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LE BASI FONDAMENTALI PowerPoint PPT Presentation


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LE BASI FONDAMENTALI. INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi) SISTEMI DI COORDINATE ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI TRIGONOMETRICHE EQUAZIONI DISEQUAZIONI PERCENTUALI. INSIEMI.

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LE BASI FONDAMENTALI

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Presentation Transcript


LE BASI FONDAMENTALI

  • INSIEMI

  • INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi)

  • SISTEMI DI COORDINATE

  • ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA

  • FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

  • EQUAZIONI

  • DISEQUAZIONI

  • PERCENTUALI


INSIEMI

INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme.

Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme


Simbologia

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici:A, B, X, Y, A1, A2, B1…

gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 …


Rappresentazione di un insieme

Un insieme A si può rappresentare:

  • elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme

    Esempio: A = {a, b, c, d}

  • Indicando la proprietà caratteristicadegli elementi dell'insieme

    Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}


A

a b c d

I Diagrammi di Eulero-Venn

Servono per rappresentare graficamente un insieme.

Esempio:


Il simbolo di appartenenza: Î

Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive:

aÎA

si legge “a appartiene ad A".

Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive:

bÏAsi legge “b non appartiene ad A".


ALCUNI SIMBOLI


CONFRONTO TRA INSIEMI

Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive:

BÍA (oppure AÊB)

e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B")

se ogni elemento di B è un elemento di A"bÎBbÎA


CONFRONTO TRA INSIEMI

Insieme vuoto :Æ

Insieme privo di elementi

Æ Í A (qualunque sia A)

Si dice che B è sottoinsieme proprio di Ae si scrive:B Ì A (oppure A É B)

se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se

 a A : a  B


OPERAZIONI TRA INSIEMI

  • UNIONE

  • INTERSEZIONE

  • DIFFERENZA

  • COMPLEMENTAZIONE

  • PRODOTTO CARTESIANO


UNIONE TRA INSIEMI

  • L'unione di due insiemi A e B è l'insiemedi quegli elementi che appartengonoad almeno uno dei due insiemi A e B

  • L’unione di A e B si scrive:

    AÈB = {x : xÎA e/o xÎB }

    Se A = B AÈB = A

    Se A  B AÈB = B


A

B

1

3

0

2

UNIONE TRA INSIEMI

  • Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}


A

B

1

3

0

2

UNIONE TRA INSIEMI

  • Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}AÈB = {0, 1, 2, 3}


INTERSEZIONE TRA INSIEMI

  • L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B

  • L'intersezione di A e B si scrive:

    AÇB = {x : xÎ A e x Î B }

    Se A = B AÇB = A

    Se A  B AÇB = A

    Se AÇB =  A e B si dicono disgiunti.


B

A

1

3

0

2

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}


B

A

1

3

0

2

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}AÇB = {1, 2}


DIFFERENZA TRA INSIEMI

  • La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B:

  • La differenza di A e B si scrive

    A - B = A \ B = {x : x Î A e x Ï B }

    Se A = B A\B =

    Se A  B A\B =


B

A

1

3

0

2

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}


B

A

1

3

0

2

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A \ B = {0}


B

A

1

3

0

2

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}B \ A = {3}


INSIEME COMPLEMENTARE

  • Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale.

  • sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive:CUA =A’ =U \ A = {x : x Î U e x Ï A }


0 3 5

U

1 2

A

INSIEME COMPLEMENTARE

  • EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}


0 3 5

U

1 2

A

A

INSIEME COMPLEMENTARE

  • EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}CUA =U \ A = {0, 3, 5}


PRODOTTO CARTESIANO

  • Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y)  (y,x)

  • Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B

    A´B = {(x, y) : xÎA, yÎB}


PRODOTTO CARTESIANO

Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}

A´B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B´A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}


ESERCIZI

  • Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}

  • Calcolare:

    AÈB = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    AÇB = {2, 4}

    A \ B = {1, 3, 5}

    B \ A = {6}


INSIEMI NUMERICI

  • NATURALI

  • INTERI O RELATIVI

  • RAZIONALI

  • IRRAZIONALI

  • REALI

  • COMPLESSI


I NUMERI NATURALI

N={1, 2, 3, 4, 5,…..}

  • Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni.

  • Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni:

    1) Addizione

    2) Moltiplicazione

    3) Relazione di “minore o uguale”

    (m<n (se e solo se) p N: m+p=n)


I NUMERI NATURALI

  •  m, n, p  NLe operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà:

    - Associativa:

    (m + n) + p = m + (n + p)

    (m • n) • p= m • (n • p)

  • Commutativa:

    m + n = n + m

    m • n = n • m

  • Distributiva:

    m • (n + p)= m • n + m • p

  • Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:

     1 N: 1• m = m


I NUMERI INTERI

  • L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione.

  • Non è però chiuso rispetto alla sottrazione:

     sistema algebrico dei numeri interi.

    Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}

    Z+ = {+1, +2, +3, …} = N

    Z- = {-1, -2, -3, …}

    Z = Z+È Z - È {0}


I NUMERI INTERI

Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre:

4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:

 0 Z : x + 0 = x, xZ

5) Esiste l’opposto:

xZ,  y Z : x + y = 0,

6) Chiuso rispetto alla sottrazione:

x – y = x + (-y)


I NUMERI RAZIONALI

  • PROBLEMA:

    Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovvero

    Z non è chiuso rispetto alla divisione

    Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}}

  • ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.


-2

-1

0

1

2

3

NUMERI RAZIONALI

  • Q è denso:

    q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2

  • N e Z sono discreti:


NUMERI REALI

  • PROBLEMA:

    non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 !

  • Numeri reali: R = Q È

    dove  è l’insieme dei numeri irrazionali


NUMERI REALI

Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che:

p2/q2=2

p2=2 q2

p è pari, p = 2k

22 k2 = 2 q2

2k2 = q2

ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.


NUMERI REALI

  • L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, :

    Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale.

    Non vale il viceversa!


NUMERI COMPLESSI

  • Sia, x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo.

  • Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:


NUMERI COMPLESSI

  • Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo:

  • L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.


NUMERI COMPLESSI

  • Siano dati due numeri complessi

  • SOMMA:

  • DIFFERENZA:

  • PRODOTTO:


NUMERI COMPLESSI

Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero:

  • Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):


NUMERI COMPLESSI

  • QUOZIENTE:


GLI INSIEMI NUMERICI

  • Sussiste una precisa relazione di inclusione:

    N Z QR C


RELAZIONI e CORRISPONDENZE

Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano:

R X x Y = (x,y): xX, yY

L’insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza.


FUNZIONE

Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y.

Noi consideriamo X, Y  R , cioè funzioni reali di una variabile reale.


X

Y

1

1

2

2

3

3

4

RELAZIONE TRA 2 INSIEMI


X

Y

1

1

2

2

3

3

4

FUNZIONE TRA DUE INSIEMI

4


O

u

r-

r+

r

SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA

Sia data una retta r, si fissi:

  • Un verso positivo di percorrenza

  • Un punto O detto Origine

  • Un segmento u detto unità di misura


ASSE DELLE ASCISSE

  • Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). xP è chiamata ascissa di P

  • Viceversa,  xP R ! P  r : x= xP.

  • Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.


SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna:

  • Un verso positivo di percorrenza

  • Una unità di misura

    Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano

    Ortogonale / obliquo

    Monometrico / dimetrico


II

(- , +)

I

(+ , +)

IV

(+ , -)

III

(- , -)

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

  • Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y)


ESEMPIO

P=(-2,3)

3

P=(2,1)

1

-2

2

-1

P=(-2,-1)

-2

P=(2,-2)


GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA

  • Si consideri il seguente grafico:

  • I punti sulla retta hanno coordinate:


GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA

  • Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente):

  • Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha:


GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA

  • Ponendo:

  • Si ottiene l’equazione della retta in forma implicita (o generale):


LE CONICHE


LA CIRCONFERENZA

  • L’equazione della circonferenza di centro

  • e raggio r è data da:

  • Dove i coefficienti sono dati da:

  • Se C=O l’equazione assume l’espressione:


GRAFICO DELLA CIRCONFERENZA


L’ELLISSE

  • L’equazione dell’ellisse con fuochi

  • e gli assi lunghi a e b è espressa da:

  • dove a > c e dove


GRAFICO DELL’ELLISSE


L’IPERBOLE

  • L’equazione dell’iperbole con fuochi

  • e gli assi lunghi a e b è espressa da:

