Le basi fondamentali
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LE BASI FONDAMENTALI. INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi) SISTEMI DI COORDINATE ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI TRIGONOMETRICHE EQUAZIONI DISEQUAZIONI PERCENTUALI. INSIEMI.

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LE BASI FONDAMENTALI

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Presentation Transcript


Le basi fondamentali

LE BASI FONDAMENTALI

  • INSIEMI

  • INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi)

  • SISTEMI DI COORDINATE

  • ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA

  • FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

  • EQUAZIONI

  • DISEQUAZIONI

  • PERCENTUALI


Insiemi

INSIEMI

INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme.

Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme


Simbologia

Simbologia

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici:A, B, X, Y, A1, A2, B1…

gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 …


Rappresentazione di un insieme

Rappresentazione di un insieme

Un insieme A si può rappresentare:

  • elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme

    Esempio: A = {a, b, c, d}

  • Indicando la proprietà caratteristicadegli elementi dell'insieme

    Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}


I diagrammi di eulero venn

A

a b c d

I Diagrammi di Eulero-Venn

Servono per rappresentare graficamente un insieme.

Esempio:


Il simbolo di appartenenza

Il simbolo di appartenenza: Î

Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive:

aÎA

si legge “a appartiene ad A".

Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive:

bÏAsi legge “b non appartiene ad A".


Le basi fondamentali

ALCUNI SIMBOLI


Confronto tra insiemi

CONFRONTO TRA INSIEMI

Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive:

BÍA (oppure AÊB)

e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B")

se ogni elemento di B è un elemento di A"bÎBbÎA


Confronto tra insiemi1

CONFRONTO TRA INSIEMI

Insieme vuoto :Æ

Insieme privo di elementi

Æ Í A (qualunque sia A)

Si dice che B è sottoinsieme proprio di Ae si scrive:B Ì A (oppure A É B)

se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se

 a A : a  B


Operazioni tra insiemi

OPERAZIONI TRA INSIEMI

  • UNIONE

  • INTERSEZIONE

  • DIFFERENZA

  • COMPLEMENTAZIONE

  • PRODOTTO CARTESIANO


Unione tra insiemi

UNIONE TRA INSIEMI

  • L'unione di due insiemi A e B è l'insiemedi quegli elementi che appartengonoad almeno uno dei due insiemi A e B

  • L’unione di A e B si scrive:

    AÈB = {x : xÎA e/o xÎB }

    Se A = B AÈB = A

    Se A  B AÈB = B


Unione tra insiemi1

A

B

1

3

0

2

UNIONE TRA INSIEMI

  • Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}


Unione tra insiemi2

A

B

1

3

0

2

UNIONE TRA INSIEMI

  • Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}AÈB = {0, 1, 2, 3}


Intersezione tra insiemi

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

  • L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B

  • L'intersezione di A e B si scrive:

    AÇB = {x : xÎ A e x Î B }

    Se A = B AÇB = A

    Se A  B AÇB = A

    Se AÇB =  A e B si dicono disgiunti.


Intersezione tra insiemi1

B

A

1

3

0

2

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}


Intersezione tra insiemi2

B

A

1

3

0

2

INTERSEZIONE TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}AÇB = {1, 2}


Differenza tra insiemi

DIFFERENZA TRA INSIEMI

  • La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B:

  • La differenza di A e B si scrive

    A - B = A \ B = {x : x Î A e x Ï B }

    Se A = B A\B =

    Se A  B A\B =


Differenza tra insiemi1

B

A

1

3

0

2

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}


Differenza tra insiemi2

B

A

1

3

0

2

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}A \ B = {0}


Differenza tra insiemi3

B

A

1

3

0

2

DIFFERENZA TRA INSIEMI

Esempio:A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3}B \ A = {3}


Insieme complementare

INSIEME COMPLEMENTARE

  • Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale.

  • sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive:CUA =A’ =U \ A = {x : x Î U e x Ï A }


Insieme complementare1

0 3 5

U

1 2

A

INSIEME COMPLEMENTARE

  • EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}


Insieme complementare2

0 3 5

U

1 2

A

A

INSIEME COMPLEMENTARE

  • EsempioU = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2}CUA =U \ A = {0, 3, 5}


Prodotto cartesiano

PRODOTTO CARTESIANO

  • Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y)  (y,x)

  • Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B

    A´B = {(x, y) : xÎA, yÎB}


Prodotto cartesiano1

PRODOTTO CARTESIANO

Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}

A´B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B´A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}


Esercizi

ESERCIZI

  • Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6}

  • Calcolare:

    AÈB = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    AÇB = {2, 4}

    A \ B = {1, 3, 5}

    B \ A = {6}


Insiemi numerici

INSIEMI NUMERICI

  • NATURALI

  • INTERI O RELATIVI

  • RAZIONALI

  • IRRAZIONALI

  • REALI

  • COMPLESSI


I numeri naturali

I NUMERI NATURALI

N={1, 2, 3, 4, 5,…..}

  • Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni.

  • Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni:

    1) Addizione

    2) Moltiplicazione

    3) Relazione di “minore o uguale”

    (m<n (se e solo se) p N: m+p=n)


I numeri naturali1

I NUMERI NATURALI

  •  m, n, p  NLe operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà:

    - Associativa:

    (m + n) + p = m + (n + p)

    (m • n) • p= m • (n • p)

  • Commutativa:

    m + n = n + m

    m • n = n • m

  • Distributiva:

    m • (n + p)= m • n + m • p

  • Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:

     1 N: 1• m = m


I numeri interi

I NUMERI INTERI

  • L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione.

  • Non è però chiuso rispetto alla sottrazione:

     sistema algebrico dei numeri interi.

    Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …}

    Z+ = {+1, +2, +3, …} = N

    Z- = {-1, -2, -3, …}

    Z = Z+È Z - È {0}


I numeri interi1

I NUMERI INTERI

Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre:

4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:

 0 Z : x + 0 = x, xZ

5) Esiste l’opposto:

xZ,  y Z : x + y = 0,

6) Chiuso rispetto alla sottrazione:

x – y = x + (-y)


I numeri razionali

I NUMERI RAZIONALI

  • PROBLEMA:

    Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovvero

    Z non è chiuso rispetto alla divisione

    Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}}

  • ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.


Numeri razionali

-2

-1

0

1

2

3

NUMERI RAZIONALI

  • Q è denso:

    q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2

  • N e Z sono discreti:


Numeri reali

NUMERI REALI

  • PROBLEMA:

    non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 !

  • Numeri reali: R = Q È

    dove  è l’insieme dei numeri irrazionali


Numeri reali1

NUMERI REALI

Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che:

p2/q2=2

p2=2 q2

p è pari, p = 2k

22 k2 = 2 q2

2k2 = q2

ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.


Numeri reali2

NUMERI REALI

  • L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, :

    Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale.

    Non vale il viceversa!


Numeri complessi

NUMERI COMPLESSI

  • Sia, x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo.

  • Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:


Numeri complessi1

NUMERI COMPLESSI

  • Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo:

  • L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.


Numeri complessi2

NUMERI COMPLESSI

  • Siano dati due numeri complessi

  • SOMMA:

  • DIFFERENZA:

  • PRODOTTO:


Numeri complessi3

NUMERI COMPLESSI

Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero:

  • Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):


Numeri complessi4

NUMERI COMPLESSI

  • QUOZIENTE:


Gli insiemi numerici

GLI INSIEMI NUMERICI

  • Sussiste una precisa relazione di inclusione:

    N Z QR C


Relazioni e corrispondenze

RELAZIONI e CORRISPONDENZE

Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano:

R X x Y = (x,y): xX, yY

L’insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza.


Funzione

FUNZIONE

Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y.

