ONDE

1. ONDE • Onde e loro proprietà1.1 Definizione di onda1.2 Classificazione delle onde1.3 Onde armoniche • Principio di Huygens • Riflessione • Rifrazione • Diffrazione • Principio di sovrapposizione • Interferenza • Effetto Doppler8.1 per il suono8.2 per la luce

2. ONDE E LORO PROPRIETA’ 1.1 Definizione di onda Un'onda è una perturbazione prodotta da una sorgente che si propaga attraverso lo spazio. Ad eccezione della radiazione elettromagnetica, ed a livello teorico della radiazione gravitazionale, che possono propagarsi nel vuoto, le onde esistono in un mezzo materiale, che, per deformazione, è in grado di produrre forze elastiche di richiamo. Attraverso la materia le onde possono viaggiare e trasferire energia da un punto all'altro, senza che alcuna particella del mezzo venga dislocata permanentemente: non esiste, quindi, un trasporto di massa associato, ogni punto materiale oscilla attorno a una posizione fissa. Qualunque sia la natura dell’onda, essa comporta unicamente trasporto di energia e non trasporto di materia: energia meccanica (cinetica e potenziale) se l’onda è meccanica, energia elettromagnetica, se l’onda è elettromagnetica. Onda meccanica impulsiva, originata dal movimento di un punto materiale.

3. 1.2 Classificazione delle onde a) Meccaniche – Elettromagnetiche – Gravitazionali meccaniche (corda vibrante, onde acustiche, onde sismiche, onde sulla superficie dell'acqua, ecc.): la perturbazione per propagarsi richiede un mezzo materiale solido, liquido o aeriforme; elettromagnetiche (onde radio, microonde, infrarosso, luce, raggi ultavioletti, x e ) e, solamente a livello teorico, gravitazionali: la perturbazione per propagarsi non richiede necessariamente un mezzo materiale, ma si propaga anche nel vuoto. b)Trasversali – Longitudinali – secondo la direzione della vibrazione Un'onda è detta trasversale se ogni punto del mezzo nel quale si propaga compie vibrazioni in direzione perpendicolare alla direzione di propagazione. Un'onda è detta longitudinale se ogni punto del mezzo nel quale si propaga compie vibrazioni nella stessa direzione di propagazione dell'onda.

4. Nei solidi si possono avere sia onde trasversali che onde longitudinali. Nei fluidi si hanno solo onde longitudinali. In alcune situazioni un mezzo può propagare onde sia longitudinali che trasversali: il moto di ogni particella è una composizione di moto longitudinale e trasversale; questo avviene nei solidi (es. onde acustiche e sismiche) e alla superficie dei liquidi (es. onde sull'acqua). Le onde acustiche nell'aria e nell'acqua sono solo longitudinali. Le onde elettromagnetiche sono solo trasversali. Direzione di propagazione perturbazione Onda trasversale Onda longitudinale

6. c) Mono-bi-tri-dimensionali – secondo il numero di dimensioni del mezzo di propagazione • Mezzo di propagazione monodimensionale: corda tesa, molla. Per i mezzi di propagazione bi-tri-dimensionali, definiamo il Fronte d’onda e il Raggio:Fronte d’onda:è il luogo dei punti che vibrano concordemente (in fase), in modo tale che per ciascuno di essi lo spostamento dalla posizione d’equilibrio assuma lo stesso valore in ogni istante.Raggio: è una retta normale al fronte d’onda e identifica la direzione di propagazione. • Mezzo di propagazione tridimensionale (aria per il suono): Onde sferiche: i fronti d’onda sono superfici sferiche (l’aria per il suono) Onde piane: i fronti d’onda sono superfici piane • Mezzo di propagazione bidimensionale (superficie dell’acqua): Onde circolari (corrispndenti alle sferiche): i fronti d’onda sono circonferenzeOnde rettilinee (corrispndenti alle piane): i fronti d’onda sono rette

