2009

1. Vien. Nr. 2008/0001/1DP/2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002 Funkcijas jēdziens, definīcijas apgabals un vērtību apgabals 2009 ĀVĢ matemātikas skolotāja Aija Plēsuma

2. FUNKCIJA Funkcijas jēdziens

3. Funkcijas jēdziens Parasti kādu procesuraksturovairāki mainīgi lielumi, un starp šiem lielumiem pastāv sakarība – izmainoties vienam no lielumiem pēc noteikta likuma mainās arī otra lieluma vērtība. Ar funkcijas palīdzību tiek veidots procesa matemātiskais modelis. Uzdevums. Nosauciet dažas situācijas, kur pastāv sakarība starp dažādiem elementiem vai to lielumiem!

4. Skaitļu kopa Figūru kopa 3 4 5 Turpmāk izmantoto jēdzienu skaidrojums Kopa- viens no matemātikas pamatjēdzieniem, kuru nevar izteikt ar citiem agrāk definētiem jēdzieniem. Ar vārdu ,,kopa’’ matemātikā apzīmē kaut ko vienotu, kas sastāv no atsevišķiem elementiem. Kopas elementi, piem., punkti, skaitļi, figūras, utt.

5. Valstis Galvaspilsētas Latvija Igaunija Lietuva Vācija Francija Rīga Tallina Viļņa Berlīne Parīze Ar vārdu ,,sakarība’’ saprotam piekārtojuma likumu, kas vienas kopas elementiem piekārto otras kopas elementus. Funkcija– īpašs sakarības veids. Piem., elementus no valstu kopas piekārto elementiem no pilsētu kopas.

6. Funkcijas jēdziens Ja pēc kāda noteikta likuma f katrai mainīgā x vērtībai no kādas konkrētas kopas X tiek piekārtota tieši viena noteikta mainīgā yvērtība no kopas Y, tad šādu atbilstību f starp kopām X un Y sauc par funkciju.

7. X Y a1 a2 a3 a4 ..... an S1 S2 S3 S4 .... Sn Funkciju piemēri 1. Ja kopas X elementi ir kvadrātu malu garumi, bet kopas Y elementi ir kvadrātu laukumi, tad atbilstība, kas katram kvadrāta malas garumam piekārto šī kvadrāta laukumu, ir funkcija, jo katram malas garumam atbilst tieši viena laukuma vērtība.

8. X Y 1 2 3 4 ..... n S1 S2 S3 S4 .... Sn 2. Ja kopas X elementi ir naturālie skaitļi, bet kopas Y elementi ir visas iespējamās iztērētās naudas summas, pērkot burtnīcas par cenu Ls 0,12, tad atbilstība, kas katram naturālam skaitlim piekārto tam atbilstošo iztērētās naudas summu, ir funkcija, jo katram burtnīcu skaitam atbilst tieši viena iztērētās naudas summa.

9. Y Y Y Y 0 X 0 0 0 X X X Uzdevums Kurā zīmējumā attēlotā sakarība ir funkcija? A B C D

10. Arguments, funkcija, funkcijas pieraksts • Mainīgo xsauc par neatkarīgo mainīgo jeb funkcijas argumentu, bet mainīgo y par atkarīgo mainīgo jeb funkcijas vērtību. Dažkārt ar jēdzienu „funkcija” saprot pašu piekārtoto mainīgo lielumu, saka: ”mainīgais lielums y ir argumenta x funkcija”. • Funkcijas pierakstam var izmantot šādus apzīmējumus: y=f(x), y=y(x), y=h(x) u.tml., akcentējot yfunkcionālo atkarību no x, bet ar burtiem f, h u.tml. apzīmē piekārtojuma likumu. Matemātisko modeļu piemēri citās jomās: Fizikā - piem., kustības ātruma atkarība no laika - v(t) vai, piem., veiktā ceļa atkarība no laika s(t). Ekonomikā - ražošanas kopējās izmaksas atkarībā no saražotā preču skaita.

11. Uzdevums • No kā ir atkarīgs aizdedzinātas sveces garums? Atbilde. No degšanas ilguma (laika). • Kas šajā gadījumā ir tas, ko mēs paši varam izvēlēties? Atbilde. Degšanas ilgumu (laiku). Tā kā mēs paši varam izvēlēties degšanas ilgumu (t), tad tas ir neatkarīgais mainīgais, bet sveces garumu (l) nosaka degšanas ilgums, līdz ar to tas ir atkarīgais mainīgais.

12. Funkcijas definīcijas apgabals Kopu X, kas satur visas pieļaujamās funkcijas f argumenta vērtības, sauc par funkcijas f definīcijas apgabalu un apzīmē ar D(f). Piemēri. Atbilstība starp kvadrāta malu un kvadrāta laukumu ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir D(f) = ( 0;+), jo kvadrāta malas garums var būt jebkurš reāls pozitīvs skaitlis. Atbilstība starp nopirkto burtnīcu skaitu un iztērēto naudas summu ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir D(f) = N, , jo nopirkto burtnīcu skaits var būt tikai naturāls skaitlis. Ja funkcija uzdota grafiski, tad tās definīcijas apgabalu var „nolasīt” uz x ass – tās ir visas grafika punktu x koordinātas. (animācija)

13. Funkcijas vērtību kopa Kopu, kuras elementi ir visas funkcijas f vērtības f(x), sauc par funkcijas f vērtību apgabalu un apzīmē ar E(f) Piemēri. Atbilstība starp kvadrāta malu un kvadrāta laukumu ir funkcija, kuras vērtību apgabals ir D(f) = ( 0;+), jo kvadrāta laukums var būt jebkurš reāls pozitīvs skaitlis. Atbilstība starp nopirkto burtnīcu skaitu un iztērēto naudas summu ir funkcija, kuras vērtību apgabals ir kopa D(f) = {0,12n, nN}, jo iztērētās naudas summa var būt tikai cenas (Ls 0,12) daudzkārtnis. Ja funkcija uzdota grafiski, tad tās vērtību apgabalu var „nolasīt” uz y ass – tās ir visas grafika punktu y koordinātas. (animācija)

14. Funkcijas definēšana Funkcija ir uzdota jeb definēta, ja zināms funkcijas definīcijas apgabals, vērtību apgabals un piekārtojuma likums, pēc kura katram definīcijas kopas elementam var atrast atbilstošo vērtības kopas elementu.

15. Analītiski Ar tabulu Grafiski Ķermeņa masa ir vienāda ar tilpuma un blīvuma reizinājumu. Aprakstoši Funkciju uzdošanas veidi

16. Uzdevums 1. Dotajām funkcijām izmanto citu funkcijas uzdošanas veidu!

18. Mājas darbs: Teorija - māc. gr. 28.-30.lpp., pārbaudes darba kļūdu labojums. (Iesniegt pārbaudes darba kļūdu labojumu uz atsevišķas rūtiņu lapas kopā ar pārbaudes darbu, t.i., neveikt labojumus darba lapās.)

19. Izmantotā literatūra: E.Slokenbeka, I.France, I.Frace. Matemātika 10.klasei., Lielvārds, 2009 ISEC. Interaktīvās apmācības disks matemātikā 10.klasei www.google.lv attēlu kolekcija, resurss apskatīts 08.10.2009.