Introducción: ALGORITMOS

1. Introducción: ALGORITMOS • Estudia: Diseño de algoritmos: esquemas para resolver problemas. Divide y vencerás, avance rápido, programación dinámica, Backtracking, Branch & Bound, y otros. Análisis de algoritmos: recursos necesarios para resolver el problema con el algoritmo elegido. Ocupación de memoria, tiempo de ejecución. De manera que se pueda decidir qué algoritmo es mejor para nuestro problema y entrada.

2. Introducción: ALGORITMO • Conjunto de reglas para resolver un problema. Debe ser: Definible. En seudocódigo, pero pueda dar lugar a un programa. De un conjunto de datos de entrada producir unos datos de salida, en un número finito de pasos (tiempo de ejecución finito). Además debemos diseñar algoritmos eficientes: que el tiempo para acabar sea “razonable”. Determinista si para la misma entrada produce siempre la misma salida. No determinista en caso contrario (redondeos, probabilistas, paralelos, …)

3. Introducción: PROGRAMACIÓN Estructura de datos programación modelización Tipo abstracto de datos Modelo matemático Estructura de datos Problema real Algoritmo en lenguaje natural Programa en seudolenguaje Programa ejecutable algorítmica

4. Estudio de algoritmos • Se trata de diseñar algoritmos eficientes: que usan pocos recursos: -memoria -tiempo -otros (memoria secundaria, tiempo de programación, …) • Para decidir: -qué algoritmo programar -qué algoritmo utilizar en resolver un problema para una cierta entrada -detectar fallo en programa que no funciona bien

5. Tiempo de ejecución • Se intenta obtener el tiempo de ejecución para un cierto tamaño de entrada, t(n) • Influyen factores externos al algoritmo: compilador, máquina, programador, …; por lo que normalmente se estudia la forma en que crece t(n), y se utilizan notaciones asintóticas: , O, , o • Se cuenta el número de operaciones, o las de un cierto tipo, o cada operación afectada de un coste diferente • Se estudian: Caso más favorable tm(n) Caso más desfavorable tM(n) Tiempo promedio tp(n)

6. Ej: Cálculo del factorial • fact(n): • si n=1 • devolver 1 • en otro caso • devolver (fact(n-1)*n) • tiempo: • t(n)=t(n-1)+a=t(n-2)+2*a= ... =t(1)+(n-1)*c • memoria: • m(n)=m(n-1)+c=m(n-2)+2*c= ... =m(1)+(n-1)*c

7. Ej: Torres de Hanoi Hanoi(origen,destino,pivote,discos): si discos=1 moveruno(origen,destino) en otro caso Hanoi(origen,pivote,destino,discos-1) moveruno(origen,destino) Hanoi(pivote,destino,origen,discos-1)

8. Ej: Torres de Hanoi Número de movimientos: t(1)=1 t(n)=2t(n-1)+1, si n>1 Expandiendo la recurrencia: t(n) = 2 t(n-1) +1 = 2 (2t(n-2)+1) +1 = 22 t(n-2) +1+2 = 22 (2t(n-3)+1) +1+2 = 23 t(n-3)+1+2+22 …. 2n-1 t(1)+1+2+…+ 2n-2 = 2n-1

9. Tiempo promedio • tp(n) = S(n)t() * p() • Conteo de instrucciones afectadas por probabilidad: • Ej: búsqueda secuencial con centinela • i=0 • a[n+1]=x • repetir • i=i+1 • hasta a[i]=x • tp(n)=2+2*p/n+4*p/n+...+2*n*p/n+(2*n+2)*(1-p)= • 2n+4-p(n+1)

10. Ej: Algoritmo de Euclides Calcular m.c.d(m,n), con m>n repetir r = resto(m/n) m = n n = r hasta r =0 mcd = m t(m,n) = a , si m múltiplo de n t(m,n) = b+t(n,resto(m/n)) , si m no es múltiplo de n

