Téma 11, plošné konstrukce, desky

1. Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma 11,plošné konstrukce, desky • Plošné konstrukce, desky • Rozdělení desek • Předpoklady a řešení tenkých desek • Metody řešení tenkých desek • Skořepiny Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2. Desky Idealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve vodorovné rovině), může mít otvory Zatížení působí pouze kolmo ke střednicové rovině a může být vyvoláno • idealizovanými bodovými silami (momenty) • idealizovanými liniovými silami (momenty) • idealizovanými plošnými silami • vlastní tíhou • změnou teploty Vazby působí kolmo ke střednicové rovině a mohou být • bodové (proti posunům) • liniové (proti posunům a pootočením) • plošné

3. Desky, příklady

4. Desky, příklady podpor desek

5. Desky, příklady

6. Pravoúhlé desky, volba souřadného systému

7. Desky, rozdělení Desky lze rozdělit dle rozměrů : • membrány h/l < 1/80, • velmi tenké desky h/l = 1/50 až 1/80, • tenké desky h/l = 1/10 až 1/50, • hrubé desky h/l = 1/5 až 1/10, • prostorová tělesa h/l > 1/5. Dle deformace: • s malými deformacemi |wmax|<1/300 a současně |wmax|<h/4 a |jmax|<p/60 • se středními, případně velkými deformacemi |wmax|> 1/300, řešení patří k nelineárním úlohám pružnosti

8. Desky, tenké desky s malými deformacemi, předpoklady řešení Autorství lineární teorie desek se přisuzuje Kirchhoffovi. Je založeno na těchto předpokladech: 1. Deformace střednicové plochy jsou malé. 2. Normálová napětí sz jsou v porovnání s napětím sx a sy malá a zanedbávají se. 3. Body ležící před deformaci na normále ke střednici leží na ní i po deformaci (tzv. špendlíková hypotéza). Nemění se také jejich vzdálenost ez.=0. Důsledkem je, že • přetvoří lze vyjádřit jako funkci ohybové plochy w(x,y), • gxz=gyz=0. 4. Body na střednicové ploše desky mají nulové normálové napětí a přemísťují se pouze ve směru osy z (podmínkou je symetrie tvaru a materiálu desky.

9. Desky, příklady reálného průběhu napětí sz Schéma rozložení napětí při plošném zatížení a), reálný průběh napětí sz na obr. b).

10. Tenké desky,předpoklady o deformaci Střednice desky se pohybuje pouze ve směru osy z. Normála ke střednici n před zatížením zůstává normálou i po zatížení n´. Posunutí bodu K v rovině xy ležícího mimo střednici do bodu K´ lze vyjádřit jako funkci u=f1(w), obdobně v=f2(w).

11. Tenké desky,řešení

12. Tenké desky,řešení, pokračování Z těchto rovnic a z geometrických vztahů lze odvodit:

13. Tenké desky,řešení, pokračování Je zde určitý nesoulad s Kirchhofovou teorií

14. Tenké desky,řešení, pokračování

15. Desky, průběh složek napětí a složek měrných vnitřních sil Kladný smysl vnitřních sil je zřejmý z obr. Na tzv. kladných ploškách jsou orientovány ve směru kladných os x,y (ohybové momenty vyvolávají tah ve spodních vláknech a kladné kroutící momenty mají směr kladných tečných napětí). Na záporně orientovaných ploškách je to opačně.

16. Desky, odvození složek měrných vnitřních sil Měrné vnitřní síly mají význam intenzity vnitřních sil, jsou vztaženy k jednotkové délce příslušného řezu. Označují se malými písmeny.

17. Desky, odvození složek měrných (posouvajících) vnitřních sil

18. Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty

19. Desky, podmínky rovnováhy

20. Desky, podmínky rovnováhy, pokračování

21. Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice

22. Desky, desková rovnice pro pravoúhlé desky Desková rovnice • parciální diferenciální rovnice 4. řádu, • lineární • nehomogenní (má pravou stranu) • eliptického typu • Pro p=0 jde o biharmonickou rovnici. Každá biharmonická funkce odpovídá průhybové ploše desky zatížené jen na okrajích.

23. Okrajové podmínky desky Řešení rovnice desky musí odpovídat daným okrajovým podmínkám (vždy dvě na okraji). Okraj vetknutý: na okraji nulový průhyb i pootočení

24. Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený Na okraji nulový průhyb a nulový moment mx. Deformační vyjádření OP:

25. Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený, pokračování Desková rovnice umožňuje plnit na okraji pouze dvě podmínky. Mělo by zde být ještě třetí podmínka mxy=0. Řeší se tzv. doplněnou posouvající silou.

26. Okrajové podmínky desky, okraj volný Na nezatíženém okraji by měly být splněny tři podmínky, a to: Předepisujeme však jen dvě podmínky:

27. Desky, metody řešení Přímé řešení deskové rovnice v uzavřeném tvaru neexistuje. Aplikují se přibližné metody, ke kterým např. patří: • Navierovo řešení, založené na rozvoji funkce zatížení a průhybu do Fourierových řad • Metoda sítí • Metoda konečných prvků

28. Desky, příklad řešení metodou sítí

29. Desky, příklad řešení metodou sítí

30. Deskový pás Je nejjednodušší případ deskové konstrukce

31. Desky, příklady

32. Desky kruhové

33. Tlusté desky, Mindlinova teorie Body normály ke střednicové rovině zůstávají po deformaci na přímce. Ta již obecně není normálou ke střednicové rovině. Vedle neznáme w, jsou zde ještě neznámé jx a jy, respektive

34. Skořepinové konstrukce Plošné konstrukce se zakřivenou střednicovou plochou

35. Skořepinové konstrukce, příklady

36. Příklad válcové skořepiny