0, y0, z0) > 0, maka terdapat sumber fluida di (x0, y0, z0) • Jika div F (x0, y0, z0) < 0, maka terdapat suatu tampungan untuk fluida di (x0, y0, z0)

  7. Teorema Gauss • Bukti: Tinjau kasus dimana S adalah x-sederhana, y-sederhana, dan z-sederhana dengan menunjukan bahwa

  8. Teorema Gauss Cukup membuktikan yang ketiga, karena yang lain serupa. Karena S adalah z-sederhana, maka S dapat dijelaskan oleh . Seperti pada gambar sebelumnya, S terdiri dari tiga bagian; S1 yang berpadanan dengan ; S2 yang berpadanan dengan ; dan permukaan S3 samping yang boleh kosong; pada S3, cos  = 0, sehingga dapat diabaikan.

  9. Teorema Gauss Jadi

  10. Contoh 1 • Hitung fluks medan vektor F = x2i + 2xzj + yz3k melewati permukaan benda pejal S yang ditentukan oleh: 0  x  1, 0  y  2, 0  z  3 dengan perhitungan mandiri: a) b)

  11. Contoh 2 • Buktikan teorema Gauss untuk F = x i + y j + z k dan S = dengan perhitungan mandiri: a) b)

  12. Contoh 3 • Misalkan S tabungpejal yang dibatasioleh danmisalkann normal satuan terluar terhadap S. Jika TentukanFluks F melintasiS

  13. Contoh 4 Evaluate where F = xy i + ½ y2 j

  14. Exercise Calculus 9th ed, Purcell Problem Set 14.6 No. 7, 10, 12, 15

More Related