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LE BASI FONDAMENTALI

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LE BASI FONDAMENTALI. INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi) SISTEMI DI COORDINATE ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI TRIGONOMETRICHE EQUAZIONI DISEQUAZIONI PERCENTUALI. INSIEMI.

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Presentation Transcript
le basi fondamentali
LE BASI FONDAMENTALI
  • INSIEMI
  • INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi)
  • SISTEMI DI COORDINATE
  • ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA
  • FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
  • EQUAZIONI
  • DISEQUAZIONI
  • PERCENTUALI
insiemi
INSIEMI

INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme.

Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme

simbologia
Simbologia

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici:A, B, X, Y, A1, A2, B1…

gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 …

rappresentazione di un insieme
Rappresentazione di un insieme

Un insieme A si può rappresentare:

  • elencando tutti gli elementi che appartengono all\'insieme

Esempio: A = {a, b, c, d}

  • Indicando la proprietà caratteristicadegli elementi dell\'insieme

Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}

i diagrammi di eulero venn

A

a b c d

I Diagrammi di Eulero-Venn

Servono per rappresentare graficamente un insieme.

Esempio:

il simbolo di appartenenza
Il simbolo di appartenenza: Î

Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive:

aÎA

si legge “a appartiene ad A".

Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive:

bÏAsi legge “b non appartiene ad A".

confronto tra insiemi
CONFRONTO TRA INSIEMI

Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive:

BÍA (oppure AÊB)

e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B")

se ogni elemento di B è un elemento di A"bÎBbÎA

confronto tra insiemi1
CONFRONTO TRA INSIEMI

Insieme vuoto :Æ

Insieme privo di elementi

Æ Í A (qualunque sia A)

Si dice che B è sottoinsieme proprio di Ae si scrive: B Ì A (oppure A É B)

se B è diverso da A e dall\'insieme vuoto, cioè se

 a A : a  B

operazioni tra insiemi
OPERAZIONI TRA INSIEMI
  • UNIONE
  • INTERSEZIONE
  • DIFFERENZA
  • COMPLEMENTAZIONE
  • PRODOTTO CARTESIANO
unione tra insiemi
UNIONE TRA INSIEMI
  • L\'unione di due insiemi A e B è l\'insiemedi quegli elementi che appartengonoad almeno uno dei due insiemi A e B
  • L’unione di A e B si scrive:

AÈB = {x : xÎA e/o xÎB }

Se A = B AÈB = A

Se A  B AÈB = B

unione tra insiemi1

A

B

1

3

0

2

UNIONE TRA INSIEMI
  • Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}
unione tra insiemi2

A

B

1

3

0

2

UNIONE TRA INSIEMI
  • Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}AÈB = {0, 1, 2, 3}
intersezione tra insiemi
INTERSEZIONE TRA INSIEMI
  • L\'intersezione di due insiemi A e B è l\'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B
  • L\'intersezione di A e B si scrive:

AÇB = {x : xÎ A e x Î B }

Se A = B AÇB = A

Se A  B AÇB = A

Se AÇB =  A e B si dicono disgiunti.

intersezione tra insiemi1

B

A

1

3

0

2

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

intersezione tra insiemi2

B

A

1

3

0

2

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}AÇB = {1, 2}

differenza tra insiemi
DIFFERENZA TRA INSIEMI
  • La differenza di due insiemi A e B è l\'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B:
  • La differenza di A e B si scrive

A - B = A \ B = {x : x Î A e x Ï B }

Se A = B A\B =

Se A  B A\B =

differenza tra insiemi1

B

A

1

3

0

2

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}

differenza tra insiemi2

B

A

1

3

0

2

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A \ B = {0}

differenza tra insiemi3

B

A

1

3

0

2

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}B \ A = {3}

insieme complementare
INSIEME COMPLEMENTARE
  • Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale.
  • sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l\'insieme differenza di U e A e si scrive:CUA =A’ =U \ A = {x : x Î U e x Ï A }
insieme complementare1

