Dinâmica de um Sistema de Muitas Partículas

Dinâmica de um Sistema de Muitas Partículas Centro de Massa e Momentum Linear x m d/dt

rcm z Uma partícula r2 r3 Várias partículas r1 r5 r4 r6 y O r7 r8 x

É por isso que recipientes cheios de gás não saem andando espontaneamente! cm

Campo gravitacional uniforme: Resultante nula:

Momentum Angular do Sistema ri rij rj O Forças centrais

Princípio de Conservação do Momentum Angular

Galáxias Espirais --- disco de estrelas em rotação M74 M81 NGC2841 NGC3115

Energia Cinética do Sistema de Partículas ri ri d/dt rcm O d/dt

Movimento de Dois Corpos que Interagem—Massa Reduzida dois corpos (tomados como partículas) que interagem através de força central m2 r2 cm r1 R m1 massa reduzida

m1, r1 m2 ,r2 v2 F1 F2 v1 R

m1, r1 m2 ,r2 R

Colisões Conservação do momento linear Conservação da energia cinética Q =0 : energia cinética conservada colisão elástica Q : ganho (<0) ou perda (>0) de energia cinética pelas partículas

Massa reduzida Velocidade relativa Colisões frontais de duas partículas totalmente inelástica Coeficiente de restituição: elástica 0 < e< 1 (exceto para colisões explosivas)

m+Dm m m Movimento de um Corpo com Massa Variável — Movimento de um Foguete

r2 r3 r1 r5 rcm r4 r6 r7 r8 Mecânica dos Corpos Rígidos - Movimento no Plano z y O x

Considerações de Simetria z Hemisfério Sólido

Alguns Teoremas sobre o Equilíbrio Estático de um Corpo Rígido equilíbrio completo de um corpo rígido. Equilíbrio em um Campo Gravitacional Uniforme

mi φ Ri Rotação de um Corpo Rígido em Torno de um Eixo Fixo — Momento de Inércia y yi x xi onde

H TORQUE PROVOCADO PELA REAÇÂO (FORÇA) AO AR EJETADO TORQUE SOBRE A HÉLICE TORQUE SOBRE O HELICÓPTERO ATRITO DO TREM DE POUSO COM A PLATAFORMA GERA TORQUE QUE IMPEDE A ROTAÇÂO DO HELICÒPTERO AR EJETADO PELO ROTOR TRASEIRO

Uma partícula: y mi Ri eixo fixo: yi φ x xi

Calculo do Momento de Inércia corpo composto: Exemplo: Barra fina

a r dr eixo eixo Aro ou Casca Cilındrica Disco Circular ou Cilindro

eixo z dz y a Esfera 2

eixo eixo z z Casca Esférica d/da d/da

y z x Teorema dos Eixos Perpendiculares

Disco circular fino no plano xy.

ri Teorema dos Eixos Paralelos y ri rcm x

Disco circular fino no plano xy. z’ y z x CM a

Disco circular fino no plano xy. y’ y z x a CM

Raio de Giração Exemplo: o raio de giração de uma barra fina, relativo a um eixo perpendicular que passa por uma extremidade

l cm O Pêndulo Físico O

l cm O Pêndulo Físico O Usando o teorema dos eixos paralelos, podemos expressar o raio de giração k em termos do raio de giração relativo ao centro de massa km θ

l cm cm l’ Centro de Oscilação O θ O’

cm l’ ponto O’ : centro de oscilação do ponto O ponto O : centro de oscilação do ponto O’

Ex: Barra fina oscilando da extremidade:

Teorema Geral Relativo ao Momentum Angular

Este resultado estabelece que a taxa de variação temporal do momentum angular relativo ao centro de massa de qualquer sistema é igual ao momento total das forças externas relativo ao centro de massa. Isto é verdadeiro mesmo que o centro de massa esteja se acelerando.

Movimento Laminar de um Corpo Rígido O movimento do corpo ocorre de modo que todas as suas partículas se deslocam paralelamente a um determinado plano fixo, então este movimento é denominado laminar. No movimento laminar, o eixo de rotação pode mudar de posição mas não muda de direção.

Movimento laminar CM em translação + rotação em torno do CM Eixo de rotação com direção constante Movimento em um plano Translação: Rotação:

FN x mg senθ y mg cosθ a mg θ Cilindro Rolando em um Plano Inclinado COM ATRITO μmg cosθ cm

Movimento sem deslizamento

Considerações sobre energia Derivando:

FN x mg senθ y mg cosθ a mg θ Ocorrência de Deslizamento Supondo: μmg cosθ cm COM ATRITO

Rolamento sem deslizamento Exs: Esfera rola em plano inclinado com θ=45° se o coeficiente de atrito for, no mínimo: r vcm P

F2 F1 F

Ex: colisão de uma barra metálica sobre gelo com disco de hóquei.

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