KONGRUENCJE I ICH ZASTOSOWANIA

2. KONGRUENCJEI ICH ZASTOSOWANIA

3. INFORMACJE PODSTAWOWE

4. ZADANIA TEMATU PROJEKTOWEGO

5. ZADANIE GŁÓWNE ZADANIA CZĄSTKOWE PLANOWANE REZULTATY

6. CELE PROJEKTU

8. ZAKRES I PODZIAŁ ZADAŃ

11. PRACA NAD PROJEKTEM

12. Ostatni semestr naszej ciężkiej pracy. Wybieramy kolejny temat naszej prezentacji i jak zwykle: tyle ile osób, tyle pomysłów. Stawiamy znowu na matematykę. Po długiej dyskusji wybór padł na temat o kongruencjach i ich zastosowaniach.  O przystawaniu słyszeliśmy tylko na informatyce, ale pani R. mówi, że to nie jest trudne, więc jej zaufaliśmy. Przejrzeliśmy konspekt i podzieliliśmy się zadaniami. 6.12.2011. Dzisiaj powtórka tego, co robiliśmy wcześniej, ale przyda nam się przy realizacji nowego tematu. Przypomnieliśmy sobie własności podzielności liczb całkowitych, NWD, NWW i algorytm Euklidesa.  Rozwiązywaliśmy zadania. Nie sprawiają nam specjalnej trudności, wystarczyło małe przypomnienie. 13.12.2011r.

13. To do dzieła. Zaczynamy mówić o kongruencjach. Dzisiaj wstęp przygotowała pani R. Kiedyś uczyła tego studentów, a dzisiaj próbowała nam przybliżyć co to takiego modulo. Poznaliśmy definicję kongruencji i jej własności (niektóre nawet z dowodami!). Na koniec rozwiązywaliśmy proste zadania. 20.12.2011. Teraz my :) Dzisiaj pierwsza prezentacja tego, co sami przygotowaliśmy. Magda i Adam pokazali nam jak za pomocą kongruencji znaleźć dni tygodnia określonych dat z przeszłości. Po ich prezentacji każdy zaraz sprawdzał w jakim dniu tygodnia się urodził. 3.01.2012r.

14. Kolejne nasze wystąpienie. Miłosz i Martyna pokazali jak rozwiązać równania diofantyczne korzystając z kongruencji. Już wcześniej rozwiązywaliśmy równania diofantyczne (przygotowywaliśmy prezentację z Drezdenkiem na ten temat), ale wtedy stosowaliśmy algorytm Euklidesa, a teraz kongruencje. Nowa metoda okazała się krótszą metodą. 10.01.2012r. Kongruencje mają wiele zastosowań. Kolejne przedstawili nam Jakub i Maciej. Nauczyli nas za pomocą kongruencji wyznaczać  cechy podzielności przez liczby naturalne. Niektóre znaliśmy wcześniej (podzielność przez 3 lub 4), a niektóre wyprowadziliśmy sobie dzisiaj. Niestety niektóre cechy wcale nie ułatwiają sprawdzania podzielności, bo same wyglądają nieciekawie. 17.01.2012r.

15. Ostatni nasz "wykład". Przygotowali go Tomasz i Alicja. Opowiedzieli nam jak znajdować resztę z dzielenia przez liczby całkowite. Stosowaliśmy twierdzenie Eulera. Na koniec rozwiązywaliśmy zadania. 24.01.2012r. Materiał już przerobiony. Teraz trzeba to tylko zebrać w formie prezentacji. Przypomnieliśmy sobie jak powinna wyglądać dobra prezentacja. Później dyskusja co zrobić, żeby nasza prezentacja była atrakcyjna. Za ostateczne przygotowanie odpowiedzialna będzie Marta, nasza specjalistka od prezentacji. Każdy pomoże i swój materiał opracuje w formie slajdów, a ci co nie mieli prezentacji znajdą ciekawe zadania. Do dzieła :) 31.01.2012r.

16. Mamy wstępną prezentację. Niektórzy przyłożyli się do swojej pracy, a niektórzy niestety będą musieli jeszcze poprawić swoje slajdy. Marta spróbuje nadać później temu jednolity wygląd. Po obejrzeniu efektów naszej pracy przystąpiliśmy ochoczo do wyprowadzenia cech podzielności. Niektóre były nam już wcześniej znane, a o niektórych dowiedzieliśmy się teraz. Niestety użycie tych cech podzielności w praktyce nie zawsze jest łatwe. 7.02.2012r. W ferie ukazał się ranking prezentacji. Po raz kolejny zostaliśmy docenieni. Nasza prezentacja zajęła V miejsce. Dobrze, że zajęcia dzisiaj mamy przy komputerach. Na początek obejrzeliśmy zwycięskie prezentacje. Później  szukaliśmy ciekawych zadań dotyczących kongruencji. Chcemy, aby nasza prezentacja była ciekawa i zawierała nie tylko suche fakty.  28.02.2012r.

