UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia GRADUAÇÃO BAYESIANA DE TAXAS DE MORTALIDADE E PROJEÇÃO DAS TAXAS DE MORTALIDADE DOS PARTICIPANTES DA FUNDAÇÃO COPEL Aluno: Guerino Pirollo Junior Orientadora: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Junior

2. Objetivo Geral • Obter com base nos dados da população exposta ao risco de morte da Fundação Copel, probabilidades de morte que melhor reflitam a mortalidade do grupo, auxiliando na adoção de Hipóteses de Mortalidade a serem usadas.

3. Objetivos Específicos • Graduar as taxas de mortalidade da população exposta ao risco através de um modelo Bayesiano não paramétrico, comparando-as com tábuas de mortalidade usuais. • Projetar as taxas de mortalidade futuras do grupo, utilizando o método de Lee-Carter e modelos Spline penalizados (P-spline).

4. Conceitos Iniciais • Estatística Bayesiana: trata-se de estimação de parâmetros desconhecidos, agregando aos dados conhecimentos iniciais (distribuição a priori) sobre os parâmetros. • MCMC: simulação estocástica de Monte Carlo via Cadeias de Markov. • JAGS: Just Another Gibbs Sampler • Bootstrap: geração de amostras aleatórias com reposição a partir de uma amostra inicial • Força de Mortalidade: µx,t = P(x<X<x+∆x | X>x) = [F(x+∆x)-F(x)]/1-F(x)

5. Tábua de Mortalidade • É o instrumento destinado a medir as probabilidades de vida e de morte (George King). • Deve refletir a mortalidade da população exposta ao risco (aderência); • É utilizada nos cálculos atuariais - calculo de provisões, contribuições e prêmios; • Pode ser estática ou “geracional”, incorporando as melhorias na mortalidade (Retangularização e Expansão de s(x)).

6. Retangularização e Expansão

7. Graduação Taxas de Mortalidade • É o processo de suavização das taxas brutas de mortalidade (rx=dx/lx); • Normalmente feito através de modelos (paramétricos) – ajuste de rx ou µx a um modelo matemático: deMoivre, Gompertz, Makeham e Weibull. • Torna as probabilidades de mortes (qx) monotonicamente crescentes em relação às idades.

8. Graduação Taxas de Mortalidade

9. Graduação Bayesiana • Atribui-se distribuição de probabilidade (priori) aos parâmetros desconhecidos µx,t; • Taxas brutas graduadas em função de µx,t ; • Considera-se μx,t constante nos intervalos de idades, onde: qx = 1-exp(-µx,t) ou µx,t=-ln(1-qx) (Bowers,1997); • Assume-se que os indivíduos com mesma idade morrem independentemente e com mesma probabilidade; • O modelo Bayesiano adotado é não paramétrico.

10. Graduação Bayesiana • Verossimilhança Poisson: (dx,t|µx,t) ~Poisson (lx,t.µx,t), com lx,t conhecido • Distribuição a priori do Parâmetro μx,t: (µx,t|α,β) ~Gama(α,β) I(µx-1,t;µx,t)(µx,t), com α=β=0,001 e idades x=xl,...,xu • Distribuição a posteriori: (µx,t|dx,t,α,β) α Gama(µx,t|α*,β*) I(µx-1,t;µx,t)(µx,t) OBS:IR(µ) é a função indicadora, assumindo o valor 1 se µR e zero caso contrário.

11. Graduação Bayesiana • Dificuldade: restrição imposta pelo sub conjunto R ao vetor de parâmetros µ: µ R = {µ:0<µ1<µ2<...<µk<B} • Especificação da priori viável computacionalmente (MCMC) – evita integração numérica complexa na estimação dos parâmetros µi. • Alteração em R e suposição para os µi: 1. µ R = {µ:0<µ1<µ2<...<µk<1}; 2. µ1,µ2,...,µk i.i.d. Gama (α,β), com α conhecido e constante e β um hiperparâmetro ~ Gama (a,b).

12. Implementação Modelo - JAGS • Dados: população de assistidos (aposentados) • Restrições: 1. Idade inicial x=48 anos, com intervalos de idade x+i-1 para i=1,...,37 2. Utilizou-se a quantidade de expostos ao risco (lx) em cada idade x, no inicio do ano;

13. Implementação Modelo - JAGS • Obtenção das estimativas µi(r) e qx(r), a partir de distribuição preditiva do número de mortes (di(r)|µi)~Poisson(li.µi), i=1,...,37 e x=48, onde:

14. Implementação Modelo - JAGS • Valores iniciais: 1. Valores iniciais (µ1(0),µ2(0),...,µ37(0)) dos par. µi’s restrito a R, calculados a partir das tábuas AT2000, AT83 e AT49, com µi=-ln(1-qx+i-1), i=1,...,37 2. 120.000 simulações (60.000 – burn in) 3. Intervalo entre observações (6 em 6) 4. 3 cadeias paralelas (para os µi’s das 3 tábuas) 5. Estimadores pontuais das probabilidades:

15. Diagnóstico - CODA

16. Resultados e Comparação

17. Projeção Taxas de Mortalidade • Modelo de Lee-Carter: log μx,t = a(x)+b(x)k(t)+ε(x,t) a(x):descreve a forma geral do perfil de mortalidade por idade; b(x):descreve o padrão de desvios do perfil da idade conforme o parâmetro k(t) varia; k(t):descreve a mudança na mortalidade como um todo; ε(x,t):termo de erro aleatório

18. Modelos P-spline • Spline: mecanismo usado para traçar curvas, é uma função polinomial que aproxima pontos em um determinado espaço. • Ajusta os pontos de forma “local”. • Podem ser ajustadas usando-se qualquer modelo de regressão (linear, sobrevivência, logístico etc). • Nos modelos P-spline combina-se suavidade e bondade de ajuste através de penalidades: • Grande - preferência por suavidade nos coef. βi; • Pequena – preferência por bondade de ajuste.

19. Modelos P-spline • Modelo proposto - variável preditora é Ex,te a Variável resposta é Dx,t, com Dx,t~Poisson(Ex,t.Dx,t). • Para descrever a relação entre μx e as variáveis x e t,uma possibilidade é escolher um número de funções polinomiais base b1(x,t),b2(x,t),...,bn(x,t), representando μx como uma combinação linear: μx ≈ β1b1(x,t)+β2b2(x,t)+...+βnbn(x,t)

20. BIBLIOGRAFIA • [1] BOWERS, N.L. el al. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, 1997. • [2] EHLERS, R.S. Métodos Computacionalmente Intensivos em Estatísitca. Notas de Aula, Universidade Federal do Paraná, 2004. • [3] LEE, R.D.; CARTER, L. Modeling and Forecasting the Time Series of US Mortality. Journal of the American Statistical Association, v87, 419: 659-671, 1992.

21. BIBLIOGRAFIA • [4] NEVES, C.R. Graduação Bayesiana de Taxas de Mortalidade. Funenseg, Caderno de Seguros – Teses, v.10, 28, 2005. • [5] SANTOS, R.R Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Dissertação de Mestrado, 2007. • [6] SPIEGELHALTER, D.J. et al. Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman & Hall, London, 1997.

22. AGRADECIMENTOS • Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Junior; • Coordenador(a) do curso: Dra Liliana Madalena Gramani Cumin; • A todos os professores do PPGMNE