7. Immagini di onde e di fronti d’onda aa Onde circolari s Onde sferiche

8. d) Impulsive - Periodiche – secondo il comportamento nel tempo della sorgente • Onda impulsiva: la sorgente è, per esempio, un punto materiale soggetto ad un singolo impulso, che crea una singola onda. •Onda periodica: la sorgente è, per esempio, un punto materiale soggetto ad un moto periodico, che crea un treno d’onde periodico. In particolare, se il moto periodico della sorgente è armonico, si forma un’ onda armonica. Onda meccanica impulsiva. Onda periodica Onda periodica armonica

9. 1.3Onde armoniche Si origina un’onda armonica quando la sorgente della perturbazione è costituita da un movimento locale di materia di tipo armonico, con la condizione, per le onde meccaniche, che il mezzo di propagazione sia perfettamente elastico. Lo studio delle onde armoniche è molto importante non solo dal punto di vista concettuale, ma anche dal punto di vista pratico, perché molte sorgenti di onde vibrano in modo armonico o genericamente periodico, dando origine a onde armoniche o genericamente periodiche che, a loro volta, possono essere rappresentate da una somma di onde armoniche (teorema di Fourier).

10. Moto armonico: un punto materiale P si muove lungo l’asse x con moto armonico se la sua ascissa x varia nel tempo secondo la legge x(t) = Asen( t + ) e tale moto è causato da una forza di intensità proporzionale alla distanza x di P dall’origine O e costantemente diretta verso O (forza elastica di richiamo F = - kx) .

11. E’comodo analizzare il moto armonico di un punto P, considerandolo come la proiezione del moto circolare uniforme di un altro punto Q su un diametro della sua traiettoria. Definizioni: • centro di oscillazione: il punto O; • estremi di oscillazione: i punti A e B; • oscillazione completa: percorso di P, ABA; • elongazione: la distanza istantanea di P da O; • ampiezza: la massima distanza di P da O (r in figura); • periodo: durata di un’oscillazione completa; • frequenza: numero di oscillazioni complete nell’unità di tempo; • pulsazione: la velocità angolare  di Q. N.B. Caratteristica peculiare del moto armonico: l’accelerazione è direttamente proporzionale allo spostamento.

12. Grandezze caratteristiche delle onde periodiche – armoniche • Periodo T: è l’ intervallo di tempo in cui avviene un’oscillazione completa di un punto interessato dall’onda; u.di m. nel S.I.: s; • Frequenza f: è il numero di oscillazioni complete che avvengono nell’unità di tempo; f = 1/T; u.di m. nel S.I.: Hz (1 Hertz = un’oscillazione al secondo); • Pulsazione  :  = 2 / T, è la velocità angolare nel moto circolare uniforme associato al moto armonico; u.di m. nel S.I.: rad/s; • Lunghezza d’onda : è la distanza percorsa dall’onda in un periodo, o la distanza minima fra due punti aventi la stessa fase; u.di m. nel S.I.: m; • Ampiezza A: massimo spostamento dalla posizione d’equilibrio; u.di m. nel S.I.: m; • Velocità di propagazione v: è la velocità con la quale si propaga la perturbazione nel mezzo e dipende dalla natura del mezzo; vale la relazione v =  / T; u.di m. nel S.I.: m/s. Osservazione importante Le grandezze fisiche che esprimono proprietà intrinseche dell’onda sono periodo T, frequenza f =1 / T e pulsazione  = 2 / T. La lunghezza d’onda , legata alla velocità v dalla relazione v =  / T, dipende, in parte dal mezzo.

13. 1° Mezzo - v1 2° Mezzo - v2 Frequenza costante, con v = /T = f ; v e  sono dir.prop.: se v1 > v2 , allora 1 > 2.

14. Equazione delle onde armoniche Si consideri una lunga corda tesa nella direzione dell’asse x, lungo la quale si propaga, da sinistra verso destra, un’onda unidimensionale trasversale, a cui è associata una perturbazione in direzione y. Ad un certo istante, ad es. per t = 0, la forma della corda è rappresentata da una certa funzione di x : y = f(x) Ipotizzando che la perturbazione si propaghi nella corda con velocità costante v, al generico istante t avrà percorso una distanza s = vt dalla posizione che aveva all’istante iniziale. Se le perdite di energia nel mezzo sono trascurabili, la perturbazione si propaga senza cambiare forma, per cui all’istante t deve essere descritta dalla funzione f(x), con la differenza che gli stessi valori della perturbazione y devono ora corrispondere a valori di x aumentati della quantità vt . Dal punto di vista matematico, se f(x) è la funzione che descrive la perturbazione all’istante t = 0, la funzione che descrive la perturbazione al tempo t , deve avere la forma: y = f(x - vt).