Noi consideriamo X, Y  R , cioè funzioni reali di una variabile reale.


Relazione tra 2 insiemi

X

Y

1

1

2

2

3

3

4

RELAZIONE TRA 2 INSIEMI


Funzione tra due insiemi

X

Y

1

1

2

2

3

3

4

FUNZIONE TRA DUE INSIEMI

4


Sistema di coordinate ascisse sopra una retta

O

u

r-

r+

r

SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA

Sia data una retta r, si fissi:

  • Un verso positivo di percorrenza

  • Un punto O detto Origine

  • Un segmento u detto unità di misura


Asse delle ascisse

ASSE DELLE ASCISSE

  • Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). xP è chiamata ascissa di P

  • Viceversa,  xP R ! P  r : x= xP.

  • Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.


Sistema di coordinate cartesiane nel piano

SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna:

  • Un verso positivo di percorrenza

  • Una unità di misura

    Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano

    Ortogonale / obliquo

    Monometrico / dimetrico


Coordinate cartesiane nel piano

II

(- , +)

I

(+ , +)

IV

(+ , -)

III

(- , -)

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

  • Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y)


Esempio

ESEMPIO

P=(-2,3)

3

P=(2,1)

1

-2

2

-1

P=(-2,-1)

-2

P=(2,-2)


Geometria analitica la retta

GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA

  • Si consideri il seguente grafico:

  • I punti sulla retta hanno coordinate:


Geometria analitica la retta1

GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA

  • Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente):

  • Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha:


Geometria analitica la retta2

GEOMETRIA ANALITICA:LA RETTA

  • Ponendo:

  • Si ottiene l’equazione della retta in forma implicita (o generale):


Le coniche

LE CONICHE


La circonferenza

LA CIRCONFERENZA

  • L’equazione della circonferenza di centro

  • e raggio r è data da:

  • Dove i coefficienti sono dati da:

  • Se C=O l’equazione assume l’espressione:


Grafico della circonferenza

GRAFICO DELLA CIRCONFERENZA


L ellisse

L’ELLISSE

  • L’equazione dell’ellisse con fuochi

  • e gli assi lunghi a e b è espressa da:

  • dove a > c e dove


Grafico dell ellisse

GRAFICO DELL’ELLISSE


L iperbole

L’IPERBOLE

  • L’equazione dell’iperbole con fuochi

  • e gli assi lunghi a e b è espressa da:

  • dove a < c e dove


Grafico dell iperbole

GRAFICO DELL’IPERBOLE

y

x


Iperbole equilatera

IPERBOLE EQUILATERA

  • Se a=b l’equazione l’iperbole viene denominata equilatera e la sua equazione è:

  • Se si ruota il grafico di 45° in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha:

  • ovvero


Grafico dell iperbole equilatera

GRAFICO DELL’IPERBOLE EQUILATERA


La parabola

LA PARABOLA

  • L’equazione della parabola con il vertice nell’origine, il fuoco di coordinate (0, c) con c>0 e la direttrice di equazione y=-c

  • è espressa da:

  • Se il vertice non coincide con l’origine degli assi e la direttrice è sempre parallela all’asse x l’equazione assume la forma:


Grafico della parabola

GRAFICO DELLA PARABOLA


Angolo

ANGOLO

  • Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.


Angolo orientato

b

+

a

a

-

b

ANGOLO ORIENTATO

  • Verso positivo di rotazione antiorario


Le basi fondamentali

B

A

ARCO

  • La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo.

O


Sistemi di misura di angoli

SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI

  • SESSAGESIMALE:

    grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro.

  • RADIANTE


Radiante

RADIANTE

  • L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.