17. WPROWADZENIE - RYS HISTORYCZNY

18. Zainteresowanie ludzi liczbami naturalnymi jest tak stare jak cywilizacja. Niezwykłe własności liczb intrygowały starożytnych Greków, Hindusów i Chińczyków. Grecy znali metodę wyznaczania największego wspólnego dzielnika (algorytm Euklidesa), Chińczycy (w związku z obliczeniami kalendarzowymi) metodę szukania liczby naturalnej dającej przy dzieleniu przez zadane liczby zadane reszty. Euklides znał prawo jednoznaczności rozkładu liczb na czynniki pierwsze. W jego „Elementach” znajdujemy definicję liczby pierwszej i przykład rozumowania matematycznego – dowód nie wprost, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

19. Matematyka starożytna ma jeszcze jedno sławne osiągnięcie w dziedzinie liczb pierwszych. Jest nim sito Eratostenesa, które podaje sposób wyszukiwania liczb pierwszych aż do danej liczby . Intensywny rozwój teorii liczb w czasach nowożytnych zapoczątkował matematyk francuski Pierre de Fermat (1601 – 1665). Małe twierdzenie Fermata mówi, że liczba p dzielidla każdego całkowitego , inne, że liczby pierwsze postaci są przedstawialne jako suma dwóch kwadratów liczb naturalnych.

20. Obie własności udowodnił później Euler (1707 – 1783). Fermat badał liczby postaci i wyraził przypuszczenie, że wszystkie są pierwsze. Euler wykazał, że już piąta liczba Fermata jest złożona – jest podzielna przez 641. Liczby pierwsze Fermata mają interesujący związek z klasycznym problemem konstrukcji n – kątów foremnych za pomocą cyrkla i linijki. W roku 1796 18 – letni C. F. Gauss udowodnił, że taka konstrukcja jest możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy nieparzyste dzielniki pierwsze są liczbami Fermata.

21. Współczesny Fermatowi Marin Mersenne rozpatrywał liczby postaci Jeśli liczba Mersenne’a jest pierwsza, to jest również liczbą pierwszą, lecz nie na odwrót. Na przykład dla , liczby są pierwsze, a dla są złożone. Liczby pierwsze Mersenne’a wiążą się z klasycznym problemem liczbdoskonałych. Liczba naturalna nazywa się doskonałą, jeśli jest równa sumie wszystkich dzielników różnych od siebie.

22. Euler wykazał, że wszystkie liczby doskonałe parzyste są postaci , gdzie = jest liczbą pierwszą Mersenne’a. Do dziś nie wiadomo, czy liczb pierwszych Fermata i liczb pierwszych Mersenn’a jest nieskończenie wiele. Twórczość naukowa niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa (1777 – 1855) wyznaczyła nowe kierunki badań w teorii liczb. W wieku 19 lat Gauss opracował teorię kongruencji. Znakomici matematycy XIX i XX w. rozwijali różne działy teorii liczb. Powstaje również wiele prac z zakresu liczb pierwszych (Dirichlet, Czebyszew, Riemann).

23. PODZIELNOŚCI LICZB CAŁKOWITYCH - WŁASNOŚCI

24. PODZIELNOŚĆ Mówimy, że liczba całkowita jest podzielna przez liczbę całkowitą , przy czym , jeżeli istnieje liczba całkowita taka, że . Piszemy wówczas i czytamy: dzieli . Liczbę nazywamy dzielnikiem liczby , natomiast liczbę wielokrotnością liczby .

25. WŁASNOŚCI PODZIELNOŚCI Wprost z określenia wynikają następujące własności podzielności: TWIERDZENIE 1

26. WŁASNOŚCI PODZIELNOŚCI DOWÓD Z założenia mamy . , gdzie, więc . Stąd Z założenia mamy , gdzie, wówczas Stąd

27. WŁASNOŚCI PODZIELNOŚCI Z założenia mamy , ponadto , więc na mocy b) otrzymujemy Zauważmy, że z wynika całkowitość liczby a zatem wobec , otrzymujemy , więc Z założenia i tw. d) mamy i więc Stąd lub

28. WŁASNOŚCI PODZIELNOŚCI TWIERDZENIE 2 DOWÓD

29. NWD I NWW

30. NWD NWD – największy wspólny dzielnik liczb . PRZYKŁADY: • NWD (20, 30) = 10 – liczba 10 jest największą liczbą, która dzieli jednocześnie 20 i 30. • NWD (45, 60) = 15 – liczba 15 jest największą liczbą, która dzieli jednocześnie 45 i 60.