15. L’equazione y = f(x - vt) è l’equazione generale di un’onda di forma qualsiasi, che si propaga nel verso positivo delle ascisse (onda progressiva, se regressiva l’equazione diventa: y = f(x + vt) ). Quanto detto vale sia per le onde trasversali, quanto per quelle longitudinali. Se la sorgente origina, in un mezzo elastico, una perturbazione armonica di ampiezza A, pulsazione e velocità di propagazione v,l’elongazione y viene descritta dalla funzione:

17. 2. Il Principio di Huygens Il principio di H., mediante semplici considerazioni geometriche, consente di costruire un nuovo fronte d’onda, conoscendo il fronte d’onda precedente e quindi consente di spiegare il comportamento di un’onda quando incontra una fenditura, un ostacolo o qualsiasi disomogeneità del mezzo (fenomeni della riflessione, rifrazione e diffrazione). Principio di Huygens Ogni punto di un fronte d’onda può essere considerato come una sorgente secondaria di onde sferiche, aventi la stessa frequenza della sorgente originaria dell’onda. Il nuovo fronte d’onda è l’inviluppo delle onde secondarie, cioè la superficie tangente ai fronti d’onda di tutte le onde secondarie e si forma solo nel verso originario di propagazione.

18. 3. RIFLESSIONE Sperimentalmente si verifica che, quando un’onda di qualsiasi natura incontra una superficie riflettente, il raggio dell’onda incidente e quello dell’onda riflessa soddisfano le seguenti leggi: Prima legge della riflessione: il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie riflettente giacciono sullo stesso piano. Seconda legge della riflessione: l’angolo compreso fra il raggio incidente e la normale alla superficie nel punto di incidenza (angolo di incidenza) è uguale all’angolo compreso fra il raggio riflesso e la normale stessa (angolo di riflessione). Per la luce in particolare, se la superficie riflettente non è liscia, ma scabra, si verifica il fenomeno della diffusione: ogni singolo raggio segue le leggi della riflessione, ma nel complesso i raggi riflessi hanno direzioni distribuite casualmente.

19. Le leggi della riflessione dal principio di Huygens Data un’onda piana, consideriamo la sua sezione sul piano di figura. I tre raggi r1, r2, r3 sono paralleli ed equidistanti. La velocità di propagazione varia in direzione, ma è costante in modulo, perché non cambia il mezzo, quindi AD = BC e IN = BC/2 . CD è il fronte d’onda riflesso, inviluppo delle onde sferiche secondarie (circolari in sezione); IN è perpendicolare a CD e rappresenta il raggio riflesso, IN, r2ed n giacciono sullo stesso piano  1^ legge . I triangoli ABC e ADC sono congruenti … quindi i = r 2^ legge . t0 – parte l’onda secondaria da A; t1 – parte l’onda secondaria da I e l’onda di A ha percorso un tratto lungo quanto MI ; t2 – parte l’onda secondaria da C e le onde di A e di I hanno percorso tratti lunghi rispettivamente BC e BC/2. Quindi al tempo t2 : • l’onda di A ha raggio AD = BC • l’onda di I ha raggio IN = BC/2 .

20. 4. RIFRAZIONE Sperimentalmente si verifica che, quando un’onda di qualsiasi natura attraversa la superficie di separazione di due mezzi, nei quali la perturbazione si propaga con velocità differenti, se l’angolo di incidenza è diverso da zero, la direzione di propagazione dell’onda cambia nel passaggio da un mezzo all’altro. Prima legge della rifrazione: il raggio incidente, il raggio rifratto e la normale alla superficie di separazione giacciono sullo stesso piano. Seconda legge della rifrazione: Il rapporto fra il seno dell’angolo di incidenza i e il seno dell’angolo di rifrazione r è costante ed è uguale al rapporto fra le velocità vi e vr di propagazione, rispettivamente dell’onda incidente e dell’onda rifratta: Osservazioni • il rapporto è costante per due mezzi fissati, ma dipende dai due mezzi ; • se vi > vr , allora i > r e viceversa (gli angoli sono acuti e il seno è crescente) ; • il fenomeno della rifrazione è accompagnato da quello della riflessione.

