5. Energia . Práca.

1. 5. Energia. Práca. Energia je skalárna veličina, t.j. číslo, ktorá charakterizuje stav systému jedného alebo viacerých objektov. Ak nejaká sila zmení stav aspoň jedného z objektov systému, toto číslo – energia – sa tiež zmení. Existuje veľa foriem enrgie, napr. mechanická enenergia, ktorá zahŕňa dva druhy e- nergie – kinetickú a potenciálnu, ďalej tepelná, elektrická, magnetická, atď. V tejto kapitole sa budeme bližšie venovať mechanickej, t.j. kinetickej a potenciálnej energii. Kinetická energia Tento druhe energie charakterizuje pohybový stav telesa. Pre bežné rýchlosti, t.j. rýchlosti oveľa menšie ako je rýchlosť svetla, je kinetická energia definovaná takto (1) kde m je kľudová hmotnosť telesa. Jednotka (rozmer) kinetickej energie, ako aj všet- kých ostatných typov energie je joule, skratka J, a platí na základe (1), že 1 J=1 kgm2s-2.

2. Práca Keď teleso zrýchľuje pôsobením sily, jeho kinetická energia narastá, keď sila spôso- buje spomaľovanie telesa, jeho kinetická energia klesá. Hovoríme, že sila prenáša e- nergiu na teleso alebo od telesa. Práca je potom prenos energie na teleso alebo od tele- sa prostredníctvom sily pôsobiacej na toto teleso. Hovoríme, že na telese sa koná prá- ca prostredníctvom tejto sily. Energia prenášaná na teleso je kladná práca, energia prenášaná od telesa je záporná práca. Práca a kinetická energia Nech sa pozdĺž priamky, ktorú sto- tožníme s osou x, pohybuje kváder o hmotnosti m v dôsledku pôsobe- nia konštantnej sily , ktorej vektor zviera uhol s kladným smerom osi x. Ďalej predpokladajme, že medzi kvádrom a podložkou nie je nijaké trenie. Vyberme z pohybu kvádra časový úsek, na začiatku ktorého mal kváder po- čiatočnú rýchlosť a na konci rýchlosť , pričom prešiel dráhu o veľkosti d, ktorú reprezentujeme vektorom posunutia rovnobežným s osou x a orientova- ným v jej kladnom smere. Predpokladáme teda, že zložka sily kolmá na podlož- ku nie je dostatočne veľká na to, aby prekonala tiaž kvádra a udeľovala mu zrýchle-

3. nie vo vertikálnom smere. Z druhého Newtonovho pohybového zákona tak dostávame pre x-ovú zložku sily vyjadrenie (2) kde je zrýchlenie kvádra na jeho priamočiarej dráhe. Keďže vektor sily je podľa predpokladu konštantný, musí byť konštantná každá jeho zložka, a teda aj zlož- ka , čo znamená na základe (2), že aj zrýchlenie je konštantné. Potom na základe známych rovníc pre priamočiary pohyb s konštantným zrýchlením môžeme napísať pre pohyb kvádra v nami vybranom časom úseku (3) Keď vyjadríme z prvej rovnice v (3) čas t a toto vyjadrenie dosadíme do druhej rovni- ce v (3), t.j. keď z rovníc (3) vylúčime čas, dostaneme rovnicu Skombinovaním poslednej rovnice s rovnicou (2) dostaneme vzťah (4)

4. Skalárny súčin na pravej strane (4) predstavuje prácu, ktorú vykonala konštantná sila počas jeho posunutia d. Ako vidíme, táto práca sa rovná rozdielu kinetic- kých energií kvádra na konci a na začiatku posunutia. Sila teda vykonala na kvádri prácu a táto práca je rovná zmene jeho kinetickej energie. Inými slovami: Ak práca vykonaná na telese je kladná, kinetická energia telesa stúpne o hodnotu rovnú vykonanej práci. Ak je práca vykonaná na telese záporná, kinetická energia telesa klesne o hodnotu rovnú tejto práci.Vzťah (4) sa nazýva teorém o práci a kinetickej energii. Teraz môžeme teda napísať vzťah pre prácu konanú konštatnou silou pozdĺž pria- močiarej dráhy reprezentovanej vektorom (5) Rovnica (5) hovorí, že práca vykonaná konštantnou silou pri posunutí telesa po pria- močiarej dráhe je daná súčinom veľkosti posunutia a zložky sily v smere posunutia (dráhy). Ak je teda sila kolmá na dráhu opisovanú telesom, práca vykonaná touto silou je nulová. Z (5) ďalej vyplýva, že sila koná kladnú prácu, ak má vektoro- vú zložku toho istého smeru a orientácie, ako posunutie ( ) a koná zápornú prácu, ak má vektorovú zložku rovnobežnú s posunutím, ale opačnej orientácie ( ). Podotknime, že tu sme uvažovali ako menší z uhlov zviera- ných vektormi sily a posunutia.