31. NWD Największy wspólny dzielnik znajduję następująco: Rozkładam liczby na czynniki pierwsze. Zakreślam wspólne dzielniki. Mnożę zakreślone dzielniki. NWD(525, 2310) = 3 · 5 · 7 = 105

32. NWW NWW – najmniejsza wspólna wielokrotność liczb . PRZYKŁADY: • NWW(20, 30) = 60 – liczba 60 jest najmniejszą liczbą, która dzieli się przez 20 i 30. • NWW(45, 60) = 180 – liczba 180 jest najmniejszą liczbą, która dzieli się przez 45 i 60.

33. NWW Najmniejszą wspólną wielokrotność znajduję następująco: Rozkładam liczby na czynniki pierwsze. Zakreślam wspólne dzielniki. Mnożę pierwszą liczbę przez niezakreślone dzielniki drugiej liczby. NWW(525, 2310) = 525 · 2 · 11 = 11550

34. ALGORYTM EUKLIDESA

35. EUKLIDES Z ALEKSANDRII(ok. 365 - ok. 300 p.n.e.) Grecki matematyk i fizyk, autor dzieła Elementy geometrii (obowiązujący przez stulecia podręcznik). Usystematyzował całość ówczesnej wiedzy matematycznej.W swych pracach z optyki sformułował prawo załamania i zasadę prostoliniowego rozchodzenia się światła. Jest również autorem dzieła z astronomii i teorii muzyki.

36. EUDOKSOS Z KNIDOS(ok. 408 - ok. 355 p.n.e.) Matematyk i astronom grecki, uczeń  Platona. Pierwszy podjął próbę fizycznego wyjaśnienia obserwowanego biegu planet. Zajmował się proporcją, złotym podziałem i metodą wyczerpywania, co zakończyło zapoczątkowany paradoksem Zenona pierwszy kryzys w podstawach matematyki. Udowodnił wzór na objętość stożka. Stworzył podstawy rachunku nieskończonościowego.

37. ALGORYTM EUKLIDESA Algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika (NWD) dwóch liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki pierwsze. Algorytm wymyślił Eudoksos z Knidos (IV wiek p.n.e.), a Euklides jedynie zawarł go w swoim dziele Elementy. W algorytmie wykorzystywana jest zależność:

38. ALGORYTM EUKLIDESA • Istnieją dwie równoważne implementacje algorytmu Euklidesa. • Obliczanie NWD liczb a i b wykorzystując operację reszty z dzielenia (modulo): • oblicz c jako resztę z dzielenia a przez b • zastąp pozycję a liczbą b, a pozycję b liczbą c • jeżeli pozycja b = 0, to szukane NWD = a, w przeciwnym wypadku przejdź do 1.

39. Można również zrealizować ten algorytm wykorzystując wyłącznie operacje odejmowania:

40. PRZYSTAWANIE LICZB CAŁKOWITYCH

41. CARL FRIEDRICH GAUSS(ur. 30 IV 1777, Brunszwik,zm. 23 II 1855, Getynga) Niemiecki matematyk, fizyk, astronom i geodeta. Profesor uniwersytetu i dyrektor obserwatorium astronomicznego w Getyndze. Rozwinął m.in. teorię liczb, geometrię nieeuklidesową, teorię funkcji zespolonych. Zajmował się też elektrycznością, magnetyzmem, teorią potencjału.

42. DEFINICJA Mówimy, że przystaje do modulo , jeśli dzieli Uwaga Dwie liczby całkowite przystają do siebie modulo wtedy i tylko wtedy, gdy dają tą samą resztę z dzielenia przez .

43. WŁASNOŚCI KONGRUENCJI

44. WŁASNOŚCI KONGRUENCJI C.D. Zauważmy, że wtedy i tylko wtedy, gdy

45. WŁASNOŚCI KONGRUENCJI C.D.

46. UKŁAD RESZT MODULO Pełnym układem reszt modulo nazywamy pełny układ reprezentantów klas relacji przystawania modulo . Zredukowanym układem reszt modulo nazywamy układ reprezentantów tych klas relacji przystawania modulo , które składają się z liczb względnie pierwszych z . Liczbę reszt modulo względnie pierwszych z oznaczamy przez i nazywamy funkcją Eulera. Zauważmy, że jeśli jest liczbą pierwszą, to

47. STWIERDZENIE

48. FUNKCJA EULERA Funkcja Eulera Własności:

49. FUNKCJA EULERA Przykład: TWIERDZENIE (EULER)

50. ZADANIE 1 .