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MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 1 (Section 5)

MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 1 (Section 5). François Meunier DMI. Opérateur d’Union. Pour les ensembles A , B , leur  nion A  B est l’ensemble de tous les éléments qui sont soient dans A , ou (“ ”) dans B (ou dans les deux ensembles).

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MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 1 (Section 5)

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  1. MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 1 (Section 5) François Meunier DMI

  2. Opérateur d’Union • Pour les ensembles A, B, leur nionAB est l’ensemble de tous les éléments qui sont soient dans A, ou (“”) dansB (ou dans les deux ensembles). • Formellement , A,B:AB = {x | xAxB}. • AB est un sur-ensemble de A et B (en fait, le plus petit sur-ensemble):A, B: (AB  A)  (AB  B)

  3. Forme Requise 2 5 3 7 Exemples d’Union • {a,b,c}{2,3} = {a,b,c,2,3} • {2,3,5}{3,5,7} = {2,3,5,3,5,7} ={2,3,5,7} Exemple d’Union: “Les United States of America sont habités par des personnes travaillant dans un ou plusieurs états.”

  4. L’Opérateur d’intersection • Pour A, B, leur intersectionAB est l’ensemble contenant les éléments étant simultanément dans A et (“”) B. • Formellement, A,B:AB={x | xAxB}. • Notez que AB est un sur-ensemble de A et B (le plus large):A, B: (AB  A)  (AB  B)

  5. 3 2 4 6 5 Exemples d’Intersection  • {a,b,c}{2,3} = ___ • {2,4,6}{3,4,5} = ______ {4} “L’intersection des boulevards Des Forges et Des Récolets est juste la surface appartenant aux deux boulevards.”

  6. Ensembles disjoints • Deux ensembles A, B sont dits disjointsSSI si leur intersection est vide. (AB=) • Exemple: l’ensemble des nombres entiers pairs est disjoint avec l’ensemble des nombres entiers impairs.

  7. Principe d’Inclusion-Exclusion • Combien d’éléments sont dans AB?|AB| = |A|  |B|  |AB| • Exemple: Combien d’étudiants ont des cours le jour ou le soir? C  J  S, J = {e | e prend des cours le jour}S = {e | e prend des cours le soir} • Quelques étudiants font les deux !|C| = |JS| = |J|  |S|  |JS|

  8. Différence d’ensembles • Pour les ensembles A, B, la différencede A et B, AB, est l’ensemble des éléments qui sont dans A mais pas dans B. • Formellement:A  B : x  xA  xB  x  xA  xB  • Autre forme: Le complémentdeB par rapport à A.

  9. Exemples de différence (ensemble) • {1,2,3,4,5,6}  {2,3,5,7,9,11} = ___________ • Z  N  {… , −1, 0, 1, 2, … }  {0, 1, … } = {x | x est un entier mais pas un nombre naturel} = {x | x est un entier négatif} • Résultat = {… , −3, −2, −1} {1,4,6}

  10. AB Différence – Diagramme de Venn • A−B ce qui reste après que B soit enlevé. Ensemble A Ensemble B

  11. Compléments d’un ensemble • Le ud (univers du discours) peut être lui-même considéré comme un ensemble, disons U. • Quand le contexte definis clairement U, pour tout ensemble AU, le complément de A, , est donné par UA. • Ex:, Si U=N,

  12. Compléments des ensembles • Définition équivalente, quand U est défini: A U

  13. Identités des ensembles • Identité: A = A = AU • Domination: AU = U, A =  • Idempotence: AA = A = AA • Double complément: • Commutativité: AB = BA, AB = BA • Associativité: A(BC)=(AB)C ,A(BC)=(AB)C • Distributivité: A (BC)=(A B)(A C),A(BC)=(A B) (A C)

  14. Règles de De Morgan (ensembles) • Analogues aux lois de De Morgan pour les propositions.

  15. Preuves des Identités (ensembles) • La preuve des énoncés sur les ensembles de la forme E1 = E2 (où Es des expressions sur les ensembles), peut être faite de 3 façons: 1. Prouver E1E2 etE2E1 séparément. 2. Utiliser la notation de construction des ensembles & les équivalences logiques. 3. Utiliser les tables d’appartenance.

  16. Méthode 1: Sous-ensembles mutuels Exemple: Prouver A(BC)=(AB)(AC). • Partie 1: A(BC)(AB)(AC). • Supposons xA(BC), & Prouver x(AB)(AC). • Sachant que xA, et soit xB ou xC. • Cas 1: xB. Alors xAB, donc x(AB)(AC). • Cas 2: xC. Alors xAC , donc x(AB)(AC). • Par conséquent, x(AB)(AC). • Par conséquent, A(BC)(AB)(AC). • Partie 2: (AB)(AC)  A(BC). …

  17. Méthode 2: Construction des ensembles et équivalences logiques Exemple: Prouver (AB)’= A’B’. • (AB)’={x | x  AB}. • (AB)’={x |  (x  AB)}. • (AB)’={x |  (x  A  x  B)}. • (AB)’={x | (x  A  x  B)}. • (AB)’={x | (x  A’  x  B’)}. • (AB)’={x | (x  A’ B’)}.

  18. Méthode 2: Construction des ensembles et équivalences logiques Exemple: LEMME: Associativité de l’Union (AB )C = A(B C ) Preuve : (AB )C = {x | x  AB  x  C } = {x |(x  A x  B )  x  C } = {x | x  A (x  B  x  C ) } = {x | x  A (x  B  C ) } = A(B C )

  19. Méthode 3: Tables d’appartenance • Comme les tables de vérité de la logique propositionnelle. • Colonnes: différentes expressions. • Rangés pour toutes les combinaisons d’appartenance dans les ensembles. • Utilisé “1” pour indiquer l’appartenance dans l’ensemble dérivé, “0” pour la non-appartenance. • Équivalence quand des colonnes sont identiques.

  20. Exemple de Table d’Appartenance Prouver (AB)B = AB.

  21. Exemple de Table d’Appartenance Prouver (AB)C = (AC)(BC).

  22. Revue (Section 5) • Ensembles S, T, U… Ensembles spéciaux N, Z, R. • Notations des ensembles {a,b,...}, {x|P(x)}… • Relations xS, ST, ST, S=T, ST, ST. • Opérations |S|, P(S), , , , , • Techniques de preuve de l’égalité des ensembles: • Sous-ensembles mutuels. • Tables d’appartenance. • Derivation à partir des équivalences logiques.

  23. Généralisation Unions & Intersections • Sachant que l’union & l’intersection sont commutatives et associatives, nous pouvons donc généraliser leur application sur des séquences d’ensembles (A1,…,An), ou même sur des ensembles non ordonnés d’ensembles, X={A | P(A)}.

  24. Généralisation: Union • Opération d’union binaire: AB • Union n-aire:AA2…An : ((…((A1 A2)…) An)(groupement & ordonnancement sont sans importance) • Notation “Big U”: • Ou pour des ensembles infinis d’ensembles:

  25. Généralisation: Intersection • Opération d’intersection binaire : AB • Intersection n-aire:A1A2…An((…((A1A2)…)An)(groupement & ordonnancement sont sans importance) • Notation “Big Arch”: • Ou pour des ensembles infinis d’ensembles: :

  26. Représentations • Il est possible d’utiliser diverses méthodes pour représenter chaque structure discrète à partir d’autres structures discrètes. • Ex: représentation des N • Ensembles: 0:, 1:{0}, 2:{0,1}, 3:{0,1,2}, … • Chaînes de bits: 0:0, 1:1, 2:10, 3:11, 4:100, …

  27. Représenter des ensembles avec des chaînes de bits • Pour un ud énumérable U ordonné x1, x2, …, représentant un ensemble fini SU comme une chaîne de bits finie B=b1b2…bn où i: xiS  (i<n  bi=1). ex:U=N,S={2,3,5,7,11}, B=001101010001. • Avec cette représentation, les opérateurs“”, “”, “ ‾ ” correspondent à OU, ET, NON bit à bit.

  28. Exemples d’applications des ensembles a = (a1, a2) a  A ensemble de coordonnées 2D b = (b1, b2) b  B ensemble de coordonnées 2D

  29. Exemples d’applications des ensembles (complément, union) A  B = {maxz(a,b) | a  A ^ b  B} Ac = {(x,y, K- z) | (x,y,z)  A } z couleur à la position x,y Z = {z | z  [0..255] }-> K = 255

  30. Exemples d’applications des ensembles (complément, union) Arrière plan: noir (0) Avant plan: blanc (1)

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