Função Afim

1. Função Afim O propósito desta sessão é estudar a função afim por meio de atividades interdisciplinares e contextualizadas. • Pretende-se: • analisar a dependência existente entre a temperatura e a altitude na troposfera; • revisar os conceitos básicos sobre funções; • verificar as transformações gráficas do tipo translação (vertical e horizontal).

2. Temperatura nas camadas atmosféricas Tempo previsto: 3h

3. A atmosfera é uma camada que envolve alguns planetas, composta basicamente por gases e poeira, retidos pela ação da força da gravidade. A atmosfera terrestre está dividida em quatro camadas: - troposfera; - estratosfera; - mesosfera ; - termosfera.

4. Dessas camadas, duas são relativamente quentesestratosfera e termosferae duas são relativamente friastroposferae mesosfera. Sua composição é de aproximadamente 78% de Nitrogêno (N2), 21% de Oxigênio (O2) e 1% de outros gases (argônio, dióxido de carbono, hélio, ozônio, hidrogênio, e indícios de criptônio, metano, xenônio e radônio).

5. A troposfera é a camada na qual ocorrem os fenômenos climáticos como nuvens, ventos, chuvas, granizos, furacões, variando de 0 a 17km de altura espessura média de 11km em relação à superfície terrestre. De todo o ar da atmosfera, 90% encontra-se na troposfera. Nela, a temperatura diminui com a altitude de tal forma que, para cada quilômetro acima da superfície terrestre, a temperatura diminui aproximadamente 6,5° C.

6. A estratosfera vai de 17 a 50km, aproximadamente. É uma região calma, na qual viajam os aviões comerciais para fugir das instabilidades da troposfera. Na sua parte superior situa-se a maior parte do ozônio da atmosfera. Nesta camada, a temperatura aumenta com a altitude.

7. De 50 a 85km de altitude, encontra-se a mesosfera. Nela, a temperatura diminui com a altitude, chegando até a -90°C. A densidade das moléculas é tão pequena e se movem em trajetórias tão aleatórias que raramente se chocam. A última camada, conhecida por termosfera, vai de 85 a 640km de altura em relação à superfície terrestre. Nesta camada, a temperatura aumenta com a altitude.

8. A altura de 1000 quilômetros em relação ao solo é usada freqüentemente como o limiteentre atmosfera e espaço.

9. Considerando as informações entre temperatura e altura na troposfera e sabendo que a temperatura média da atmosfera na superfície terrestre é de 12°C, responda as questões a seguir:

10. 500 Km Termosfera 100 Km Mesosfera 60Km Estratosfera 12 Km Troposfera • Analisando o gráfico dado e as grandezas temperatura e altitude, existe uma dependência de uma das grandezas em relação a outra. Neste caso, a altitude depende da temperatura, ou a temperatura depende da altitude?

11. 2) A relação existente entre temperatura T(°C) e altitude x(km) na atmosfera caracteriza uma função? Justifique: 3) Construa uma tabela (conforme o modelo) que indique a temperatura T(x) para as altitudes x=0, 1, 2, 3 e 10km. A partir dela, encontre uma lei que caracteriza T(x). 4) Qual o significado real do coeficiente de x? E do coeficiente linear?

12. 5) Com base nos conhecimentos já adquiridos sobre funções, que formato de gráfico esta lei representa? • 6) Usando o Winplot e a lei encontrada no item 3, construa o gráfico de T(x). Em seguida, compare-o com sua resposta anterior. • 6.1) A resposta no item 5 estava correta? • 6.2) Pode a altitude assumir valores negativos? • 6.3) Para que altitude na troposfera a temperatura é de 0°C?

13. 6.4) Mostre ou explique como seria o cálculo algébrico para o item 6.3. • 6.5) Usando o Winplot, descubra a altitude na troposfera para que a temperatura seja -2°C. Explique seu processo.

14. 7) Suponha que num determinado ponto da Terra, a temperatura na superfície seja de 20°C e num outro ponto, -10°C. Após construir, no mesmo plano cartesiano, os gráficos da temperatura na troposfera em função da altitude, responda: • 7.1) Qual a posição relativa dessas duas retas? • 7.2) Que parâmetro manteve-se constante? • 7.3) Compare o coeficiente linear de cada função e a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y. Qual sua conclusão?

15. 8) Construa o gráfico de y=ax+b. Ao animar o parâmetro a, faça-o assumir valores negativos e positivos. 8.1) Defina o valor usual de b como 12. Se aumentar o coeficiente angular, o que acontece com o ângulo (sentido anti-horário) entre a reta e o eixo x? 8.2) Defina o valor usual de bcomo -12. Sua resposta para item 8.1 continua válida?

