Buon Compleanno Eulero!

1. Buon Compleanno Eulero! • Nonostante i tuoi 3 x 102 anni sei sempre il più interessante. Auguri! "Gioiamathesis 2007"

2. Leonhard Euler « Eulero calcolava senza sforzo apparente, così come gli uomini respirano o le aquile si sostengono nel vento » A 300 anni dalla nascita, il mondo intero lo ricorda !

3. Le opere • Leonhard Euler conosciuto in Italia come Eulero, nasce a Basilea il 15 Aprile del 1707 ; si interessa di Matematica e di Fisica e per questo è considerato il più importante Matematico dell'Illuminismo. Allievo di Johann Bernoulli, è noto per essere” tra i matematici più prolifici di tutti i tempi” e per aver regalato alla storia della Matematica pagine di notevole interesse scientifico in diverse aree del sapere: analisi infinitesimale, funzioni speciali, meccanica razionale, meccanica celeste, teoria dei numeri, teoria dei grafi.

4. Eulero ha dato il suo nome a una quantità “impressionante” di formule, teoremi, metodi, criteri, relazioni, equazioni. • In geometria: il cerchio, la retta e i punti di Eulero relativi ai triangoli, più la relazionedi Eulero, che riguardava il cerchio circoscritto a un triangolo.

5. Teoria dei numeri e meccanica • Nella teoria dei numeri: il criterio di Eulero, l' indicatore di Eulero, l' identità di Eulero, la congettura di Eulero; nella meccanica: gli angoli di Eulero, il carico critico di Eulero (per instabilità) Angoli di Eulero

6. Analisi,teoria dei grafi,algebra,calcolo differenziale • Nell'analisi: la costante di Eulero-Mascheroni; in logica: il diagramma di Eulero-Venn; nella teoria dei grafi: (di nuovo) la relazione di Eulero; nell'algebra: il metodo di Eulero (relativo alla soluzione delle equazioni di quarto grado); nel calcolo differenziale: il metodo di Eulero (riguardante le equazioni differenziali).

7. Eulero e la Fisica • Anche se il nome di Eulero è legato prevalentemente alla Matematica ,come scienziato fornì importanti contributi anche alla Fisica e in particolare alla meccanica classica e celeste. Per esempio sviluppò l'equazione di fascio di Eulero-Bernoulli e le equazioni di Eulero-Lagrange. Inoltre determinò le orbite di molte comete.

8. Identità di Eulero • “La prima volta che ci si imbatte nella formula di Eulero non si può fare a meno di rimanere scioccati, oltre che un po' increduli, di fronte al mistero che la sua semplicità racchiude in così pochi simboli. Numeri che provengono da contesti della matematica completamente diversi incrociano i loro destini in una uguaglianza che più semplice non si poteva:” eiπ + 1 = 0

9. La Formula di Eulero per i Poliedri • La caratteristica di Euleroχ fu definita inizialmente per i poliedri, con la formula • χ = V − S + F, dove V,S e F sono rispettivamente il numero di vertici, spigoli e facce del poliedro. La formula di Eulero asserisce che • χ = V − S + F = 2 per tutti i poliedri "senza buchi", ovvero semplicemente connessi. I poliedri convessi rientrano in questa categoria.

10. Esempi di poliedri convessi • La formula di Eulero può essere usata per dimostrare che ci sono solo 5 solidi platonici: Tetraedro Cubo Ottaedro Dodecaedro Icosaedro

11. Leonardo Eulero e i ponti di Königsberg A Königsberg in Prussia c’è un'isola A, chiamata der Kneiphof, e il fiume che la circonda si divide in due rami, come si può vedere in figura;i rami di questo fiume sono muniti di sette ponti a, b, c, d, e, f, g. Circa questi ponti veniva posta questa domanda, si chiedeva se fosse possibile costruire un percorso in modo da transitare attraverso ciascun ponte una e una sola volta. E mi fu detto che alcuni negavano ed altri dubitavano che ciò si potesse fare, ma nessuno lo dava per certo. Da ciò io ho tratto questo problema generale: qualunque sia la configurazione e la distribuzione in rami del fiume e qualunque sia il numero dei ponti, si può scoprire se è possibile passare per ogni ponte una ed una sola volta?

12. La funzione di Eulero La funzione di Eulero associa a un numero intero n il numero dei numeri interi primi con n e minori di n (compreso l'uno); è una funzione basilare della teoria dei numeri ed interviene in molti teoremi come quello di Fermat-Eulero. Per esempio per n = 6 la funzione di Eulero vale 2 perché gli interi primi con 6 e minori di 6 sono solo 1 e 5; per n = 7 la funzione vale 6 perché essendo 7 primo tutti i numeri che lo precedono sono primi con 7. La funzione di Eulero di un numero n si indica di solito con Φ(n). Si dimostra che Φ(n) = n(1 - 1/n1)(1 - 1/n2)...(1 - 1/nm) dove n1, n2 ... nm sono i fattori primi distinti di n. Se n è primo allora ovviamente Φ(n) = n - 1 Se n è il prodotto di due numeri primi p e q, è facile verificare che Φ(n) = (p - 1)(q - 1). Infatti Φ(n) = pq(1 - 1/p)(1 - 1/q) e svolgendo i prodotti p(1 - 1/p) e q(1 - 1/q) si ottiene la formula data.