11. Algoritmos - Estructuras Grafo Matriz de adyacencia Listas de adyacencia 1 2 3 4 • 2 1 0 1 1 0 1 2 3 N 2 0 0 1 0 2 3 N 4 3 3 0 0 0 0 3 N 4 1 0 1 0 4 1 3 N Memoria n2 n+a Inicialización n2 n+a Grado salida n gs(nodo) Grado entrada n n+a

12. Comparación de algoritmos 1.1 fin=false 1.2 mientras no fin 1.3 fin=true 1.4 para i=1,2,…n-1 1.5 si xi>xi+1 1.6 cambiar 1.7 fin=false 2.1 para i=1,2,…,n-1 2.2 para j=i+1,…,n 2.3 si xi>xj 2.4 cambiar

13. Entrada 1,2,3,4: 1.1 , 1.2, 1.3 , 1.4 (i=1) , 1.5 1.4 (i=2) , 1.5 1.4 (i=3) , 1.5 1.4 (sale) 1.2 (sale) Total 11 instrucciones Entrada 1,2,…,n: 1.1 , 1.2, 1.3 , 1.4 (i=1) , 1.5 1.4 (i=2) , 1.5 … 1.4 (i=n-1) , 1.5 1.4 (sale) 1.2 (sale) Total 2n+3 instrucciones 1.1 fin=false1.2 mientras no fin1.3 fin=true1.4 para i=1,2,…n-11.5 si xi>xi+11.6 cambiar1.7 fin=falseCaso más favorable:

14. Entrada 1,2,3,4: 2.1 (i=1), 2.2 (j=2), 2.3 2.2 (j=3), 2.3 2.2 (j=4), 2.3 2.2 (sale) 2.1 (i=2), 2.2 (j=3), 2.3 2.2 (j=4), 2.3 2.2 (sale) 2.1 (i=3), 2.2 (j=4), 2.3 2.2 (sale) 2.1 (sale) Total 19 instrucciones Entrada 1,2,…,n: 2.1 (i=1), 2.2 (j=2), 2.3 … 2.2 (j=n), 2.3 2.2 (sale) 2.1 (i=2), 2.2 (j=3), 2.3 … 2.2 (j=n), 2.3 2.2 (sale) … 2.1 (i=n-1), 2.2 (j=n), 2.3 2.2 (sale) 2.1 (sale) Total n2+n-1 instrucciones 2.1 para i=1,2,…,n-12.2 para j=i+1,…,n2.3 si xi>xj2.4 cambiarCaso más favorable:

15. Entrada 4,3,2,1: 1.1 , 1.2 , 1.3 , 1.4 (i=1) , 1.5 , 1.6 (3421) , 1.7 1.4 (i=2) , 1.5 , 1.6 (3241) , 1.7 1.4 (i=3) , 1.5 , 1.6 (3214) , 1.7 1.4 (sale) 1.2 , 1.3 , 1.4 (i=1) , 1.5 , 1.6 (2314) , 1.7 1.4 (i=2) , 1.5 , 1.6 (2134) , 1.7 1.4 (i=3) , 1.5 1.4 (sale) … ¿instrucciones? 1.1 fin=false1.2 mientras no fin1.3 fin=true1.4 para i=1,2,…n-11.5 si xi>xi+11.6 cambiar1.7 fin=falseCaso más desfavorable:

16. Entrada 4,3,2,1: 2.1 (i=1), 2.2 (j=2), 2.3 , 2.4 (3421) 2.2 (j=3), 2.3 , 2.4 (2431) 2.2 (j=4), 2.3 , 2.4 (1432) 2.2 (sale) 2.1 (i=2), 2.2 (j=3), 2.3 , 2.4 (1342) 2.2 (j=4), 2.3 , 2.4 (1243) 2.2 (sale) 2.1 (i=3), 2.2 (j=4), 2.3 , 2.4 (1234) 2.2 (sale) 2.1 (sale) ¿instrucciones? 2.1 para i=1,2,…,n-12.2 para j=i+1,…,n2.3 si xi>xj2.4 cambiar Caso más desfavorable: