Bab 10 Analisis Stabilitas

1. Bab 10 Analisis Stabilitas Ir. Abdul Wahid, MT. Departemen Teknik Kimia FTUI

2. Tujuan Pembelajaran Saat kuselesaikan bab ini, kuingin dapat melakukan hal-hal berikut. • Menentukan stabilitas dari sebuah proses tanpa pengendalian • Menentukan stabilitas dari sebuah sistem pengendalian berumpan-balik lup tertutup • Menggunakan pendekatan ini untuk mempelajari bagaimana dead time mempengaruhi stabilitas.

3. Kerangka Kuliah Kerangka Kuliah • Definisi stabilitas • Peninjauan kembali menentukan akar persamaan karakteristik (PK) • Pengantar metode stabilitas Bode • Penerapan penentuan beberapa kecenderungan umum pada sistem berumpan-balik

4. 0.8 0.6 0.4 0.2 20 0 v1 0 -0.2 0 20 40 60 80 100 120 -20 TC -40 0 20 40 60 80 100 120 v2 Analisis Stabilitas dan Penyetelan No! or Yes! Kita mempengaruhi stabilitas saat kita menerapkan pengendalian. Bagaimana kita mendapatkan pengaruh yang kita inginkan?

5. 1 1 0.5 0.5 0 0 -0.5 -0.5 -1 -1 0 0 0.5 0.5 1 1 1.5 1.5 Analisis Stabilitas dan Penyetelan Pertama, mari kita definisikan stabilitas: Sebuah sistem dikatakan stabil bila semua masukan yang terbatas (bounded) ke sistem menghasilkan keluaran yang terbatas juga. Sample Inputs Sample Outputs Process bounded bounded unbounded unbounded

6. Kestabilan STABIL MARJINAL (Lawwamah) STABIL (Muthmainnah) TAK STABIL (Amarah)

7. Sistem Tak Stabil Inheren • Sebutkan contoh di bidang teknik kimia dan selainnya • Bagaimana membuatnya agar STABIL?

8. SistemPengendalianpadaProsesTakStabilInheren Kc = 15 TI = 60 Td = 9 Tak Stabil Stabil

9. KriteriaKestabilan • Routh’s Test • Substitusilangsung • Root Locus • Bode Diagram (frekuensi) • Polar: Nyquist, Nichols plot

10. Analisis Stabilitas dan Penyetelan Mari kita tinjau bagaimana kita menentukan stabilitas model. G(s) = Y(s)/X(s) Dengan i solusi untuk penyebut dari fungsi alih adalah nol, D(s) = 0 memberikan s = 1, 2 , i ... . Real, I berulang Real, distinct i I bilangan kompleks Jika semua i itu ???, Y(t) stabil Jika satu i manapun itu ???, Y(t) tak stabil

11. Analisis Stabilitas dan Penyetelan Cepat tinjau model sistem berumpan-balik lup tertutup. Gd(s) D(s) SP(s) E(s) CV(s) MV(s) + + GC(s) Gv(s) GP(s) + - CVm(s) GS(s) Fungsi Alih GC(s) = kontroler Gv(s) = katup + GP(s) = proses berumpan-balik GS(s) = sensor + Gd(s) = disturbance process Variabel CV(s) = controlled variable CVm(s) = measured value of CV(s) D(s) = disturbance E(s) = error MV(s) = manipulated variable SP(s) = set point

12. Gd(s) D(s) SP(s) E(s) CV(s) MV(s) GC(s) Gv(s) GP(s) + + + - CVm(s) GS(s) Analisis Stabilitas dan Penyetelan Set point response Disturbance Response Penyebut menentukan stabilitas sistem berumpan-balik lup tertutup! Kita katakan ini persamaan karakteristik (PK).