  • dove a < c e dove


GRAFICO DELL’IPERBOLE

y

x


IPERBOLE EQUILATERA

  • Se a=b l’equazione l’iperbole viene denominata equilatera e la sua equazione è:

  • Se si ruota il grafico di 45° in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha:

  • ovvero


GRAFICO DELL’IPERBOLE EQUILATERA


LA PARABOLA

  • L’equazione della parabola con il vertice nell’origine, il fuoco di coordinate (0, c) con c>0 e la direttrice di equazione y=-c

  • è espressa da:

  • Se il vertice non coincide con l’origine degli assi e la direttrice è sempre parallela all’asse x l’equazione assume la forma:


GRAFICO DELLA PARABOLA


ANGOLO

  • Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.


b

+

a

a

-

b

ANGOLO ORIENTATO

  • Verso positivo di rotazione antiorario


B

A

ARCO

  • La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo.

O


SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI

  • SESSAGESIMALE:

    grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro.

  • RADIANTE


RADIANTE

  • L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.


Misura in radianti di un angolo

  • È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio:

  • Angolo giro = 2pr / r = 2p

  • Angolo piatto = pr / r = p

  • Angolo retto = p/2


Misura in radianti di un angolo

p/2

p/4

(3/4)p

0

p

(5/4)p

(7/4)p

(3/2)p


p/2

(4/6)p

(2/6)p

(5/6)p

p/6

p

0

(11/6)p

(7/6)p

(10/6)p

(8/6)p

(3/2)p

Misura in radianti di un angolo


Misura in radianti di un angolo

  • Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante:

    360 : 2p = a°s : ar

    Ex: 360 : 2p = 20° : ar

    ar = p/9


y

P

A

Le funzioni trigonometriche: seno e coseno

r

a

x

O

H


y

P

A

La funzione:Tangente trigonometrica

T

r

a

O

H


p/2

y

y

1

(3/2)p

-p/2

2p

x

x

p/2

p

A=(1,0)

p

2p

-1

(3/2) p

f(x) = sin (x)

P

O

H

0


Funzione seno

  • Dominio R

  • Codominio [-1, 1]

  • Periodica di periodo 2p


p/2

y

y

-p/2

2p

x

x

p

(3/2)p

x

A=(1,0)

p/2

p

(3/2) p

y = cos (x)

P

O

H

0


Funzione coseno

  • Dominio R

  • Codominio [-1, 1]

  • Periodica di periodo 2p


p/2

y

T

y

2p

x

p

A

-p/2

p/2

p

(3/2)p

(3/2) p

y = tan (x)

P

O

0

H


Funzione tangente

  • Dominio = R \ p/2 + kp k  Z

  • Codominio = R

  • Periodica di periodo p


Relazione tra seno e coseno

sin2(x) + cos2(x) = 1


Relazione tra seno e coseno

  • Esempi:

  • cos(x) = ½ x  [0, p/2]


Relazione tra seno, coseno e tangente

  • sin2(x) + cos2(x) = 1


Valori in archi particolari : p/6


Valori in archi particolari: p/3


Valori in archi particolari: p/4


COORDINATE POLARI

  • P ha coordinate cartesiane (1, 1)

    Le coordinate polari di P sono:

    Nell’esempio:


COORDINATE POLARI

  • Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:

  • si osservi che:


COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

  • Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.


COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

  • Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:


COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

  • Dato il numero complesso z:

    e il numero complesso v :

    Il prodotto tra z e v è:


COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

  • In particolare se z=v si ottiene:

    e in generale:

    detta Formula di De Moivre.


CALCOLO LETTERALE

  • Perché?

    È opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.


POTENZE

  • Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a

    an = a • a • … • a n volte

    Esempio:

    32 = 3 • 3

    (-2)2 = (-2) • (-2) = 4

    (-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8


PROPRIETA’ DELLE POTENZE

Dati a, b  R, m, n  N

  • an + m = anam,

  • a -n = 1 / an

  • an - m = an:am,n  m, se n = m, a  0

  • (a:b)n = an:bn,b  0

  • (ab)n = anbn,

  • (an)m = an m,

  • a0= 1,


ESERCIZI

32 • 33= 35

34 : 33= 31

((2)3)2= (2)6

(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2

(8)0=1

3-4 = 1 / 34

(- 2)2 •(-2)3 = -32


RADICALI

  • Si dice radice n-sima (n  N) del numero reale a il numero b tale che bn = a. Si scrive:

  • La radice ennesima (n  N) della potenza am si scrive:


PROPRIETA’ DEI RADICALI


ESERCIZI


OPERAZIONI TRA POLINOMI

  • ADDIZIONE

  • SOTTRAZIONE

  • PRODOTTO

    PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli

  • DIVISIONE


DIFFERENZE DI QUADRATI

(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)

Esempi:

(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)

(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)

(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)

(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =

[(x –3)–3] [(x –3)+3] • [(x –3)2 +9]


QUADRATO DI UN BINOMIO

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

(x - y)2= x2 - 2xy + y2

Esempi:

(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2

(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2

((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4


CUBO DI UN BINOMIO

(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Esempi:

(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3

(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3

(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3


SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI

(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)

(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)

Esempi:

(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)

(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)

(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 -

(x - 2) y2 + y4)]


SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

  • Mediante l’uso dei prodotti notevoli

  • Raccoglimenti a fattore comune:

    Esempio:

    6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)

  • Raccoglimenti parziali successivi:

    Esempio:

    9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)


DIVISIONE TRA POLINOMI

  • Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile

  • Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 .

  • Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:

    P1= Q P2 + Rdove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.


ESEMPIO

(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)

2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 x3 – x2 +1

2x5 – 2 x4 + 2 x2

2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1

2 x2

+2 x

-1

2 x4 – 2 x3 +2 x

– x3 - 2 x2 - x + 1

– x3 + x2 - 1

- 3 x2 - x + 2


ESEMPIO

(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2)

P1= Q P2 + Rdove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

N.B.P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.


ESEMPIO:

(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)

20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 4x2 + 2x - 4

20 x4 +10 x3 - 20 x2

5x2

-6x

+ 8

– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32

–24 x3 - 12 x2 + 24 x

32 x2 + 16 x - 32

32 x2 + 16 x - 32

\\ \\\\


REGOLA DI RUFFINI

  • Divisione di un polinomio per un binomio

  • Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero .

    P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R


REGOLA DI RUFFINI

Termine noto P1(x)

Coefficienti P1(x)

±a

Coefficienti e termine noto P2(x)

Resto


ESEMPIO

(x2 - 1) : (x + 2)

1

0

-1

-2

4

-2

1

-2

3

x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3


REGOLA DEL RESTO

  • Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a

    R= P1(-a)

Esempio:

(x2 - 1) : (x + 2)

P1(-2) = 3


OSSERVAZIONE

  • Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1.

  • Nell’esempio precedente:P1(x)=(x2 - 1)

    si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1:

    P1(+1) = 0

    quindi P1 è divisibile per (x - 1)

    P1(-1) = 0

    quindi P1 è divisibile per (x + 1)


ESEMPIO

P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6

P1(±1)  0

P1(2) = 0

x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)

1

3

-7

-6

2

2

10

6

1

5

3

0


EQUAZIONI

  • Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale

  • Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile

    f(x) = g(x)

  • La variabile è detta incognita dell’equazione


 SOLUZIONI

  • I particolari valori di x per cui questa è verificata sono detti soluzioni dell’equazione

  • Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni.

  • Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x.

  • Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile

  • Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano


EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

  • Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

    ax + b = 0con a, b coefficienti numerici , a ¹ 0.

  • Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene l’incognita e si divide per il coefficiente di x:

    ax=-b(ax)/a=-b/a

    da cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è:

    x = - b / a Esempio:

    2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3 / 2


EQUAZIONI DI 2o GRADO

  • Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

    ax2 + bx + c = 0

    con a, b, c coefficienti numerici e  a ¹ 0.

    SPURIA: ax2 + bx = 0

    x(ax+ b) = 0

    x = 0 x = - b / a

    PURA: ax2 + c = 0


COMPLETA

ax2 + bx + c = 0

D > 02 soluzioni reali e diverse

  • = 02 soluzioni reali e coincidenti

  • D < 0nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all’insieme dei numeri complessi)


ESEMPI

2x2 - 7x + 3 = 0

D = 49 – 24 > 0

x1=1/2 x2=3


ESEMPI

25x2 + 10x +1 = 0

D = 25 – 25 = 0

  • x2 - 3x + 8 = 0

  • D = 9 – 32 < 0

  • non ha soluzioni in R.


RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI

ax2 + bx + c = 0


ESERCIZI

  • Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5:

    assumendo a = 1 si ottiene x2 + 4x - 5 = 0

    x1 = 1 x2 = -5

  • Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s= -3/10 p = -1/10

    x2 + (3/10)x - 1/10 = 0


FATTORIZZAZIONE

ax2 + bx + c = 0

  • D > 0a · (x - x1) · (x - x2)

  • D = 0 a · (x - x1)2

  • D < 0non è possibile in R


IL SEGNO DEL TRINOMIO


IL SEGNO DEL TRINOMIO


IL SEGNO DEL TRINOMIO


IL SEGNO DEL TRINOMIO


DISEQUAZIONI

  • Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare:

                            f(x) > g(x)      

    f(x) ³ g(x)

                            f(x) < g(x)      

    f(x) £ g(x)


SOLUZIONI

  • Le soluzioni vanno cercate nell’insieme:

    I = D(f) D(g)

  • Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione(ex: x < 1)

  • Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione

    (ex: x2 +1 > 0)

  • Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione(ex: x2 + 2 < 0)


ESEMPIO

-2x > 24

x < -12


INTERVALLIDELLA RETTA

  • Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b:

  • [ a , b ] ={xR: a  x  b}chiuso

  • ] a , b ] ={xR: a < x  b}=( a,b] chiuso a destra

  • [ a , b [ ={xR: a  x < b}=[a,b) chiuso a sinistra

  • ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b ) aperto


INTERVALLI DELLARETTA

  • ] -  , b ] = {xR: x  b} = ( -  , b ]

  • ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b )

  • [ a , +  [ = {xR: x  a} = [ a , +  )

  • ] a , +  [ = {xR: x > a} = ( a , +  )


DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

a x+b >0 con a e b numeri reali e a  0.

Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!),

Si isola il termine che contiene l’incognita x :

ax>-b

Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a

x>-b/a se a>0

x<-b/a se a<0


DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

  • ax2 + bx + c > 0

    a, b, c reali, a  0

    Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado.


ESEMPIO

  • 4x2 + 12x + 9 > 0

    D = 36- 36 = 0

  • S = xR \ {-3/2}


ESEMPIO

3x2 + 5x – 2 < 0

  • = 25 +24 = 49 > 0

x1 = -2x2= 1/3

S = {xR: -2 < x < 1/3}


ESEMPIO

3x2 + 5x – 2 > 0

  • = 25 +24 = 49 > 0

x1 = -2x2= 1/3

S = {xR: x< -2 }  {xR: x> 1/3}


ESEMPIO

3x2 -x + 2 < 0

  • = 1 – 24 < 0

    S={}


DISEQUAZIONI FRATTE

  • I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0}

  • Studio segno numeratore

  • Studio segno denominatore

  • Uso regola segni

  • Determinazione dell’insieme nel quale la disequazione è verificata


-3

4

-

(x + 3)

+

+

-

-

(x - 4)

+

+

-

+

ESEMPIO

(x - 4)/(x+3)


Continuazione ESEMPIO

S = {xR: x < -3}  {xR: x > 4}

N.B. I = {xR: x  3}


SISTEMI DI DISEQUAZIONI

  • Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni.

  • La soluzione si ottiene trovando l’insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione:

  • S = S1 S2 …  Sn

  • se S = {} allora il sistema è impossibile


-1/2

3

(2x + 1)

(x – 3)

ESEMPIO

  • S = x {xR: (-½) < x  3}


y

1

x

FUNZIONE ESPONENZIALE

Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R  R+:

f(x)=ax

N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x


y

x

y

e2

e

1

1/e

1/e2

-2

-1

0

1

2

x

CASO a > 1 f(x)=ex

01

-11/e

-21/e2

1e

2e2


CASO a > 1 confronto tra basi diverse

y = 2x

y = ex

y

x

y

y = 2x

01

-11/2

-21/22

12

222

-2

-1

1

2

x


CASO a > 1

  • Dominio R

  • Codominio R+

  • Passa per (0,1)

  • Monotona crescente

  • Se la base aumenta è più ripida


y

x

y

e2

e

1

1/e

1/e2

x

-2

-1

0

1

2

CASO a < 1 f(x)=(1/e)x

01

-1e

-2e2

11/e

21/e2


CASO a < 1 confronto tra basi diverse

y = (1/2)x

y

x

y

01

-12

-222

y = (1/2)x

11/2

y = (1/e)x

21/22

-2

-1

1

2

x


CASO a < 1

  • Dominio R

  • Codominio R+

  • Passa per (0,1)