21. Le leggi della rifrazione dal principio di Huygens Data un’onda piana, consideriamo la sua sezione sul piano di figura e due raggi incidenti aventi velocità vi. La velocità di propagazione varia in modulo e, di conseguenza, in direzione da un mezzo all’altro. CD è il fronte d’onda rifratto, inviluppo delle onde sferiche secondarie (circolari in sezione) emesse dai punti del dal tratto AC ; CD si forma al tempo t1. AD è perpendicolare a CD e rappresenta il raggio rifratto uscente da A, quindi raggio incidente, normale alla superficie e raggio rifratto giacciono sullo stesso piano  1^ legge. t0 – parte l’onda secondaria da A; t1 – parte l’onda secondaria da C e l’onda di A ha percorso un tratto lungo quanto AD = vr· (t1-t0) , con AD < BC = vi· (t1-t0)

22. Rifrazione delle onde superficiali in acqua(osservazioni mediante ondoscopio) Si generino onde lineari in una vasca con acqua, avente due zone con differenti profondità. Si osserva che: • la frequenza f è costante, perché dipende solo dalla sorgente; • la lunghezza d’onda è maggiore dove l’acqua è più profonda; • la velocità risulta maggiore dove l’acqua è più profonda, essendo v = f v i/ vr = i / r . Visto dall’alto

23. Rifrazione della luce (onde elettromagnetiche) Si definisce un importante rapporto, detto indice di rifrazione: Indice di rifrazione relativo : n12 significa: indice di rifrazione relativo del secondo mezzo (di rifrazione), rispetto al primo (di incidenza) . Indice di rifrazione assoluto : n = c/v L’indice di rifrazione assoluto, o semplicemente indice di rifrazione, di un mezzo trasparente, è il rapporto fra la velocità c della luce nel vuoto e la velocità v della luce nel mezzo, cioè è l’indice di rifrazione del mezzo rispetto al vuoto (c  3·108 m/s) . Osservazioni: • Si dice che un mezzo (2° mezzo rifrangente) è più rifrangente di un altro (1° mezzo inidente), se n12 > 1, cioè se vi > vr ; per es., il vetro è più rifrangente dell’aria. • Principio della reciprocità del cammino luminoso: se l’angolo di rifrazione diventa di incidenza, quello di incidenza diventa angolo di rifrazione. • Legge di Snell (1591-1627) : se n1 e n2 sono gli indici di rifrazione assoluti dei mezzi in cui si propagano, rispettivamente, il raggio di luce incidente e quello rifratto, vale la relazione: n1·seni = n2·senr , infatti: n1 = c/vi, n2 = c/vr n2/n1 = vi/vr n2/n1 = seni/senr n1·seni = n2·senr .

24. La riflessione totale il fenomeno della rifrazione è accompagnato da quello della riflessione e se la luce passa da un mezzo più rifrangente ad un mezzo meno rifrangente, per es. dall’acqua all’aria, e se l’angolo di incidenza supera un particolare valore, detto angolo limite, scompare il raggio rifratto e si ha solo riflessione, riflessione totale. Osservo che, poiché n1> n2 , 0°  i < r  90° , quindi per avere rifrazione l’angolo di incidenza non deve superare un certo valore limite: Esempio. Calcolo dell’angolo limite per i mezzi acqua – aria: n1 = 1,33 , n2 = 1,000294 , sen ilim = 1,000294 / 1,33 = 0,7521008 , ilim = arcsen(0,7521008)  48,77° .