13. FS solvent FA pure A AC Analisis Stabilitas dan Penyetelan Solusi Arah untuk Akar dalam rangka menentukan stabilitas Kontroler adalah P-saja. Apakah sistemnya stabil? Mari kita evaluasi akar-akar PK. PK

14. ROUTH Array Routh test: prosedur untuk menentukan berapa banyak akar-akar polinomial mempunyai bagian positif tanpa harus menemukan akar-akar secara nyata dengan teknik iteratif an an-2 an-4 … a1 0 an-1 an-3 an-5 … a0 0 b1 b2 b3 … 0 0 c1 c2 c3 … 0 0

15. Contoh ROUTH Array (10s +1)(30s +1)(3s +1) + 0,80Kc = 0 900s3 + 420s2 + 43s + (1 + 0,80 Kc) = 0 900 43 0 420 1 + 0,80 Kc 0 b1 0 0 1 + 0,80 Kc 0 0 dengan: b1 0 atau 17160 – 720Kc 0  Kc 23,8 1 + 0,8Kc 0 atau 0,8Kc -1 Kc -1,25

16. Kcu (Ultimate Controller Gain) • NilaiKcterendah: negatif. • Initidakberartikarena gain negatifberartikontrolermempunyaikesalahanaksi. • Batas teratas gain kontrolermerupakan ultimate gain: Kcu = 23,8 %/% Iniberartiperubahan gain padakontrolertidakbolehlebihbesardari 23,8 ataumengurangi PB dibawah 4,2 % (100/23,8).

17. Substitusi Langsung • Metode ini didasarkan pada kenyataan bahwa jika akar-akar persamaan karakteristik sangat kontinyus dengan parameter-parameter lup, maka titik di mana lup menjadi tidak stabil (paling sedikit satu dan biasanya dua akar) harus terletak pada aksis imajiner dari daerah kompleks, yakni, di sana harus ada akar imajiner murni • Pada titik stabilitas marjinal persamaan karakteristik harus mempunyai sepasang akar imajiner murni: r1,2 =  iu dengan Tu = ultimate period

18. Contoh Substitusi Langsung 900s3 + 420s2 + 43s + (1 + 0,80 Kc) = 0 Substitutsikan s = iudan Kc = Kcu 900i3u 3 + 420 i2u 2 + 43 iu + (1 + 0,80 Kcu) = 0 i2 = -1: (-420u 2 +1 + 0,80 Kcu) + i(-900u 3 + 43u) = 0 +0i -420u 2 +1 + 0,80 Kcu = 0 -900u 3 + 43u = 0 untuk u = 0 Kcu = -1,25 %/% untuk u = 0,2186 Kcu = 23,8 %/% dan Tu = 28,7 s

19. Pengaruh Dead-time • Aproksimasi PADE:

20. Tugas: Kontroler P • Cari parameter kontroler P, PI dan PID yang optimum • Gambar masing-masing menggunakan MATLAB

21. Root Locus • Root Locus: teknik secara grafik yang terdiri atas penggrafikan akar-akar pers. karakteristik (eigenvalue), sebagai fungsi gain atau perubahan parameter lup lainnya • Hasil grafik: pandangan sekilas apakah akar-akar pers. karakteristik memotong sumbu imajiner dari sisi kiri ke sisi kanan s plane. Ini mengindikasikan kemungkinan ketidakstabilan lup kontrol

22. R(s) C(s) Kc 0.5 Contoh 1 • Perhatikan diagram blok di bawah ini • Persamaan Karakteristiknya: atau 1 + OLTF = 0

23. Jawaban • OLTF (open-loop transfer function) = • Pole: -1/3 dan –1 • Zero: tidak ada • 3s2 + 4s + (1 + Kc) = 0 • Dengan memasukkan harga Kc dari 0 dst., maka didapat gambar:

24. Gambar RL -1 -1/3 -2/3

25. R(s) C(s) Kc Contoh 2 • Persamaan karakteristik: • pole: -1/3, -1, -2; n (jumlah pole) = 3 • zero: tidak ada; m (jumlah zero) = 0

26. Cara Menggambar • Tandai pole dengan silang dan zero dengan lingkaran kecil. • Cek daerah di sebelah kiri titik paling kiri: jika selisih antara n – m ganjil  tempat kedudukan, genap  bukan tempat kedudukan. Cek lagi daerah di sebelahj kanannya, dst. • Untuk mencari titik potong dengan sumbu imajiner  direct susbtitution method • Jika di antara 2 pole merupakan tempat kedudukan, maka ada breakaway point • Jika di antara pole dan zero atau zero dan  merupakan tempat kedudukan breakin point • Jumlah pole  jumlah cabang (loci) • Jumlah cabang menuju  = jumlah pole – jumlah zero • Garis selalu dari pole menuju zero atau 