5. Napokon dodajme, že ak na teleso pôsobí viacero síl, je výsledná práca rovná súčtu prác konaných jednotlivými silami, alebo práci výslednej sily, ktorá je vektorovým pôsobiacich síl. Práca konaná gravitačnou silou Vyhoďme zvisle nahor baseballovú loptu počiatoč- nou rýchlosťou a predpokladajme, že nepôsobí odpor prostredia. Nech dráha, ktorú lopta prejde od bodu hodu do vrcholu pohybu, kde sa zastaví, je reprezentovaná vektorom orientovaným zvisle nahor s dĺžkou rovnou dĺžke dráhy pri stúpaní, resp. klesaní. Ak považujeme v malých výškach nad po- vrchom Zeme gravitačnú silu, ktorou Zem pôsobí na ostatné telesá a ktorá je teda orientovaná zvisle nadol, za konštantnú, je na základe (5) práca vyko- naná gravitačnou silou pri stúpaní lopty rovná kde je veľkosť gravitačnej sily a m je hmotnosť lopty. Podľa teorému o práci a kinetickej energii reprezentovanom rovnicou (4) bude teda kinetická energia

6. lopty na konci stúpania menšia o hodnotu mgd. Ako uvidíme už čoskoro, toto vyjad- renie predstavuje potenciálnu energiu lopty v homogénnom gravitačnom poli Zeme, na ktorú sa premenila celá kinetická energia , ktorú mala lopta v momente hodu. A toto všetko sa udialo prostredníctvom práce konanej na baseballovej lopte gravitačnou silou Zeme. Pri klesaní nadol sú vektor posunutia a gravitačná sila rovnako orientované, a te- da podľa (5) práca vykonaná silou na lopte pri jej voľnom páde z výšky d nad zemským povrchom je Táto práca je kladná, t.j. pri voľnom páde lopty sa zväčší jej kinetická energia o hod- notu mgd. Prostredníctvom práce konanej gravitačnou silou sa teda celá potenciálna energia lopty, ktorú mala vo vrchole pohybu, premenila späť na kinetickú energiu o rovnakej veľkosti, ako mala lopta v momente hodu, t.j. . Ako uvidíme nes- kôr, ide tu o príklad zákona zachovania mechanickej energie a potenciálna energia, o ktorej sme v tomto príklade hovorili, je gravitačná potenciálna energia.

7. Práca konaná silou pružiny Na obrázkoch je kváder spojený s pružinou, ktorá je pevne uchytená napr. v nejakej ste- ne. Kváder sa môže pohybovať v horizon- tálnej rovine a nech je tento pohyb prebie- ha pozdĺž priamky, ktorú stotožníme s osou x.V relaxovanom stave nepôsobia na kvá- der a pružinu žiadne sily. Polohu ťažiska kvádra v tomto stave stotožnime s počiat- kom osi x. Keď teraz kváder chytíme a po- súvame pozdĺž osi x doprava, pružina sa bude naťahovať, pričom bude na kváder pô- sobiť silou orientovanou doľava. Sila pružiny má teda v tomto prípade opačný smer ako vektor posunutia , ktorý udá- va polohu kvádra vzhľadom na relaxovanú polohu, t.j. počiatok 0 osi x. Tento vektor má teda počiatok v nule na osi x a koniec v ťažisku kvádra. Naopak, ak kváder bude- me posúvať pozdĺž osi x z relaxovanej polohy doľava, pružina bude stláčaná, a preto bude pôsobiť na kváder silou orientovanou doprava, t.j. opäť smerom opačným ako je smer vektora posunutia . Pre mnoho pružín potom v dobrej aproximácii platí, že