25. Alcune conseguenze del fenomeno della rifrazione 1. Il bastone piegato: un oggetto immerso nell’acqua sembra ad una profondità minore, così di un bastone parzialmente immerso, il segmento in acqua appare piegato verso l’alto, se osservato dall’aria. 2. I miraggi: il miraggio si forma per riflessione totale della luce sugli strati d’aria vicini al suolo, quando questi sono più caldi di quelli superiori, quindi meno densi e con indice di rifrazione minore. 3. La fibra ottica: è un conduttore di luce flessibile, costituito da un nucleo trasparente (cilindro centrale) circondato da uno strato (sup. cilindrica esterna) il cui indice di rifrazione e leggermente più piccolo di quello del nucleo. La luce si propaga per effetto di una successione di riflessioni totali.

26. La dispersione della luce il fenomeno della dispersione della luce consiste nella separazione, prodotta da un mezzo rifrangente, della luce bianca nelle sue componenti monocromatiche: rosso, arancio, giallo, verde,blu, indaco e violetto.

27. Il fenomeno della dispersione si verifica perché, per un dato materiale, l’indice di rifrazione dipende dalla frequenza della luce (aumenta con la frequenza), quindi, per la legge di Snell, l’angolo di rifrazione dipende dalla frequenza, sen r = [n1/n2(f)]sen i , e questo spiega perché la luce violetta è deviata più della rossa. Tipici fenomeni naturali di dispersione – diffusione sono l’arcobaleno e il colore del cielo. Perché vediamo il cielo blu Legge di Rayleigh: l’intensità della luce dispersa-diffusa è inversamente proporzionale alla quarta potenza della lunghezza d’onda. Quindi, poiché R 7000 Å,B 4300 Å, con (R/ B)4  7, la luce blu viene diffusa con un’intensità circa 7 volte maggiore della luce rossa. Ricordando che nella luce solare la componente blu predomina sul viola e che l’occhio umano è più sensibile al blu rispetto al viola, si comprende perché percepiamo maggiormente il colore blu del cielo.

28. 5. DIFFRAZIONE Sperimentalmente si verifica che, quando un’onda di qualsiasi natura incontra uno schermo con una fenditura o un ostacolo, con fenditura avente circa le stesse dimensioni della lunghezza d’onda dell’onda incidente, il fronte d’onda viene modificato secondo il principio di Huygens: ogni punto della fenditura o i punti estremi dell’ostacolo diventano sede di sorgenti di onde secondarie sferiche ( o piane). La diffrazione è tanto più accentuata, quanto più i fronti d’onda secondari tendono a superfici sferiche o a circonf. Se il mezzo non cambia, come prevede il principio di Huygens, l’onda diffratta mantiene frequenza, velocità e lunghezza d’onda dell’onda incidente. La diffrazione diventa più pronunciata quando d/ 0 , con d dimensione della fenditura e  lunghezza d’onda.

29. 6. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE Se il mezzo, nel quale avviene la propagazione di una perturbazione, è elastico, vale il principio di sovrapposizione delle onde: lo spostamento risultante di un punto del mezzo in cui si incontrano due o più onde è uguale, in un dato istante, alla somma vettoriale degli spostamenti prodotti dalle singole onde in quel punto e in quell’istante. Dire “mezzo elastico”, significa dire che le forze di coesione del mezzo, che rispondono alla sollecitazione-perturbazione, seguono la legge di Hooke (F = - kx), cioè sono elastiche. Una situazione di non elasticità del mezzo è la perturbazione causata da un’esplosione: in questo caso non è applicabile il principio di sovrapposizione.

30. 7. INTERFERENZA Una notevole applicazione del principio di sovrapposizione si ha ogni volta che due o più moti ondulatori si compongono, cioè interferiscono, in una data regione dello spazio di uno stesso mezzo. Il fenomeno dell’interferenza si verifica solo per le onde elastiche ed elettromagnetiche. Figura d’interferenza Se le sorgenti emittenti (due per semplicità) vibrano in fase, nello spazio, o nel piano, si formano le figure d’interferenza, caratterizzate da frange d’interferenza costruttiva e da frange d’interferenza distruttiva. • Frange d’interferenza costruttiva: sono il luogo dei punti tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dalle sorgenti è costantemente uguale a un multiplo pari di /2 : le vibrazioni giungono in fase e l’ampiezza risultante è la somma delle singole ampiezze. • Frange d’interferenza distruttiva (linee nodali): sono il luogo dei punti tali che la differenza in valore assoluto delle distanze dalle sorgenti è costantemente uguale a un multiplo dispari di /2 : le vibrazioni giungono in opposizione di fase e l’ampiezza risultante è la differenza delle singole ampiezze.