0 3 5

U

1 2

A

INSIEME COMPLEMENTARE
  • EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}
insieme complementare2

0 3 5

U

1 2

A

A

INSIEME COMPLEMENTARE
  • EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}CUA =U \ A = {0, 3, 5}
prodotto cartesiano
PRODOTTO CARTESIANO
  • Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y)  (y,x)
  • Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B

A´B = {(x, y) : xÎA, yÎB}

prodotto cartesiano1
PRODOTTO CARTESIANO

Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}

A´B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B´A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

esercizi
ESERCIZI
  • Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}
  • Calcolare:

AÈB = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

AÇB = {2, 4}

A \ B = {1, 3, 5}

B \ A = {6}

insiemi numerici
INSIEMI NUMERICI
  • NATURALI
  • INTERI O RELATIVI
  • RAZIONALI
  • IRRAZIONALI
  • REALI
  • COMPLESSI
i numeri naturali
I NUMERI NATURALI

N={1, 2, 3, 4, 5,…..}

  • Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni.
  • Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni:

1) Addizione

2) Moltiplicazione

3) Relazione di “minore o uguale”

(m<n (se e solo se) p N: m+p=n)

i numeri naturali1
I NUMERI NATURALI
  •  m, n, p  NLe operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà:

- Associativa:

(m + n) + p = m + (n + p)

(m • n) • p= m • (n • p)

  • Commutativa:

m + n = n + m

m • n = n • m

  • Distributiva:

m • (n + p)= m • n + m • p

  • Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:

 1 N: 1• m = m

i numeri interi
I NUMERI INTERI
  • L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione.
  • Non è però chiuso rispetto alla sottrazione:

 sistema algebrico dei numeri interi.

Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}

Z+ = {+1, +2, +3, …} = N

Z- = {-1, -2, -3, …}

Z = Z+È Z - È {0}

i numeri interi1
I NUMERI INTERI

Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre:

4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:

 0 Z : x + 0 = x, xZ

5) Esiste l’opposto:

xZ,  y Z : x + y = 0,

6) Chiuso rispetto alla sottrazione:

x – y = x + (-y)

i numeri razionali
I NUMERI RAZIONALI
  • PROBLEMA:

Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovvero

Z non è chiuso rispetto alla divisione

Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}}

  • ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.
numeri razionali

-2

-1

0

1

2

3

NUMERI RAZIONALI
  • Q è denso:

q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2

  • N e Z sono discreti:
numeri reali
NUMERI REALI
  • PROBLEMA:

non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 !

  • Numeri reali: R = Q È

dove  è l’insieme dei numeri irrazionali

numeri reali1
NUMERI REALI

Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che:

p2/q2=2

p2=2 q2

p è pari, p = 2k

22 k2 = 2 q2

2k2 = q2

ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.

numeri reali2
NUMERI REALI
  • L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, :

Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale.

Non vale il viceversa!

numeri complessi
NUMERI COMPLESSI
  • Sia , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo.
  • Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:
numeri complessi1
NUMERI COMPLESSI
  • Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo:
  • L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.
numeri complessi2
NUMERI COMPLESSI
  • Siano dati due numeri complessi
  • SOMMA:
  • DIFFERENZA:
  • PRODOTTO:
numeri complessi3
NUMERI COMPLESSI

Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero:

  • Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):
numeri complessi4
NUMERI COMPLESSI
  • QUOZIENTE:
gli insiemi numerici
GLI INSIEMI NUMERICI
  • Sussiste una precisa relazione di inclusione:

N Z QR C

relazioni e corrispondenze
RELAZIONI e CORRISPONDENZE

Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano:

R X x Y = (x,y): xX, yY

L’insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza.

funzione
FUNZIONE

Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y.