8. sila je priamo úmerná jej posunutiu, ktoré v tomto prípade reprezentujeme vekto- rom . Môžeme teda napísať (6) kde znamienko “-” vyjadruje, že má vždy opačnú orientáciu ako . Rovnicu (6) nazývame Hookov zákon. Konštanta k v nej sa nazýva konštanta pružiny a je mie- rou jej tuhosti. Pre náš jednorozmerný prípad pohybu pozdĺž priamky, ktorú sme sto- tožnili s osou x, môžeme (6) písať v tvare (7) kde súradnica x udáva polohu ťažiska kvádra vzhľadom na jeho relaxovanú polohu, t.j. vzhľadom na počiatok osi x – napravo od relaxovanej polohy je x kladné, naľavo od nej je x záporné. Pre tak dostávame , t.j. sila je orientovaná v zápornom smere osi x. Pre je , t.j. vektor je orientovaný v klad- nom smere osi x. Sila sa teda vždy snaží vrátiť kváder s pružinou do ich relaxované- ho stavu.

9. Predpokladajme, že pružina je nehmotná, ideálna, t.j. že sa presne správa podľa Hookovho zákona (6), resp. (7), a že nexistuje trenie medzi kvádrom a horizontálnou podložkou, po ktorej sa pohybuje. Vychýlme v tejto situácii kváder z jeho rovnováž- nej polohy a pustime ho. Kváder začne kmitať okolo tejto polohy s konštantnou am- plitúdou a bude kmitať dovtedy, kým ho nezastavíme. Pri tomto pohybe dochádza k neustálej premene kinetickej energie kvádra na elastickú potenciálnu energiu pružiny a naopak. Napr. pri pohybe doprava od počiatku osi x, t.j. rovnovážnej polohy, kváder spomaľuje, lebo ho brzdí sila pružiny orientovaná doľava. Kinetická energia kvádra teda klesá a zväčšuje sa elastická potenciálna energia pružiny, ktorá nadobudne maxi- málnu hodnotu v krajnej polohe, kedy je celá kinetická energia kvádra premenená na elastickú potenciálnu energiu pružiny, keďže tu kváder na moment zastane. Z tejto polohy sa kváder pohybuje doľava a zrýchľuje účinkom sily pružiny, ktorá je oriento- vaná tiež doľava. Zväčšuje sa teda kinetická energia kvádra na úkor elastickej poten- ciálnej energie pružiny a svoju maximálnu hodnotu nadobudne v okamihu prechodu rovnovážnou polohou, kedy je elastická potenciálna energia pružiny, ktorej mierou je výchylka kvádra z rovnovážnej polohy, nulová. Po prechode rovnovážnou polohou kváder pokračuje v pohybe doľava a spomaľuje účinkom sily pružiny orientovanej doprava, t.j. jeho kinetická energia opäť klesá a zväčšuje sa elastická potenciálna e- nergia pružiny, atď. Pre úplnosť uveďme, že príčinou existencie sily pružiny a s ňou spojenej elastickej potenciálnej energie sú príťažlivé a odpudivé sily pôsobiace medzi stavebnými časticami materiálu pružiny – atómami alebo molekulami.

10. Pri natiahnutí pružiny z jej relaxovaného stavu sa vychýlia tieto častice so svojich rov- novážnych polôh, a to tak, že sa zväčšia vzdialenosti medzi nimi. Vtedy prevládnu medzi stavebnými časticami materiálu sily príťažlivé, ktoré sa snažia vrátiť častice späť do rovnovážnych polôh. Naopak pri stlačení pružiny sú stavebné častice mate- riálu pružiny k sebe bližšie, ako je vzdialenosť medzi ich rovnovážnymi polohami. Prevládnu preto sily odpudivé, ktoré sa ich snažia vrátiť späť do relaxovaného stavu. Z rovníc (6) a (7) vyplýva, že sila pružiny nie je konštantná, ale sa mení lineárne s posunutím kvádra vzhľadom na jeho relaxovanú polohu. Preto na výpočet práce ko- nanej silou pružiny pri posunutí kvádra z nejakej počiatočnej polohy do neja- kej konečnej polohy nemôžeme jednoducho použiť vzorec (5). Budeme postu-

