Zadania, w których występują dwie zmienne decyzyjne można rozwiązać za pomocą metody graficznej.

1. Metoda graficznaopracowanie na podstawie „Metody wspomagające podejmowanie decyzji w zarządzaniu” D. Witkowska, Menadżer Łódź 2000. Zadania, w których występują dwie zmienne decyzyjne można rozwiązać za pomocą metody graficznej.

2. Przykład • Szef działu reklamy firmy "Press" otrzymał zlecenie na przeprowadzenie kampanii reklamowej wyrobu "Twigo". Kampania ta ma być zrealizowana poprzez dwie grupy środków masowego przekazu: radio i telewizję. Oszacowane ceny emisji reklamy wynoszą odpowiednio: w przypadku emisji radiowej 3 euro i telewizyjnej 6 euro. Koszty ponoszone przez firmę "Press" na emisji reklamy radiowej wynoszą 2 euro, a na telewizyjnej 1 euro, a przyjmowane jest zlecenie jeżeli jej koszty nie przekraczają 6 euro. Zleceniodawca żąda, aby wyemitowano co najmniej dwie reklamy, w tym co najmniej jedną reklamę telewizyjną. • Natomiast telewizja przyjmuje zlecenie emisji, jeśli reklama będzie emitowana co najwyżej cztery razy. • Określ optymalną liczbę emisji reklamy w przekazie radiowym i telewizyjnym.

3. Model matematyczny III • Zmienne decyzyjne :x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu:f(x)=3x1 + 6x2 min (koszty zleceniodawcy w tys. zł) • warunki ograniczające:2 x1 + x2  6 warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x1 + x2  2 warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x2  1 dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x2  4 górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV,warunki brzegowe: x1  0, x2  0, x1C, x2 C.

4. x2 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych C D E 2 x1 + x2  6 x1 + x2  2 A B x2  1 x1 x2  4

5. x2 C D E A B x1 f(x)=3x1 + 6x2 min c=[3 6]

6. Rozwiązanie optymalnejednoznaczne

7. Interpretacja rozwiązania Zmienne decyzyjne :x1 = 1- emitujemy jedną reklamę radiową; x2 =1- emitujemy jedną reklamę telewizyjną.funkcja celu:f(x)=9  minimalne koszty wynoszą 9 tys. złwarunki ograniczające:- firma "Press” nie ponosi maksymalnie możliwych kosztów ( 3<6 ),- emitujemy dokładnie tyle reklam ile wynosi zakładane minimum (emitujemy minimalnie dwie reklamy), - emitujemy dokładnie tyle reklam telewizyjnych ile wynosidolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, - emitujemy o trzy reklamy telewizyjne mniej niż wynosi górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV.

8. Model matematyczny IV Zmienne decyzyjne :x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu:f(x)=5x1 + 5x2 min warunki ograniczające:2 x1 + x2  6 x1 + x2  2 x2  1 x2  4warunki brzegowe:x1  0, x2  0, x1C, x2 C.

9. x2 C D E A B x1

10. Rozwiązanie optymalneniejednoznaczne

11. Rozwiązanie optymalneniejednoznaczne

12. Problem 2 • Ile węgla brunatnego w tonach i ropy naftowej w hl można wydobywać wiedząc, że potrzebne maszyny mogą pracować co najwyżej 8 godz. I na każda ton węgla potrzeba 2 godz. pracy maszyn, a na hl ropy tylko 1 godz., a zatrudnionych musi być przynajmniej 10 pracowników i na każdą jednostkę wyrobu potrzeba jednego pracownika. Zysk na wydobyciu 1 tony węgla wynosi 3 tys. zł, a 1hl ropy 6 tys. zł

13. Model matematyczny I • Zmienne decyzyjne :x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu:f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł) • warunki ograniczające:2 x1 + x2  8 warunek na czas pracy maszyn w godz. x1 + x2  10 warunek na liczbę zatrudnianych osób,warunki brzegowe:x1  0, x2  0.

14. Nie ma zbioru rozwiązań dopuszczalnych x2 2 x1 + x2  8 x1 + x2  10 x1

15. Nie ma rozwiązania optymalnego • Nie istnieje zbiór rozwiązań dopuszczalnych. • Układ warunków ograniczających i brzegowych jest sprzeczny

16. Problem 2 • Ile węgla brunatnego w tonach i ropy naftowej w hl można wydobywać wiedząc, że potrzebne maszyny mogą pracować co najmniej 8 godz. I na każda ton węgla potrzeba 2 godz. pracy maszyn, a na hl ropy tylko 1 godz., a zatrudnionych musi być przynajmniej 10 pracowników i na każdą jednostkę wyrobu potrzeba jednego pracownika. Zysk na wydobyciu 1 tony węgla wynosi 3 tys. zł, a 1hl ropy 6 tys. zł

17. Model matematyczny II • Zmienne decyzyjne :x1 - ilość wydobywanego węgla w tonach; x2 - ilość wydobywanej ropy w hl.funkcja celu:f(x)=3x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł) • warunki ograniczające:2 x1 + x2  8 warunek na czas pracy maszyn w godz. x1 + x2  10 warunek na liczbę zatrudnianych osób,warunki brzegowe:x1  0, x2  0.

18. zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest nieograniczony x2 2 x1 + x2  8 x1 + x2  10 x1

19. Rozwiązanie nieograniczone • Funkcja celu dąży do max i zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest nieograniczony.

20. Zmiana parametrów funkcji celu Zmienne decyzyjne :x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu:f(x)=cx1 + 6x2 min warunki ograniczające:2 x1 + x2  6 x1 + x2  2 x2  1 x2  4warunki brzegowe:x1  0, x2  0, x1C, x2 C.

21. x2 C D E A B x1

22. Zmiana ograniczeń Zmienne decyzyjne :x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu:f(x)=3x1 + 6x2 min warunki ograniczające:2 x1 + x2 b x1 + x2  2 x2  1 x2  4warunki brzegowe:x1  0, x2  0, x1C, x2 C.

23. x2 x1

24. Model matematyczny V • Zmienne decyzyjne :x1 - liczba emisji reklamy radiowej; x2 - liczba emisji reklamy telewizyjnej.funkcja celu:f(x)=30x1 + 6x2 max(zysk w tys. zł) • warunki ograniczające:2 x1 + x2  6warunek na koszty ponoszone przez firmę "Press", x1 + x2  2warunek zleceniodawcy na emisję reklam, x2  1dolne ograniczenie uwzględniające żądanie zleceniodawcy, x2  4górne ograniczenie dotyczące warunków nałożonych przez TV,warunki brzegowe:x1  0, x2  0, x1C, x2 C.

25. x2 C D E A B x1

26. x2 x1

27. Rozwiązanie optymalnejednoznaczne

28. Zadnie pierwotne Zadnie dualne • Min f. celu • Wartości ograniczeń • zmienne >= dla max lub <= dla min • zmienne <= dla max lub >= dla min • Zmienne ze zbioru R • transponowana macierz parametrów • Max f. celu • Współczynniki f. celu • Warunki „<=„ • Warunki „>=„ • Warunki „=„ • Macierz parametrów

29. Interpretacja cen dualnych (yi) • Jeżeli w i-tym ograniczeniu ZP wyraz wolny wzrośnie o jednostkę to optymalna wartości funkcji celu pierwotnego zadania wzrośnie o yi jednostek. • Cena dualna to graniczna wartość powyżej której dokonywanie dodatkowego zakupu tego środka nie jest już opłacalne.