16. 9) Usando animações nos parâmetros, construa o gráfico da função f(x)=2x+b. Faça variar o coeficiente b, atribuindo valores positivos, negativos e nulos. Suas conclusões nos itens 7.1 e 7.3 continuam válidas? 10) O que se pode afirmar a respeito do gráfico de f(x)=2x+b, quando b>0, b<0 e b=0? 11) Usando animações nos parâmetros, construa o gráfico da função f(x)=ax+2. O que acontece com o gráfico quando o coeficiente avaria?

17. 12) O que se pode afirmar a respeito do gráfico de f(x)=ax+2, quando a>0, a<0 e a=0?

18. 13) Observe os gráficos construídos, com o software Winplot. Em seguida, responda ao que se pede:

19. 13.1) f(x)=x , g(x)=x+1 , h(x)=x+3 • 13.1.1) Observe as ordenadas dos pontos de interseção das retas com o eixo y. Em relação à função f, quantas unidades subiram os gráficos de g e h, respectivamente?

20. 13.1.2) Note que g(x)=f(x)+1 e h(x)=f(x)+3. Dado um valor k>0, o que acontece com o gráfico de f(x)+k? • 13.1.3) Se h(x)=x+3, então, os gráficos de h(x)+2 e h(x)+7 vão intersectar o eixo y em quais ordenadas, respectivamente?

21. 13.2) f(x)=x , m(x)=x-2 , n(x)=x-5 • 13.2.1) Observe as ordenadas dos pontos de interseção das retas com o eixo y. Em relação à função f, quantas unidades desceram os gráficos de m e n, respectivamente?

22. 13.2) f(x)=x , m(x)=x-2 , n(x)=x-5 • 13.2.1) Observe as ordenadas dos pontos de interseção das retas com o eixo y. Em relação à função f, quantas unidades desceram os gráficos de m e n, respectivamente? • 13.2.2) Note que m(x)=f(x)-2 e n(x)=f(x)-5. Dado um valor k>0, o que acontece com o gráfico de f(x)-k? • 13.2.3) Se p(x)=x+2, então, os gráficos de p(x)-3 e p(x)-10 vão intersectar o eixo y em quais ordenadas, respectivamente?

23. 13.3) f(x) = x , g(x) = x+1 , h(x)=x+3 • 13.3.1) Observe as abscissas dos pontos de interseção das retas com o eixo x. Em relação à função f, quantas unidades deslocou-se para esquerda os gráficos de g e h, respectivamente? • 13.3.2) Note que g(x)=f(x+1) e h(x)=f(x+3). Dado um valor k>0, o que acontece com o gráfico de f(x+k)? • 13.3.3) Se f(x)=x+2 tem zero x=-2, então, os gráficos de f(x+3) e f(x+10) intersectarão o eixo x em quais abscissas, respectivamente?

24. 13.4) f(x)=x , m(x)=x-2 , n(x)=x-5 • 13.4.1) Observe as abscissas dos pontos de interseção das retas com o eixo x. Em relação à função f, quantas unidades deslocou-se para a direita os gráficos de m e nrespectivamente? • 13.4.2) Note que m(x)=f(x-2) e n(x)=f(x-5).Dado um valor k>0, o que acontece com o gráfico de f(x-k)? • 13.4.3) Se f(x)=x+4 tem zerox=-4, então, os gráficos de f(x-3) e f(x-9) intersectarão o eixo x em quais abscissas, respectivamente?

25. 13.5) f(x)=3x , g(x)= -3x • 13.5.1) Os gráficos de f e g são simétricos em relação ao eixo y? • 13.5.2) Os gráficos de fe g são simétricos em relação ao eixo x?

26. 14) Construa os gráficos das funções g(x) = ax h(x)= -(1/a)x, para a ≠0, no mesmo plano cartesiano e os eixos na mesma escala (vá no menu <ver>, escolha novamente opção <ver>, selecione <cantos> e defina para esquerda, direita, inferior e superior os valores -3, 3, -3 e 3, respectivamente). Observe que o coeficiente angular deh é o inverso do coeficiente angular de g e com o sinal oposto. Usando animação nos parâmetros, faça a assumir os valores 1, 4, 100, -2 e -6. Quanto mede o ângulo formado por essas duas retas?

27. 15) Construa os gráficos de f(x)=ax+b para diferentes valores de a, permanecendo b fixo. Há mudanças no domínio e no conjunto imagem destas funções? 16) Construa os gráficos de f(x)=ax+b para diferentes valores de b, permanecendo a fixo e a≠0. Há mudanças no domínio e no conjunto imagem destas funções? 17) No item 16, para que valor x0, f(x0) é nulo? 17.1) No caso de apenas o coeficiente b variar, o zero da função permanece o mesmo?