Noi consideriamo X, Y  R , cioè funzioni reali di una variabile reale.

sistema di coordinate ascisse sopra una retta

O

u

r-

r+

r

SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA

Sia data una retta r, si fissi:

  • Un verso positivo di percorrenza
  • Un punto O detto Origine
  • Un segmento u detto unità di misura
asse delle ascisse
ASSE DELLE ASCISSE
  • Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). xP è chiamata ascissa di P
  • Viceversa,  xP R ! P  r : x= xP.
  • Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.
sistema di coordinate cartesiane nel piano
SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna:

  • Un verso positivo di percorrenza
  • Una unità di misura

Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano

Ortogonale / obliquo

Monometrico / dimetrico

coordinate cartesiane nel piano

II

(- , +)

I

(+ , +)

IV

(+ , -)

III

(- , -)

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO
  • Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y)
esempio
ESEMPIO

P=(-2,3)

3

P=(2,1)

1

-2

2

-1

P=(-2,-1)

-2

P=(2,-2)

geometria analitica la retta
GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA
  • Si consideri il seguente grafico:
  • I punti sulla retta hanno coordinate:
geometria analitica la retta1
GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA
  • Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente):
  • Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha:
geometria analitica la retta2
GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA
  • Ponendo:
  • Si ottiene l’equazione della retta in forma implicita (o generale):
la circonferenza
LA CIRCONFERENZA
  • L’equazione della circonferenza di centro
  • e raggio r è data da:
  • Dove i coefficienti sono dati da:
  • Se C=O l’equazione assume l’espressione:
l ellisse
L’ELLISSE
  • L’equazione dell’ellisse con fuochi
  • e gli assi lunghi a e b è espressa da:
  • dove a > c e dove
l iperbole
L’IPERBOLE
  • L’equazione dell’iperbole con fuochi
  • e gli assi lunghi a e b è espressa da:
  • dove a < c e dove
iperbole equilatera
IPERBOLE EQUILATERA
  • Se a=b l’equazione l’iperbole viene denominata equilatera e la sua equazione è:
  • Se si ruota il grafico di 45° in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha:
  • ovvero
la parabola
LA PARABOLA
  • L’equazione della parabola con il vertice nell’origine, il fuoco di coordinate (0, c) con c>0 e la direttrice di equazione y=-c
  • è espressa da:
  • Se il vertice non coincide con l’origine degli assi e la direttrice è sempre parallela all’asse x l’equazione assume la forma:
angolo
ANGOLO
  • Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.
angolo orientato

b

+

a

a

-

b

ANGOLO ORIENTATO
  • Verso positivo di rotazione antiorario
slide70

B

A

ARCO
  • La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo.

O

sistemi di misura di angoli
SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI
  • SESSAGESIMALE:

grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro.

  • RADIANTE
radiante
RADIANTE
  • L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.
misura in radianti di un angolo
Misura in radianti di un angolo
  • È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio:
  • Angolo giro = 2pr / r = 2p
  • Angolo piatto = pr / r = p
  • Angolo retto = p/2
misura in radianti di un angolo1
Misura in radianti di un angolo

p/2

p/4

(3/4)p

0

p

(5/4)p

(7/4)p

(3/2)p

misura in radianti di un angolo2

p/2

(4/6)p

(2/6)p

(5/6)p

p/6

p

0

(11/6)p

(7/6)p

(10/6)p

(8/6)p

(3/2)p

Misura in radianti di un angolo
misura in radianti di un angolo3
Misura in radianti di un angolo
  • Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante:

360 : 2p = a°s : ar

Ex: 360 : 2p = 20° : ar

ar = p/9

f x sin x

p/2

y

y

1

(3/2)p

-p/2

2p

x

x

p/2

p

A=(1,0)

p

2p

-1

(3/2) p

f(x) = sin (x)

P

O

H

0

funzione seno
Funzione seno
  • Dominio R
  • Codominio [-1, 1]
  • Periodica di periodo 2p
y cos x

p/2

y

y

-p/2

2p

x

x

p

(3/2)p

x

A=(1,0)

p/2

p

(3/2) p

y = cos (x)

P

O

H

0

funzione coseno
Funzione coseno
  • Dominio R
  • Codominio [-1, 1]
  • Periodica di periodo 2p
y tan x

p/2

y

T

y

2p

x

p

A

-p/2

p/2

p

(3/2)p

(3/2) p

y = tan (x)