Misura in radianti di un angolo

Misura in radianti di un angolo

  • È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio:

  • Angolo giro = 2pr / r = 2p

  • Angolo piatto = pr / r = p

  • Angolo retto = p/2


Misura in radianti di un angolo1

Misura in radianti di un angolo

p/2

p/4

(3/4)p

0

p

(5/4)p

(7/4)p

(3/2)p


Misura in radianti di un angolo2

p/2

(4/6)p

(2/6)p

(5/6)p

p/6

p

0

(11/6)p

(7/6)p

(10/6)p

(8/6)p

(3/2)p

Misura in radianti di un angolo


Misura in radianti di un angolo3

Misura in radianti di un angolo

  • Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante:

    360 : 2p = a°s : ar

    Ex: 360 : 2p = 20° : ar

    ar = p/9


Le funzioni trigonometriche seno e coseno

y

P

A

Le funzioni trigonometriche: seno e coseno

r

a

x

O

H


La funzione tangente trigonometrica

y

P

A

La funzione:Tangente trigonometrica

T

r

a

O

H


F x sin x

p/2

y

y

1

(3/2)p

-p/2

2p

x

x

p/2

p

A=(1,0)

p

2p

-1

(3/2) p

f(x) = sin (x)

P

O

H

0


Funzione seno

Funzione seno

  • Dominio R

  • Codominio [-1, 1]

  • Periodica di periodo 2p


Y cos x

p/2

y

y

-p/2

2p

x

x

p

(3/2)p

x

A=(1,0)

p/2

p

(3/2) p

y = cos (x)

P

O

H

0


Funzione coseno

Funzione coseno

  • Dominio R

  • Codominio [-1, 1]

  • Periodica di periodo 2p


Y tan x

p/2

y

T

y

2p

x

p

A

-p/2

p/2

p

(3/2)p

(3/2) p

y = tan (x)

P

O

0

H


Funzione tangente

Funzione tangente

  • Dominio = R \ p/2 + kp k  Z

  • Codominio = R

  • Periodica di periodo p


Relazione tra seno e coseno

Relazione tra seno e coseno

sin2(x) + cos2(x) = 1


Relazione tra seno e coseno1

Relazione tra seno e coseno

  • Esempi:

  • cos(x) = ½ x  [0, p/2]


Relazione tra seno coseno e tangente

Relazione tra seno, coseno e tangente

  • sin2(x) + cos2(x) = 1


Valori in archi particolari p 6

Valori in archi particolari : p/6


Valori in archi particolari p 3

Valori in archi particolari: p/3


Valori in archi particolari p 4

Valori in archi particolari: p/4


Coordinate polari

COORDINATE POLARI

  • P ha coordinate cartesiane (1, 1)

    Le coordinate polari di P sono:

    Nell’esempio:


Coordinate polari1

COORDINATE POLARI

  • Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:

  • si osservi che:


Coordinate polari e numeri complessi

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

  • Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.


Coordinate polari e numeri complessi1

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

  • Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:


Coordinate polari e numeri complessi2

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

  • Dato il numero complesso z:

    e il numero complesso v :

    Il prodotto tra z e v è:


Coordinate polari e numeri complessi3

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

  • In particolare se z=v si ottiene:

    e in generale:

    detta Formula di De Moivre.


Calcolo letterale

CALCOLO LETTERALE

  • Perché?

    È opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.


Potenze

POTENZE

  • Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a

    an = a • a • … • a n volte

    Esempio:

    32 = 3 • 3

    (-2)2 = (-2) • (-2) = 4

    (-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8


Proprieta delle potenze

PROPRIETA’ DELLE POTENZE

Dati a, b  R, m, n  N

  • an + m = anam,

  • a -n = 1 / an

  • an - m = an:am,n  m, se n = m, a  0

  • (a:b)n = an:bn,b  0

  • (ab)n = anbn,

  • (an)m = an m,

  • a0= 1,


Esercizi1

ESERCIZI

32 • 33= 35

34 : 33= 31

((2)3)2= (2)6

(5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2

(8)0=1

3-4 = 1 / 34

(- 2)2 •(-2)3 = -32


Radicali

RADICALI

  • Si dice radice n-sima (n  N) del numero reale a il numero b tale che bn = a. Si scrive:

  • La radice ennesima (n  N) della potenza am si scrive:


Proprieta dei radicali

PROPRIETA’ DEI RADICALI


Esercizi2

ESERCIZI


Operazioni tra polinomi

OPERAZIONI TRA POLINOMI

  • ADDIZIONE

  • SOTTRAZIONE

  • PRODOTTO

    PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli

  • DIVISIONE


Differenze di quadrati

DIFFERENZE DI QUADRATI

(x + y) • (x - y) = (x2 - y2)

Esempi:

(2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2)

(2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2)

(9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab)

(x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] =

[(x –3)–3] [(x –3)+3] • [(x –3)2 +9]


Quadrato di un binomio

QUADRATO DI UN BINOMIO

(x + y)2= x2 + 2xy + y2

(x - y)2= x2 - 2xy + y2

Esempi:

(a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2

(a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2

((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4


Cubo di un binomio

CUBO DI UN BINOMIO

(x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x - y)3= x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Esempi:

(2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3

(3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3

(x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y2 - 125y3


Somma e differenza di cubi

SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI

(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2)

(x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2)

Esempi:

(8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2)

(27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2)

(x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 -

(x - 2) y2 + y4)]


Scomposizione in fattori

SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

  • Mediante l’uso dei prodotti notevoli

  • Raccoglimenti a fattore comune:

    Esempio:

    6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b)

  • Raccoglimenti parziali successivi:

    Esempio:

    9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)


Divisione tra polinomi

DIVISIONE TRA POLINOMI

  • Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile

  • Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 .

  • Esistono allora due polinomi Q ed R tali che:

    P1= Q P2 + Rdove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.


Esempio1

ESEMPIO

(2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)

2x5 + 0 x4 – 3 x3 + 0 x2 + x + 1 x3 – x2 +1

2x5 – 2 x4 + 2 x2

2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1

2 x2

+2 x

-1

2 x4 – 2 x3 +2 x

– x3 - 2 x2 - x + 1

– x3 + x2 - 1

- 3 x2 - x + 2


Esempio2

ESEMPIO

(2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2)

P1= Q P2 + Rdove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

N.B.P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.


Esempio3

ESEMPIO:

(20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)

20 x4 – 14 x3 + 0 x2 + 40 x - 32 4x2 + 2x - 4

20 x4 +10 x3 - 20 x2

5x2

-6x

+ 8

– 24 x3 + 20 x2 + 40 x - 32

–24 x3 - 12 x2 + 24 x

32 x2 + 16 x - 32

32 x2 + 16 x - 32

\\ \\\\


Regola di ruffini

REGOLA DI RUFFINI

  • Divisione di un polinomio per un binomio

  • Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero .

    P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R


Regola di ruffini1

REGOLA DI RUFFINI

Termine noto P1(x)

Coefficienti P1(x)

±a

Coefficienti e termine noto P2(x)

Resto


Esempio4

ESEMPIO

(x2 - 1) : (x + 2)

1

0

-1

-2

4

-2

1

-2

3

x2 - 1 = (x + 2) (x –2) + 3


Regola del resto

REGOLA DEL RESTO

  • Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a

    R= P1(-a)

Esempio:

(x2 - 1) : (x + 2)

P1(-2) = 3


Osservazione

OSSERVAZIONE

  • Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1.

  • Nell’esempio precedente:P1(x)=(x2 - 1)

    si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1:

    P1(+1) = 0

    quindi P1 è divisibile per (x - 1)

    P1(-1) = 0

    quindi P1 è divisibile per (x + 1)


Esempio5

ESEMPIO

P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6

P1(±1)  0

P1(2) = 0

x3 + 3 x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)

1

3

-7

-6

2

2

10

6

1

5

3

0


Equazioni

EQUAZIONI

  • Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale

  • Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile

    f(x) = g(x)

  • La variabile è detta incognita dell’equazione


Soluzioni

 SOLUZIONI

  • I particolari valori di x per cui questa è verificata sono detti soluzioni dell’equazione

  • Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni.

  • Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x.

  • Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile

  • Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano


Equazioni di primo grado

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

  • Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

    ax + b = 0con a, b coefficienti numerici , a ¹ 0.

  • Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene l’incognita e si divide per il coefficiente di x:

    ax=-b(ax)/a=-b/a

    da cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è:

    x = - b / a Esempio:

    2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3 / 2


Equazioni di 2 o grado

EQUAZIONI DI 2o GRADO

  • Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

    ax2 + bx + c = 0

    con a, b, c coefficienti numerici e  a ¹ 0.

    SPURIA: ax2 + bx = 0

    x(ax+ b) = 0

    x = 0 x = - b / a

    PURA: ax2 + c = 0


Completa

COMPLETA

ax2 + bx + c = 0

D > 02 soluzioni reali e diverse

  • = 02 soluzioni reali e coincidenti

  • D < 0nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all’insieme dei numeri complessi)


Esempi

ESEMPI

2x2 - 7x + 3 = 0

D = 49 – 24 > 0

x1=1/2 x2=3


Esempi1

ESEMPI

25x2 + 10x +1 = 0

D = 25 – 25 = 0

  • x2 - 3x + 8 = 0

  • D = 9 – 32 < 0

  • non ha soluzioni in R.


Relazione tra i coefficienti e le soluzioni

RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI

ax2 + bx + c = 0


Esercizi3

ESERCIZI

  • Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5:

    assumendo a = 1 si ottiene x2 + 4x - 5 = 0

    x1 = 1 x2 = -5

  • Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s= -3/10 p = -1/10

    x2 + (3/10)x - 1/10 = 0


Fattorizzazione

FATTORIZZAZIONE

ax2 + bx + c = 0

  • D > 0a · (x - x1) · (x - x2)

  • D = 0 a · (x - x1)2

  • D < 0non è possibile in R


Il segno del trinomio

IL SEGNO DEL TRINOMIO


Il segno del trinomio1

IL SEGNO DEL TRINOMIO


Il segno del trinomio2

IL SEGNO DEL TRINOMIO


Il segno del trinomio3

IL SEGNO DEL TRINOMIO


Disequazioni

DISEQUAZIONI

  • Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare:

                            f(x) > g(x)      

    f(x) ³ g(x)

                            f(x) < g(x)      

    f(x) £ g(x)


Soluzioni1

SOLUZIONI

  • Le soluzioni vanno cercate nell’insieme:

    I = D(f) D(g)

  • Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione(ex: x < 1)

  • Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione

    (ex: x2 +1 > 0)

  • Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione(ex: x2 + 2 < 0)


Esempio6

ESEMPIO

-2x > 24

x < -12


Intervalli della retta

INTERVALLIDELLA RETTA

  • Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b:

  • [ a , b ] ={xR: a  x  b}chiuso

  • ] a , b ] ={xR: a < x  b}=( a,b] chiuso a destra

  • [ a , b [ ={xR: a  x < b}=[a,b) chiuso a sinistra

  • ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b ) aperto


Intervalli della retta1

INTERVALLI DELLARETTA

  • ] -  , b ] = {xR: x  b} = ( -  , b ]

  • ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b )

  • [ a , +  [ = {xR: x  a} = [ a , +  )

  • ] a , +  [ = {xR: x > a} = ( a , +  )


Disequazioni di primo grado

DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

a x+b >0 con a e b numeri reali e a  0.

Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!),

Si isola il termine che contiene l’incognita x :

ax>-b

Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a

x>-b/a se a>0

x<-b/a se a<0


Disequazioni di secondo grado

DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO

  • ax2 + bx + c > 0

    a, b, c reali, a  0

    Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado.