13. Metodo di Eulero • Se abbiamo l’equazione ax + by = c ha sempre una e una sola soluzione x1 e y1 con 0 ≤ x1 ≤∣b∣ e una con x2 e y2 con 0 ≤ y2 ≤∣a∣ Le due soluzioni possono coincidere. • ponendo x = 0,1,…,∣b - 1∣ Questo metodo è conveniente per coefficienti piccoli Interpretazione grafica del metodo di Eulero

14. I quadrati greco – latini di Eulero Anche Eulero come molti altri matematici suoi colleghi, si è occupato dello studio dei quadrati magici battezzandone una “nuova specie” con il nome di quadrati greco-latini. Oggi, dopo due secoli tornano di moda ,con il nome di “Sudoku”: un gioco che mette alla prova le qualità di ragionamento e di intuizione caratteristiche del vero matematico. In figura, a sinistra il quadrato latino, al centro il quadrato con le lettere greche e a destra il quadrato greco/ latino, ottenutosemplicemente dalla sovrapposizione dei due precedenti.

15. Eulero e i “Colleghi” • Eulero tenne contatti con numerosi matematici del suo tempo; in particolare intrattenne una lunga corrispondenza con Christian Goldbach confrontando con lui alcuni dei propri risultati.La cosa fu scambievole infatti anche Goldbach interpellò Eulero a proposito della sua famosa e ancor oggi irrisolta “congettura. Lettera di Goldbach ad Eulero, 1742

16. Il Teorema di Fermat-Eulero • Enunciato Dati due qualsiasi numeri m ed N primi tra di loro allora è: mΦ(N) = 1 (mod N) o anche mΦ(N) - 1 = 0 (mod N) Se poi N è primo allora Φ(N) = N - 1

17. I Francobolli Commemorativi

18. Le Banconote Questa banconota da 10 franchi in uso dal 1976 al 1995, rende omaggio al grande Eulero.

19. Le Lettere di Eulero (1787) “Per esprimere sensibilmente la natura di queste quattro spezie di proposizioni, possiam rappresentarle per mezzo di figure, le quali son di un gran soccorso per ispiegare con somma distinzione qual sia l’esattezza di un raziocinio. E poiché una nozione generale contiene un’infinità di oggetti individuali, si può supporre a guisa di uno spazio, in cui questi oggetti son racchiusi: per esempio si forma uno spazio per la nozione di uomo (Tav. 1. fig. 1.) in cui si suppone che tutti gli uomini sien radunati.” A Tav. 1. fig. 1.

20. E ancora…. Per la nozione di mortale se ne forma un altro (Tav. 1. fig. 2.) dove si suppone che sia compreso quanto vi è di mortale. B Tav. 1. fig. 2. E quando io pronunzio che tutti gli uomini son mortali, intendo che la prima figura sia contenuta nella seconda. B Tav. 1. fig. 3 A Dunque la rappresentazione di una proposizione universale affermativa sarà quella della Tav. 1. fig. 3., in cui lo spazio A che dinota il soggetto della proposizione vien tutto intero racchiuso nello spazio B che è il predicato” (lettera CII, 14 febbraio 1761, II, pp. 111-112).

21. “ Questi cerchj o sien questi spazj (imperciocché è indifferente qualunque figura lor si dia) son molto a portata per facilitare le nostre riflessioni sopra questa materia, e per metterci in chiaro quanti misteri la logica si vanta di avere, i quali somma pena han costata per poterli dimostrare, mentre coll’ajuto di tai segni in un istante tutto salta agli occhi... Quanto sin qui si è detto può essere sufficiente a far capire a Vostra Altezza , che tutte le proposizioni possono essere rappresentate con figure; ma il massimo vantaggio si manifesta ne’ raziocinj, i quali qualora si esprimon con parole chiamansi sillogismi, in cui si tratta di tirare una conclusione esatta da alcune date proposizioni. Con tale invenzione noi potremo subito scandagliare le giuste forme di tutti i sillogismi. Cominciamo da una proposizione affermativa universale ogni A è B... Se la nozione C è contenuta interamente nella nozione A, sarà contenuta anche interamente nello spazio B (Tav. 1. fig. 8.), donde risulta questa forma di sillogismo Ogni A è BMa Ogni C è ADunque Ogni C è B e quest’ultima è la conclusione B A Tav. 1. fig. 8. C

22. Per esempio. Disegni la nozione A tutti gli alberi, la nozione B tutto ciò che ha radici, e la nozione C tutti i ciriegi, in tale caso il nostro sillogismo sarà il seguente Ogni arbore ha radici Ma Ogni ciriegio è un arbore Dunque Ogni ciriegio ha radici” (lettera CIII, 17 febbraio 1761, II, pp. 113 e 115-116

23. Bibliografia • Wikipedia, l'enciclopedia libera. • E. Castelnuovo,La matematica, Ed. La Nuova Italia • Courant,Robins,Che cos’è la matematica,Ed. • Boringhieri • Lucio Lombardo Radice,Istituzioni di Algebra • Astratta, Ed Feltrinelli M.C.S.