11. povať tak, že celý interval , roz-delíme na veľa malých podintervalov . Keďže sú veľmi malé, mení sa sila s meniacim sa x v každom podintervale veľmi málo, takže jej hodnotu môžeme aproximovať konštatnou hodnotou , ktorú sila nadobúda podľa vzorca (7) v niektorom z bodov každého podintervalu . Teraz už môžeme pre každý podinterval použiť vzorec (5), v ktorom uhol je buď 0 alebo 180º. Takto dos- taneme približne prácu vykonanú silou pružiny pri posunutí kvádra v rámci jedného podintervalu a sčítaním všetkých takýchto prác dostaneme s dobrou presnosťou celkovú prácu vy- konanú silou pružiny pri posunutí kvádra z polohy do polohy (8)

12. Upozornime, že vo výraze je už zabudované, či zvierajú vektory odpoveda- júce a uhol 0 alebo 180º, a to prostredníctvom znamienok týchto veličín. Napr. v príklade reprezentovanom naším obrázkom je , ale sila je záporná, t.j. celý súčin je záporný. To správne vyjadruje, že vektory odpo- vedajúce a v tomto prípade zvierajú uhol 180º. Podobnými úvahami pre ostatné prípady pohybu kvádra, t.j. pre pohyb v zápornom smere osi x a pohyb v zápornom smere osi x a a pohyb v kladnom smere osi x a by sme sa presvedčili, že rovnica (5) a výrazy sú v súlade. Ak teraz zmenšíme podintervaly na infinitezimálnu veľkosť, t.j. urobíme limitu , príspevky sa zmenia na , kde hodnota bude od- povedať intervalu dx v závislosti od jeho polohy na osi x. Konečný súčet konečných príspevkov (8) sa tak zmení na súčet nekonečného počtu nekonečne malých príspevkov , t.j. na integrál (9) ktorého absolútna hodnota bude presne udávať veľkosť plochy ohraničenej priamka- mi , , a . Poznamenajme, že prvá rovnosť v (9) platí všeobecne pre prácu ľubovoľnej sily, t.j. sily reprezentovanej ľubovoľnou priamkou, či krivkou, vykonanú pri premiestnení telesa z polohy do polohy v jednorozmernom prípade.

13. Vzťah medzi kinetickou energiou a prácou konanou silou, ktorá nie je konštantná, v jednorozmernom prípade Nech sa teleso pohybuje pozdĺž osi x za účinku sily konšt. Chceme zistiť, či aj v tomto prípade sa bude práca vykonaná touto silou pri posunutí telesa z počiatoč- nej polohy do konečnej polohy rovnať zmene jeho kinetickej energie. Na základe prvej rovnosti v (9) a 2. NPZ môžeme pre túto prácu písať Platí však čo po dosadení do predchádzajúcej rovnice dáva výsledok kde a sú rýchlosti telesa odpovedajúce jeho polohám a . Ako teda vidno z poslednej rovnice, teorém o práci a kinetickej energii platí pri jednorozmer- nom pohybe aj v prípade sily, ktorá nie je konštantná.

14. Vztah medzi kinetickou energiou a prácou pri rotácii okolo pevnej osi V kapitole “Dynamika hmotného bodu” sme odvodili vzorec pre prácu konanú dotyč- nicovou silou na HB obiehajúcom po kružnici o polomere r. Ak tejto sile odpo- vedá moment sily vzhľadom na stred kruhovej dráhy , tak práca vykonaná silou pri otočení HB z polohy danej uhlom do polohy danej uhlom meraným vzhľadom na ľubovoľnú priamku ležiacu v rovine kružnice a prechádzajúcu jej stred- om bola daná integrálom (10) Naše úvahy môžeme zovšeobecniť pre prípad tuhého telesa otá- čajúceho sa okolo pevnej osi, ktorého pohybovú rovnicu sme od- vodili v predchádzajúcej prednáške. Aj v takom prípade môže- me na výpočet práce sily kolmej na os otáčania a majúcej smer dotyčnice ku kruhovej dráhe niektorého bodu na povrchu telesa použiť vzorec (10), kde ale veľkosť momentu sily nahradí- me veľkosťou priemetu vektora do osi otáčania. Situáciu u- kazuje obrázok. Sila je kolmá na polohový vektor vybra- ného bodu na povrchu telesa. Pre veľkosť momentu tejto sily teda platí