27. Gambar RL

28. Latihan R(s) C(s) Kc

29. R(s) C(s) Kc(1+0.2s) 0.05 Contoh 3 • Persamaan karakteristik: • 3s2 + (4 + 0,2Kc)s + (1 + Kc) = 0 • OLTF = • Pole: -1/3 dan –1  n = 2; Zero: -5  m = 1

30. Gambar RL

31. Aturan Penggambaran Root Locus • Pada real axis tempat kedudukan berada pada titik di mana pole dikurangi zero berharga ganjil untuk sebelah kanan titik. • Loci akar selalu berasal, untuk total gain lup = 0, pada pole OLTF. • Jumlah loci atau cabang sama dengan jumlah pole OLTF (n). • Semakin naik total gain lup, loci atau cabang akan mendekati zero OLTF atau . Jumlah loci menuju  = n – m.

32. Aturan Penggambaran Root Locus (2) • Loci yang menuju  sepanjang garis asimtot. Semua garis asimtot harus melewati center of gravity (CG) dari pole dan zero OLTF. • Asimtot membuat sudut dengan sumbu real: dengan k = 0, 1, …, n-m-1 • Titik-titik pada sumbu real di mana loci bertemu atau meninggalkan, atau masuk dari daerah kompleks pada bidang s, disebut breakaway point.

33. Toset(s) R(s) E(s) M(s) F(s) C(s) Kc Kc Contoh 4 • Persamaan karakteristik: • pole: -1/10, -1/30, dan –1/3  n = 3 • zero: tidak ada  m = 0

34. Jawaban (1) Breakaway point:

35. Jawaban (2) • Dengan menyamakan penyebut  pers. kuadrat • s = -0,247 (tidak mungkin, karena tidak di antara dua titik) dan • s = -0.063 (valid) • u = 0,22 • Kcu = 24

36. Gambar RL

37. Root Contour • Root Loci (RL) • Bagian tempat kedudukan akar ketika Kcbervariasi dari 0 hingga ∞ (Kcpositif) • Complementary Root Loci (CRL) • Bagian tempat kedudukan akar ketika Kcbervariasi dari -∞ hingga 0 (Kcnegatif) • Root Contours (RC) • Tempat kedudukan akar ketika bervariasi lebih dari satu parameter • Complete Root Loci • Kombinasi RL dan CRL (-∞<Kc< ∞)

38. Kondisi RL • Besaran • Sudut

39. Perhitungan K

40. Contoh

41. Sifat dan Pembuatan RL • Titik Kc = 0 • Titik Kc = ±∞ • Jumlah cabang • Simetri • Asimtot • Sentroid (Interseksi dari Asimtot) • RL pada Sumbu Nyata • Sudut Berangkat dan Sudut Datang • Interaksi dengan Sumbu Imajiner • Titik Breakaway (Sadel) • Perhitungan Kc

42. Pole: s = 0, -5, -6, -1 ± i Jumlah (m) = 5 1. Titik Kc = 0

43. Zero: s = -3 Jumlah (n) = 1 2. Titik Kc = ±∞

44. 3. Jumlah Cabang • Cabang selalu berasal dari pole • Ada 2 cabang, dari pole: • Menuju zero • Menuju tak berhingga (∞) • Jumlah semua cabang dari RL adalah sama dengan ORDE POLINOMIAL (jumlah pole) • Jumlah cabang yang menuju ∞ = n - m • Orde = 5  jumlah semua cabang = 5 • Jumlah zero = 1  jumlah cabang menuju ∞ = 4

45. 4. Simetri • RL yang sempurna adalah simetrik terhadap sumbu nyata dari bidang-s

46. 5. Asimtot

47. 6. Sentroid (Interseksi dari Asimtot)

48. 7. RL pada Sumbu Nyata • Ada RL pada sumbu nyata antara: • s = 0 dan s = -3 • s = -5 dan s = -6 • Ada CRL pada sumbu nyata antara: • s = -3 dan s = -5 • s = -6 dan s = ∞

49. 8. Sudut Berangkat dan Sudut Datang • Sudut berangkat  dari RL meninggalkan pole pada -1 + i. Jika s1adalah titik pada RL meninggalkan pada -1 + i dan s1sangat dekat dengan pole tersebut, maka:

50. 9. Interseksi dengan Sumbu Imajiner Kurva memotong sumbu imajiner pada Kc = 35 dan Kc = 0