Esempio7

ESEMPIO

  • 4x2 + 12x + 9 > 0

    D = 36- 36 = 0

  • S = xR \ {-3/2}


Esempio8

ESEMPIO

3x2 + 5x – 2 < 0

  • = 25 +24 = 49 > 0

x1 = -2x2= 1/3

S = {xR: -2 < x < 1/3}


Esempio9

ESEMPIO

3x2 + 5x – 2 > 0

  • = 25 +24 = 49 > 0

x1 = -2x2= 1/3

S = {xR: x< -2 }  {xR: x> 1/3}


Esempio10

ESEMPIO

3x2 -x + 2 < 0

  • = 1 – 24 < 0

    S={}


Disequazioni fratte

DISEQUAZIONI FRATTE

  • I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0}

  • Studio segno numeratore

  • Studio segno denominatore

  • Uso regola segni

  • Determinazione dell’insieme nel quale la disequazione è verificata


Esempio11

-3

4

-

(x + 3)

+

+

-

-

(x - 4)

+

+

-

+

ESEMPIO

(x - 4)/(x+3)


Continuazione esempio

Continuazione ESEMPIO

S = {xR: x < -3}  {xR: x > 4}

N.B. I = {xR: x  3}


Sistemi di disequazioni

SISTEMI DI DISEQUAZIONI

  • Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni.

  • La soluzione si ottiene trovando l’insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione:

  • S = S1 S2 …  Sn

  • se S = {} allora il sistema è impossibile


Esempio12

-1/2

3

(2x + 1)

(x – 3)

ESEMPIO

  • S = x {xR: (-½) < x  3}


Funzione esponenziale

y

1

x

FUNZIONE ESPONENZIALE

Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R  R+:

f(x)=ax

N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x


Caso a 1 f x e x

y

x

y

e2

e

1

1/e

1/e2

-2

-1

0

1

2

x

CASO a > 1 f(x)=ex

01

-11/e

-21/e2

1e

2e2


Caso a 1 confronto tra basi diverse

CASO a > 1 confronto tra basi diverse

y = 2x

y = ex

y

x

y

y = 2x

01

-11/2

-21/22

12

222

-2

-1

1

2

x


Caso a 1

CASO a > 1

  • Dominio R

  • Codominio R+

  • Passa per (0,1)

  • Monotona crescente

  • Se la base aumenta è più ripida


Caso a 1 f x 1 e x

y

x

y

e2

e

1

1/e

1/e2

x

-2

-1

0

1

2

CASO a < 1 f(x)=(1/e)x

01

-1e

-2e2

11/e

21/e2


Caso a 1 confronto tra basi diverse1

CASO a < 1 confronto tra basi diverse

y = (1/2)x

y

x

y

01

-12

-222

y = (1/2)x

11/2

y = (1/e)x

21/22

-2

-1

1

2

x


Caso a 11

CASO a < 1

  • Dominio R

  • Codominio R+

  • Passa per (0,1)

  • Monotona decrescente

  • Se la base aumenta è meno ripida


Logaritmi

LOGARITMI

Siano a un numero reale positivo, a¹ 1,

e b un numero reale positivo

allora esiste un numero reale c tale che:

ac = b

Tale numero c si dice logaritmo in base a di b

e si indica con il simbolo:

c=logab

NB


Esempi2

ESEMPI

log28 = 3

log22 = 1

log51 = 0

log(1/3)3 = -1

log381 = 4

log1010000 = 4

log2(1/4) = - 2


Esercizi4

Esercizi

Determinare la base:

logx7 = -1

x = 1/7

logx49 = 2

x = 7

logx(1/1000) = -3

x = 10

logx(41/3) = -2/3

x = ½


Basi del logaritmo

BASI DEL LOGARITMO

  • Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Eulero,

    e = 2,7182….)

  • Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log”

  • Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln” (logaritmo neperiano).