15. Keďže práca sily pri otočení bodu telesa, v ktorom sila naňho pôsobí, o elemen- tárny oblúk ds je Fds, platí t.j. platí aj v tomto prípade rovnica (10) s tým, že veľkosť momentu nahradíme jeho priemetom do osi otáčania . Vyjdúc teda z rovnice (10) môžeme overiť platnosť teorému o práci a kinetickej ener- gii aj v tomto špeciálnom prípade rotácie telesa okolo pevnej osi za účinku dotyčni- covej sily kolmej na os otáčania. Použijeme pritom pohybovú rovnicu telesa rotujú- ceho okolo pevnej osi kde I a sú moment zotrvačnosti a veľkosť vektora uhlového zrýchlenia vzhľadom na túto os. Keď teda dosadíme vyjadrenie z tejto rovnice do (10), dostaneme pre prácu vykonanú na telese rotujúcom okolo pevnej osi pri jeho otočení z polohy danej uhlom do polohy danej uhlom , ktoré meriame vzhľadom na ľubovoľnú priamku ležiacu v rovine kolmej na os otáčania a pretínajúcu túto os, vyjadrenie

16. Pri úpravách v poslednej rovnici sme využili, že a . Premen- ná je uhlová rýchlosť, ktorú malo teleso v polohe danej uhlom , a je uhlová rýchlosť, ktorú malo teleso v polohe danej uhlom . Ako teda vidíme, teorém o práci a kinetickej energii platí aj pre rotáciu telesa okolo pevnej osi za účin- ku dotyčnicovej sily kolmej na os otáčania. Vzťah medzi kinetickou energiou a prácou v trojrozmernom prípade Nech sa v trojrozmernom priestore pohybuje častica, pričom na ňu pôsobí výsledná sila . Druhý Newtonov pohybový zákon popisujúci pohyb tejto častice potom je Vynásobme túto rovnicu elementom , ktorý reprezentuje dráhu, ktorú častica prejde počas infinitezimálneho časového intervalu dt. Dostaneme tak

17. Skalárny súčin na ľavej strane poslednej rovni- ce predstavuje elementárnu prácu, ktorú vyko- ná na častici sila pri jej elementárnom po- sunutí reprezentovanom vektorom , ktorý má smer dotyčnice k dráhe. Pravú stranu pos- lednej rovnice môžeme vyjadriť takto Platnosť poslednej rovnice je názorne u- kázaná na obrázku. Ako je zrejmé, vo všeobecnosti neplatí, že veľkosť vektora , ktorý reprezentuje zmenu veľkos- ti aj smeru rýchlosti, je rovná zmene veľ- kosti vektora , t.j. . Posledná rovnica na predchádzajúcom slide teda bude

18. Ak chceme vyjadriť prácu, ktorú vykoná sila pri presunutí častice z polohy da- nej polohovým vektorom do polohy danej polohovým vektorom , musíme sčítať všetky elementárne príspevky , kde sila je výsledná sila pôsobia- ca na časticu v polohe danej polohovým vektorom . Musíme teda vypočítať integ- rál (11) Posledná rovnica hovorí, že aj v 3-rozmernom prípade platí teorém o práci a ki- netickej energii – práca konaná výslednou silou na telese pohybujúcom sa po určitej dráhe je rovná zmene jeho kinetickej energie. Dôležitá je najmä prvá rovnosť v (11), ktorá je úplne všeobecnou definíciou práce konanej na telese silou , pričom zameníme za , t.j. za ľubovoľnú silu pôsobiacu na teleso. Potenciálna energia Je to energia, ktorá je daná konfiguráciou systému telies (hmotných bodov), ktoré pô- sobia jedno na druhé silami. Je teda funkciou polohy telies v danej sústave. Keď sa zmení konfigurácia sústavy, môže sa zmeniť aj jej potenciálna energia. Poznáme veľa druhov potenciálnej energie. Tu sa budeme bližšie zaoberať dvoma z nich – gravitačnou a elastickou potenciálnou energiou.