31. Interpretazione matematica dell’interferenza Siano date due onde sinusoidali di uguale frequenza f e uguale ampiezza a; tali onde giungono dopo un tempo t in uno stesso punto P (interferiscono) dopo aver percorso le distanze x1 e x2 . In P l’onda risultante è ancora sinusoidale, della stessa frequenza f e di ampiezza A(P), funzione della posizione di P,esi possono verificare i seguenti fenomeni di interferenza: •Interferenza costruttiva – onda risultante di ampiezza massima, quando |x2-x1| = k = 2k/2 ; •Interferenza distruttiva – onda risultante di ampiezza nulla, quando |x2-x1| = (2k+1)/2. (kN) N.B. Le frange possono essere osservate, cioè la figura d’interferenza si fissa nel tempo, se la differenza di fase delle sorgenti è costante (uguale in particolare); in questo caso le sorgenti sono dette coerenti.

33. EFFETTO DOPPLER E’ il fenomeno per cui la frequenza f’ di un’onda, percepita da un osservatore, è diversa dalla frequenza f di vibrazione della sorgente, se l’osservatore e la sorgente sono in moto relativo, con velocità relativa inferiore alla velocità di propagazione dell’onda nel mezzo. Osservazioni sperimentali-sensoriali • Il suono, prodotto da una sorgente che si avvicina (motore di un’auto, sirena …), viene percepito più acuto, cioè più alto o con frequenza maggiore. Viceversa se la sorgente si allontana, il suono viene percepito più basso, cioè con frequenza minore. • La luce emessa da una galassia, viene rilevata con frequenza minore (red shift), se si sta allontanando, con frequenza maggiore (spostamento verso il violetto), se si sta avvicinando. Consideriamo l’effetto Doppler per il suono e per la luce. E’ opportuno trattare i due casi separatamente, perché per la luce devono essere fatte considerazioni relativistiche, trascurabili per il suono.

34. Effetto Doppler con il suono ( V  335 m/s nell’aria ) 1. Sorgente ferma e osservatore in movimento, rispetto al mezzo Siano: = lung.d’onda suono, V = vel. suono, vo = velocità dell’ Osservatore, V ± vo= velocità del suono percepita dall’Osservatore (“+” Oss. O1 che si avvicina, “-” Oss. O2 che si allontana, rispetto alla sorgente S). 2. Sorgente in movimento e osservatore fermo, rispetto al mezzo Siano: f = frequenza della sorgente del suono, vs = velocità della sorgente, V = vel. Suono, V vs= velocità del suono percepita dall’Osservatore ( “ - ” Sorgente che si avvicina all’Oss. O2 , “+” Sorgente che si allontana dall’Oss. O1 ). Osserva che i due fenomeni non sono simmetrici !

35. Effetto Doppler con la luce ( c  3·108 m/s nel vuoto ) Potremmo essere tentati di applicare alla luce le equazioni ricavate per il suono, sostituendo la velocità della luce c alla velocità del suono V. Tuttavia per la luce, contrariamente a quanto accade per il suono, si è dimostrato impossibile identificare un mezzo di trasmissione relativamente al quale si muovono la sorgente e l’osservatore: il moto è relativo solo ad osservatore e sorgente, il mezzo non c’entra più. Il fenomeno in questo caso è più semplice, perché perfettamente simmetrico, infatti “sorgente in moto ed osservatore fermo” o “sorgente ferma ed osservatore in moto”, sono due situazioni fisicamente identiche e devono presentare la stessa frequenza Doppler. La frequenza Doppler, prevista dalla teoria della relatività è: I due postulati della teoria della Relatività ristretta: 1. Le leggi della fisica sono le stesse in tutti i riferimenti inerziali (non esiste un sistema inerziale privilegiato). 2. La velocità della luce nello spazio vuoto ha lo steso valore c in tutti i sistemi inerziali.