Filtrage de kalman
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Filtrage de Kalman. Application au suivi des paramètres de problèmes de vision. 1/90. Cadre de l’étude. Un système physique. Distinction entre paramètres: qui modélisent le système que l’on peut mesurer. Estimer les premiers à partir des seconds. Cadre de l’étude.

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Filtrage de Kalman

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Filtrage de kalman

Filtrage de Kalman

Application au suivi des paramètres de problèmes de vision

1/90


Cadre de l tude

Cadre de l’étude

  • Un système physique.

  • Distinction entre paramètres:

    • qui modélisent le système

    • que l’on peut mesurer.

  • Estimer les premiers à partir des seconds.


Cadre de l tude1

Cadre de l’étude

Les paramètres mesurables observation xi

Les paramètres internes (décrivant le modèle) vecteur d’état si


Prise en compte des incertitudes

Prise en compte des incertitudes

  • Les mesures sont imprécises/incertaines

  • Le modèle est simpliste

  • On veut savoir la fiabilité d’une estimation si de l’état courant si.

    ce que le filtre de Kalman permet.


Formalisation mesure et vecteur d tat

Formalisation: mesure et vecteur d’état

  • On a accès a:

  • bruit blanc additif et:

  • Evolution du modèle:

  • Modèle « lâche »:


Formalisation mesure et vecteur d tat1

Formalisation: mesure et vecteur d’état

  • Filtrage de Kalman: processus itératif d’estimation du vecteur

  • Estimation à l’instant i:

  • traduit la confiance que l’on a en l’estimation

  • Si on connaît , la meilleure estimation possible de est:


Formalisation les quations de mesures

Formalisation: les équations de mesures

  • Liens entre les observations et le vecteur d’état:

  • Cas linéaire:


Formalisation les quations de mesures1

Formalisation: les équations de mesures

  • Dans le cas non-linéaire, on s’y ramène: développement de Taylor à l’ordre 1 de

  • on a bien:


L algorithme

L’algorithme

  • 3 étapes, propagation des incertitudes.

  • Initialisation:

  • Prédiction:

  • Calcul du gain de Kalman:

  • Mise à jour:

  • Un pas du filtre.


Algorithme interpr tation

Algorithme: interprétation

  • Compromis entre la contribution de la prédiction et de la mesure:

  • On peut réécrire:

  • Grande incertitude sur le vecteur d’état « grande » « grand » innovation favorisée.

  • Grande incertitude sur la mesure « grande » « petit » prédiction privilégiée.


Algorithme am liorations possibles

Algorithme: améliorations possibles

  • Filtres de Kalman itérés

    • Globalement

    • Localement

  • Objectif: limiter l’influence des linéarisations


Utilisation pour l estimation robuste

Utilisation pour l’estimation robuste

  • Réjection des mesures aberrantes:

    v.a. gaussienne de moyenne nul, de covariance

  • Distance de Mahalanobis associée:

  • Seuil de réjection tel que:


Applications

Applications

  • Suivi de la trajectoire d’une particule dans le plan

  • Estimation des paramètres d’une ellipse à partir d’un nuage de points

  • Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle.


Suivi de la trajectoire d une particule dans le plan

Suivi de la trajectoire d’une particule dans le plan

  • Le système: mouvement à accélération constante

  • Equation de mesures:

  • Incertitude: Meyer a montré que


Suivi de la trajectoire d une particule dans le plan1

Suivi de la trajectoire d’une particule dans le plan

  • Résultats:

  • influence des incertitudes

  • influence des incertitudes

  • Réjection des valeurs aberrantes


Estimation des param tres d une ellipse partir d un nuage de points

Estimation des paramètres d’une ellipse à partir d’un nuage de points

  • Vecteur d’état:

  • Mesures:

    (points du nuage)

  • Equations de mesures:


Estimation des param tres d une ellipse partir d un nuage de points1

Estimation des paramètres d’une ellipse à partir d’un nuage de points

  • résultats

  • comparaison filtre classique / itéré localement 1

  • comparaison filtre classique / itéré localement 2

  • Mais des fois…


Suivi des param tres externes d une cam ra en trou d pingle

Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle.

  • Rappel - modèle de caméra:

  • Calibrage…


Suivi des param tres externes d une cam ra en trou d pingle1

Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle.

  • Une caméra en mouvement autour d’un cube.

    exemple

  • 2 possibilités:

    • suivi sur les points 2D, puis estimation de P (svd) grâce aux 8 correspondances 2D 3D

      • Résultats 1 | 2

  • Suivi sur les paramètres (R,t):

    • rotation 3 angles

    • translation 3 composantes

      • Résultats 1 | 2


  • Suivi des param tres externes d une cam ra en trou d pingle2

    Suivi des paramètres externes d’une caméra en trou d’épingle.

    • La suite …


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