P

O

0

H

funzione tangente
Funzione tangente
  • Dominio = R \ p/2 + kp k  Z
  • Codominio = R
  • Periodica di periodo p
relazione tra seno e coseno
Relazione tra seno e coseno

sin2(x) + cos2(x) = 1

relazione tra seno e coseno1
Relazione tra seno e coseno
  • Esempi:
  • cos(x) = ½ x  [0, p/2]
coordinate polari
COORDINATE POLARI
  • P ha coordinate cartesiane (1, 1)

Le coordinate polari di P sono:

Nell’esempio:

coordinate polari1
COORDINATE POLARI
  • Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:
  • si osservi che:
coordinate polari e numeri complessi
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
  • Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.
coordinate polari e numeri complessi1
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
  • Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:
coordinate polari e numeri complessi2
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
  • Dato il numero complesso z:

e il numero complesso v :

Il prodotto tra z e v è:

coordinate polari e numeri complessi3
COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
  • In particolare se z=v si ottiene:

e in generale:

detta Formula di De Moivre.

calcolo letterale
CALCOLO LETTERALE
  • Perché?

È opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.

potenze
POTENZE
  • Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a

an = a • a • … • a n volte

Esempio:

32 = 3 • 3

(-2)2 = (-2) • (-2) = 4

(-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

proprieta delle potenze
PROPRIETA’ DELLE POTENZE

Dati a, b  R, m, n  N

  • an + m = anam,
  • a -n = 1 / an
  • an - m = an:am, n  m, se n = m, a  0
  • (a:b)n = an:bn, b  0
  • (ab)n = anbn,
  • (an)m = an m,
  • a0= 1,
esercizi1
ESERCIZI

32 • 33= 35

34 : 33= 31

((2)3)2= (2)6

(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2

(8)0=1

3-4 = 1 / 34

(- 2)2 •(-2)3 = -32

radicali
RADICALI
  • Si dice radice n-sima (n  N) del numero reale a il numero b tale che bn = a. Si scrive:
  • La radice ennesima (n  N) della potenza am si scrive:
operazioni tra polinomi
OPERAZIONI TRA POLINOMI
  • ADDIZIONE
  • SOTTRAZIONE
  • PRODOTTO

PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli

  • DIVISIONE
differenze di quadrati
DIFFERENZE DI QUADRATI

(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)

Esempi:

(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)

(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)

(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)

(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =

[(x –3)–3] [(x –3)+3] • [(x –3)2 +9]

quadrato di un binomio
QUADRATO DI UN BINOMIO

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

(x - y)2= x2 - 2xy + y2

Esempi:

(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2

(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2

((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4

cubo di un binomio
CUBO DI UN BINOMIO

(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Esempi:

(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3

(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3

(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3

somma e differenza di cubi
SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI

(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)

(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)

Esempi:

(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)

(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)

(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 -

(x - 2) y2 + y4)]

scomposizione in fattori
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
  • Mediante l’uso dei prodotti notevoli
  • Raccoglimenti a fattore comune:

Esempio:

6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)

  • Raccoglimenti parziali successivi:

Esempio:

9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)

divisione tra polinomi
DIVISIONE TRA POLINOMI
  • Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile
  • Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 .
  • Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:

P1= Q P2 + Rdove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

esempio1
ESEMPIO

(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)

2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 x3 – x2 +1

2x5 – 2 x4 + 2 x2

2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1

2 x2

+2 x

-1

2 x4 – 2 x3 +2 x

– x3 - 2 x2 - x + 1

– x3 + x2 - 1

- 3 x2 - x + 2

esempio2
ESEMPIO

(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2)

P1= Q P2 + Rdove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.

esempio3
ESEMPIO:

(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)

20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 4x2 + 2x - 4

20 x4 +10 x3 - 20 x2

5x2

-6x

+ 8

– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32

–24 x3 - 12 x2 + 24 x

32 x2 + 16 x - 32

32 x2 + 16 x - 32

\\ \\ \\

regola di ruffini
REGOLA DI RUFFINI
  • Divisione di un polinomio per un binomio
  • Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero .

P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R

regola di ruffini1
REGOLA DI RUFFINI

Termine noto P1(x)

Coefficienti P1(x)

±a

Coefficienti e termine noto P2(x)

Resto

esempio4
ESEMPIO

(x2 - 1) : (x + 2)

1

0

-1

-2

4

-2

1

-2

3

x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3

regola del resto
REGOLA DEL RESTO
  • Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a

R= P1(-a)

Esempio:

(x2 - 1) : (x + 2)

P1(-2) = 3

osservazione
OSSERVAZIONE
  • Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1.
  • Nell’esempio precedente: P1(x)=(x2 - 1)

si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1:

P1(+1) = 0

quindi P1 è divisibile per (x - 1)

P1(-1) = 0

quindi P1 è divisibile per (x + 1)

esempio5
ESEMPIO

P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6

P1(±1)  0

P1(2) = 0

x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)

1

3

-7

-6

2

2

10

6

1

5

3

0

equazioni
EQUAZIONI
  • Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale
  • Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile

f(x) = g(x)

  • La variabile è detta incognita dell’equazione
soluzioni
 SOLUZIONI
  • I particolari valori di x per cui questa è verificata sono detti soluzioni dell’equazione
  • Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni.
  • Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x.
  • Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile
  • Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano
equazioni di primo grado
EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
  • Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell\'incognita x ogni equazione del tipo:

ax + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a ¹ 0.

  • Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene l’incognita e si divide per il coefficiente di x:

ax=-b (ax)/a=-b/a

da cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è:

x = - b / a Esempio:

2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3 / 2

equazioni di 2 o grado
EQUAZIONI DI 2o GRADO
  • Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell\'incognita x ogni equazione del tipo:

ax2 + bx + c = 0

con a, b, c coefficienti numerici e  a ¹ 0.

SPURIA: ax2 + bx = 0

x(ax+ b) = 0

x = 0 x = - b / a

PURA: ax2 + c = 0

completa
COMPLETA

ax2 + bx + c = 0

D > 0 2 soluzioni reali e diverse

  • = 0 2 soluzioni reali e coincidenti
  • D < 0 nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all’insieme dei numeri complessi)
esempi
ESEMPI

2x2 - 7x + 3 = 0

D = 49 – 24 > 0

x1=1/2 x2=3

esempi1
ESEMPI

25x2 + 10x +1 = 0

D = 25 – 25 = 0

  • x2 - 3x + 8 = 0
  • D = 9 – 32 < 0
  • non ha soluzioni in R.
esercizi3
ESERCIZI
  • Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5:

assumendo a = 1 si ottiene x2 + 4x - 5 = 0

x1 = 1 x2 = -5

  • Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s= -3/10 p = -1/10

x2 + (3/10)x - 1/10 = 0

fattorizzazione
FATTORIZZAZIONE

ax2 + bx + c = 0

  • D > 0 a · (x - x1) · (x - x2)
  • D = 0 a · (x - x1)2
  • D < 0 non è possibile in R
disequazioni
DISEQUAZIONI
  • Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare:

                        f(x) > g(x)      

f(x) ³ g(x)

                        f(x) < g(x)      

f(x) £ g(x)

soluzioni1
SOLUZIONI
  • Le soluzioni vanno cercate nell’insieme:

I = D(f) D(g)

  • Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1)
  • Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione

(ex: x2 +1 > 0)

  • Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x2 + 2 < 0)
esempio6
ESEMPIO

-2x > 24

x < -12

intervalli della retta
INTERVALLIDELLA RETTA
  • Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b:
  • [ a , b ] ={xR: a  x  b} chiuso
  • ] a , b ] ={xR: a < x  b}=( a,b] chiuso a destra
  • [ a , b [ ={xR: a  x < b}=[a,b) chiuso a sinistra
  • ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b ) aperto
intervalli della retta1
INTERVALLI DELLARETTA
  • ] -  , b ] = {xR: x  b} = ( -  , b ]
  • ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b )
  • [ a , +  [ = {xR: x  a} = [ a , +  )
  • ] a , +  [ = {xR: x > a} = ( a , +  )
disequazioni di primo grado
DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

a x+b >0 con a e b numeri reali e a  0.

Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!),

Si isola il termine che contiene l’incognita x :

ax>-b

Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a

x>-b/a se a>0

x<-b/a se a<0

disequazioni di secondo grado
DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
  • ax2 + bx + c > 0

a, b, c reali, a  0

Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado.

esempio7
ESEMPIO
  • 4x2 + 12x + 9 > 0

D = 36- 36 = 0

  • S = xR \ {-3/2}
esempio8
ESEMPIO

3x2 + 5x – 2 < 0

  • = 25 +24 = 49 > 0

x1 = -2 x2= 1/3

S = {xR: -2 < x < 1/3}

esempio9
ESEMPIO

3x2 + 5x – 2 > 0

  • = 25 +24 = 49 > 0

x1 = -2 x2= 1/3

S = {xR: x< -2 }  {xR: x> 1/3}

esempio10
ESEMPIO

3x2 -x + 2 < 0

  • = 1 – 24 < 0

S={}

disequazioni fratte
DISEQUAZIONI FRATTE
  • I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0}
  • Studio segno numeratore
  • Studio segno denominatore
  • Uso regola segni
  • Determinazione dell’insieme nel quale la disequazione è verificata
esempio11

-3

4

-

(x + 3)

+

+

-

-

(x - 4)

+

+

-

+

ESEMPIO

(x - 4)/(x+3)

continuazione esempio
Continuazione ESEMPIO

S = {xR: x < -3}  {xR: x > 4}

N.B. I = {xR: x  3}

sistemi di disequazioni
SISTEMI DI DISEQUAZIONI
  • Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni.
  • La soluzione si ottiene trovando l’insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione:
  • S = S1 S2 …  Sn
  • se S = {} allora il sistema è impossibile
esempio12

-1/2

3

(2x + 1)

(x – 3)

ESEMPIO
  • S = x {xR: (-½) < x  3}
funzione esponenziale

y

1

x

FUNZIONE ESPONENZIALE

Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R  R+:

f(x)=ax

N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x

caso a 1 f x e x

y

x

y

e2

e

1

1/e

1/e2

-2

-1

0

1

2

x

CASO a > 1 f(x)=ex

0 1

-1 1/e

-2 1/e2

1 e

2 e2

caso a 1 confronto tra basi diverse
CASO a > 1 confronto tra basi diverse

y = 2x

y = ex

y

x

y

y = 2x

0 1

-1 1/2

-2 1/22

1 2

2 22

-2

-1

1

2

x

caso a 1
CASO a > 1
  • Dominio R
  • Codominio R+
  • Passa per (0,1)
  • Monotona crescente
  • Se la base aumenta è più ripida
caso a 1 f x 1 e x

y

x

y

e2

e

1

1/e

1/e2

x

-2

-1

0

1

2

CASO a < 1 f(x)=(1/e)x

0 1

-1 e

-2 e2

1 1/e

2 1/e2

caso a 1 confronto tra basi diverse1
CASO a < 1 confronto tra basi diverse

y = (1/2)x

y

x

y

0 1

-1 2

-2 22

y = (1/2)x

1 1/2

y = (1/e)x

2 1/22

-2

-1

1

2

x

caso a 11
CASO a < 1
  • Dominio R
  • Codominio R+
  • Passa per (0,1)
  • Monotona decrescente
  • Se la base aumenta è meno ripida
logaritmi
LOGARITMI

Siano a un numero reale positivo, a¹ 1,

e b un numero reale positivo

allora esiste un numero reale c tale che:

ac = b

Tale numero c si dice logaritmo in base a di b

e si indica con il simbolo:

c=logab

NB

esempi2
ESEMPI

log28 = 3

log22 = 1

log51 = 0

log(1/3)3 = -1

log381 = 4

log1010000 = 4

log2(1/4) = - 2

esercizi4
Esercizi

Determinare la base:

logx7 = -1

x = 1/7

logx49 = 2

x = 7

logx(1/1000) = -3

x = 10

logx(41/3) = -2/3

x = ½

basi del logaritmo
BASI DEL LOGARITMO
  • Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Eulero,

e = 2,7182….)

  • Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log”
  • Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln” (logaritmo neperiano).
formula per il cambiamento di base
FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE
  • Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d,

 a,dR+ \ {1}cR+

proprieta dei logaritmi
PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
  • PROPRIETA’ DEL PRODOTTO
  • PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE
  • PROPRIETA’ DELLA POTENZA
proprieta del prodotto
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO:

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi:

loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2

  • a R+ \ {1}x1, x2R+

Esempio: loga(3· 4 )= loga 3 + loga 4

proprieta del quoziente
PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE:

Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore:

loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2

 a R+ \ {1}x1, x2R+

Esempio: loga(8: 3 )= loga 8 - loga 3

proprieta della potenza
PROPRIETA’ DELLA POTENZA:

Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base:

loga(xa)= aloga x

 a R+ \ {1}xR+ aR

Esempio: loga(23)= 3 loga 2

esercizio
ESERCIZIO

1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] =

Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] =

Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]}

funzione logaritmica
FUNZIONE LOGARITMICA

Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+\{1}, la funzione f : R+  R:

f(x)=logax

x > 0

E’ la funzione inversa della funzione esponenziale:

x = ay y = logax

Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x

caso a 1 y ln x

y

x

y

2

1

1/e

0

x

1

e

e2

-1

Caso a > 1 y=ln(x)

1 0

1/e -1

e 1

e2 2

caso a 1 confronto tra basi diverse2
Caso a > 1 confronto tra basi diverse

y = log2x

y = lnx

2

1

1/e

e

e2

-1

caso a 12
Caso a > 1
  • Dominio R+
  • Codominio R
  • Passa per (1,0)
  • Monotona crescente
  • Se la base aumenta è meno ripida
caso a 1 y log 1 e x

y

x

y

1

e

0

1/e

1

x

-1

Caso a < 1 y=log(1/e)x

1 0

1/e 1

e -1

caso a 1 confronto tra basi diverse3
Caso a < 1 confronto tra basi diverse

y = log(1/2)(x)

y

1

e

1/e

x

-1

y = log(1/e)(x)

caso a 13
Caso a < 1
  • Dominio R+
  • Codominio R
  • Passa per (1,0)
  • Monotona decrescente
  • Se la base aumenta è più ripida
le percentuali
LE PERCENTUALI
  • Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica l’incidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore.
  • Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti.
le percentuali1
LE PERCENTUALI
  • I costi totali di un’impresa sono passati da 75.000€ a 100.000€.
  • I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da 250.000€ a 400.000€
  • Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi.
  • Calcolare l’incidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni.
le percentuali2
LE PERCENTUALI
  • La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale:

(100.000-75.000)/75.000 =33,33%

  • La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno:

(400.000-250.000)/250.000 =60%

le percentuali3
LE PERCENTUALI
  • L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità:

75.000/250.000 =0,30 =30%

100.000/400.000=0,25=25%

  • L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni:
  • (75.000+100.000)/(250.000+400.000)=0,269=26,9%

che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!!

le percentuali4
LE PERCENTUALI
  • GLI SCONTI SUCCESSIVI
  • Sul prezzo iniziale di un bene vengono applicati due sconti consecutivi:

e ; ovvero:

uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%.

  • Si vuole determinare lo sconto complessivo.
le percentuali5
LE PERCENTUALI
  • Il prezzo dopo il primo sconto è dato da:
  • Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il prezzo finale diventa:
  • Lo sconto complessivo è dunque pari a 28%
le percentuali6
LE PERCENTUALI
  • Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo:
  • Sconto%
le percentuali7
LE PERCENTUALI
  • Nel caso degli sconti successivi

lo sconto complessivo S, espresso come valore percentuale, sul prezzo iniziale può essere ricavato dalla formula seguente:

ad