  • Monotona decrescente

  • Se la base aumenta è meno ripida


LOGARITMI

Siano a un numero reale positivo, a¹ 1,

e b un numero reale positivo

allora esiste un numero reale c tale che:

ac = b

Tale numero c si dice logaritmo in base a di b

e si indica con il simbolo:

c=logab

NB


ESEMPI

log28 = 3

log22 = 1

log51 = 0

log(1/3)3 = -1

log381 = 4

log1010000 = 4

log2(1/4) = - 2


Esercizi

Determinare la base:

logx7 = -1

x = 1/7

logx49 = 2

x = 7

logx(1/1000) = -3

x = 10

logx(41/3) = -2/3

x = ½


BASI DEL LOGARITMO

  • Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Eulero,

    e = 2,7182….)

  • Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log”

  • Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln” (logaritmo neperiano).


FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE

  • Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d,

 a,dR+ \ {1}cR+


ESEMPI


PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

  • PROPRIETA’ DEL PRODOTTO

  • PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE

  • PROPRIETA’ DELLA POTENZA


PROPRIETA’ DEL PRODOTTO:

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi:

loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2

  • a R+ \ {1}x1, x2R+

    Esempio: loga(3· 4 )= loga 3 + loga 4


PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE:

Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore:

loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2

 a R+ \ {1}x1, x2R+

Esempio: loga(8: 3 )= loga 8 - loga 3


PROPRIETA’ DELLA POTENZA:

Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base:

loga(xa)= aloga x

 a R+ \ {1}xR+ aR

Esempio: loga(23)= 3 loga 2


ESERCIZIO

1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] =

Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] =

Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]}


FUNZIONE LOGARITMICA

Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+\{1}, la funzione f : R+  R:

f(x)=logax

x > 0

E’ la funzione inversa della funzione esponenziale:

x = ayy = logax

Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x


y

x

y

2

1

1/e

0

x

1

e

e2

-1

Caso a > 1 y=ln(x)

10

1/e-1

e1

e22


Caso a > 1 confronto tra basi diverse

y = log2x

y = lnx

2

1

1/e

e

e2

-1


Caso a > 1

  • Dominio R+

  • Codominio R

  • Passa per (1,0)

  • Monotona crescente

  • Se la base aumenta è meno ripida


y

x

y

1

e

0

1/e

1

x

-1

Caso a < 1 y=log(1/e)x

10

1/e1

e-1


Caso a < 1 confronto tra basi diverse

y = log(1/2)(x)

y

1

e

1/e

x

-1

y = log(1/e)(x)


Caso a < 1

  • Dominio R+

  • Codominio R

  • Passa per (1,0)

  • Monotona decrescente

  • Se la base aumenta è più ripida


LE PERCENTUALI

  • Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica l’incidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore.

  • Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti.


LE PERCENTUALI

  • I costi totali di un’impresa sono passati da 75.000€ a 100.000€.

  • I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da 250.000€ a 400.000€

  • Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi.

  • Calcolare l’incidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni.


LE PERCENTUALI

  • La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale:

    (100.000-75.000)/75.000 =33,33%

  • La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno:

    (400.000-250.000)/250.000 =60%


LE PERCENTUALI

  • L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità:

    75.000/250.000 =0,30 =30%

    100.000/400.000=0,25=25%

  • L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni:

  • (75.000+100.000)/(250.000+400.000)=0,269=26,9%

    che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!!


LE PERCENTUALI

  • GLI SCONTI SUCCESSIVI

  • Sul prezzo iniziale di un bene vengono applicati due sconti consecutivi:

    e ; ovvero:

    uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%.

  • Si vuole determinare lo sconto complessivo.


LE PERCENTUALI

  • Il prezzo dopo il primo sconto è dato da:

  • Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il prezzo finale diventa:

  • Lo sconto complessivo è dunque pari a 28%


LE PERCENTUALI

  • Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo:

  • Sconto%


LE PERCENTUALI

  • Nel caso degli sconti successivi

    lo sconto complessivo S, espresso come valore percentuale, sul prezzo iniziale può essere ricavato dalla formula seguente:


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