Formula per il cambiamento di base

FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE

  • Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d,

 a,dR+ \ {1}cR+


Esempi3

ESEMPI


Proprieta dei logaritmi

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

  • PROPRIETA’ DEL PRODOTTO

  • PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE

  • PROPRIETA’ DELLA POTENZA


Proprieta del prodotto

PROPRIETA’ DEL PRODOTTO:

Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi:

loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2

  • a R+ \ {1}x1, x2R+

    Esempio: loga(3· 4 )= loga 3 + loga 4


Proprieta del quoziente

PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE:

Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore:

loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2

 a R+ \ {1}x1, x2R+

Esempio: loga(8: 3 )= loga 8 - loga 3


Proprieta della potenza

PROPRIETA’ DELLA POTENZA:

Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base:

loga(xa)= aloga x

 a R+ \ {1}xR+ aR

Esempio: loga(23)= 3 loga 2


Esercizio

ESERCIZIO

1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] + 1/9 [Log (a) - Log (a+b)] =

Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] =

Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]}


Funzione logaritmica

FUNZIONE LOGARITMICA

Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+\{1}, la funzione f : R+  R:

f(x)=logax

x > 0

E’ la funzione inversa della funzione esponenziale:

x = ayy = logax

Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x


Caso a 1 y ln x

y

x

y

2

1

1/e

0

x

1

e

e2

-1

Caso a > 1 y=ln(x)

10

1/e-1

e1

e22


Caso a 1 confronto tra basi diverse2

Caso a > 1 confronto tra basi diverse

y = log2x

y = lnx

2

1

1/e

e

e2

-1


Caso a 12

Caso a > 1

  • Dominio R+

  • Codominio R

  • Passa per (1,0)

  • Monotona crescente

  • Se la base aumenta è meno ripida


Caso a 1 y log 1 e x

y

x

y

1

e

0

1/e

1

x

-1

Caso a < 1 y=log(1/e)x

10

1/e1

e-1


Caso a 1 confronto tra basi diverse3

Caso a < 1 confronto tra basi diverse

y = log(1/2)(x)

y

1

e

1/e

x

-1

y = log(1/e)(x)


Caso a 13

Caso a < 1

  • Dominio R+

  • Codominio R

  • Passa per (1,0)

  • Monotona decrescente

  • Se la base aumenta è più ripida


Le percentuali

LE PERCENTUALI

  • Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica l’incidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore.

  • Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti.


Le percentuali1

LE PERCENTUALI

  • I costi totali di un’impresa sono passati da 75.000€ a 100.000€.

  • I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da 250.000€ a 400.000€

  • Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi.

  • Calcolare l’incidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni.


Le percentuali2

LE PERCENTUALI

  • La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale:

    (100.000-75.000)/75.000 =33,33%

  • La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno:

    (400.000-250.000)/250.000 =60%


Le percentuali3

LE PERCENTUALI

  • L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità:

    75.000/250.000 =0,30 =30%

    100.000/400.000=0,25=25%

  • L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni:

  • (75.000+100.000)/(250.000+400.000)=0,269=26,9%

    che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!!


Le percentuali4

LE PERCENTUALI

  • GLI SCONTI SUCCESSIVI

  • Sul prezzo iniziale di un bene vengono applicati due sconti consecutivi:

    e ; ovvero:

    uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%.

  • Si vuole determinare lo sconto complessivo.


Le percentuali5

LE PERCENTUALI

  • Il prezzo dopo il primo sconto è dato da:

  • Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il prezzo finale diventa:

  • Lo sconto complessivo è dunque pari a 28%


Le percentuali6

LE PERCENTUALI

  • Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo:

  • Sconto%


Le percentuali7

LE PERCENTUALI

  • Nel caso degli sconti successivi

    lo sconto complessivo S, espresso come valore percentuale, sul prezzo iniziale può essere ricavato dalla formula seguente:


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