19. Vzťah medzi prácou a potenciálnou energiou V tejto kapitole sme uviedli dva príklady – pohyb baseballovej lopty v smere zvislom na povrch Zeme a pohyb telesa upevneného na pružine. V obidvoch týchto prípadoch sa kinetická energia menila počas pohybu na iný druh energie, ktroý sme nazvali po- tenciálnou energiou a naopak. Pritom nárast jednej z nich bol sprevádzaný poklesom druhej, t.j. ak bola zmena kinetickej energie kladná, zmena potenciálnej energie bola záporná a naopak. Vždy teda platilo (12) Keďže však podľa teorému o práci a kinetickej energii sa zmena kinetickej energie telesa pri jeho premiestnení pôsobením sily rovná práci, ktorú táto sila pri tom- to premiestnení vykonala, okamžite vyplýva z rovníc (12) a (11) pre zmenu potenci- álnej energie sústavy, ktorej súčasťou je teleso, na ktorom bola vykonaná práca (13) Gravitačná potenciálna energia Je daná stavom, keď sa dve alebo viac telies, medzi ktorými je určitá vzdialenosť, vzájomne priťahuje prostredníctvom gravitačných síl. Uvažujme malú oblasť v nie veľkých výškach nad zemským povrchom. Potom mô-

20. žeme v tejto oblasti považovať gravitačnú silu, ktorou Zem pôsobí na okolité telesá v nej sa pohybujúce za konštantnú. Zvoľme os y kolmo na zemský povrch s kladným smerom zvislo nahor a s počiatkom na zemskom povrchu. Nech sa pozdĺž tejto osi pohybuje teleso o hmotnosti m. Pri tomto pohybe sa na telese koná práca prostred- níctvom gravitačnej sily , ktorá je orientovaná zvisle nadol, čím sa mení gravi- tačná potenciálna energia sústavy Zem-teleso, lebo sa mení jej konfigurácia (vzá- jomná poloha). Na základe (13), kde namiesto polohových vektorov dosadíme y-ovú súradnicu telesa, môžeme túto zmenu gravitačnej potenciálnej energie vyjad- riť takto V poslednej rovnici predstavuje zápis jedinej nenulovej – y-ovej zložky gravi- tačnej sily, ktorej hodnota je záporná, lebo je orientovaná v zápornom smere osi y. Súradnice a sú počiatočná a konečná výška telesa nad zemským povr- chom. Ak namiesto budeme v poslednej rovnici písať y, môžeme túto rovnicu vyjadriť aj takto

21. Veličinu zvolíme za potenciálnu energiu našej sústavy v jej referenčnej konfi- gurácii, ktorej zodpovedá konfigurácia sústavy Zem-teleso taká, keď je teleso vo výške nad zemským povrchom. Obyčajne sa volí a , takže gravitačnú potenciálnu energiu sústavy Zem-teleso môžeme nakoniec vyjadriť vzorcom (14) kde y je výška telesa nad zemským povrchom. Elastická potenciálna energia Je daná stavom kompresie alebo natiahnutia elastického objektu, napr. pružiny. Ak je pružina upevnená k nejakému objektu, potom v týchto stavoch pôsobí na tento objekt silou, ktorej pôvod sú, ako sme už hovorili, príťažlivé a odpudivé sily pôsobiace me- dzi stavebnými časticami (atómami, molekulami) materiálu pružiny. Majme teda ideálnu nehmotnú pružinu, ktorá je pripevnená k zvislej stene a uložená vo vodorovnej rovine. Na jej voľnom konci nech je upevnené teleso, ktoré sa môže pohybovať po horizontálnej rovine bez trenia. Našou sústavou je teda sústava pružina- teleso. Nech celé zariadenie funguje tak, že ak teleso na pružine uvedieme do pohybu, bude sa toto pohybovať pozdĺž priamky, ktorú stotožníme s osou x s počiatkom v mieste, kde sa nachádza ťažisko telesa, keď je celý systém v relaxovanom stave. Keď

22. teleso na pružine uvedieme do pohybu, bude kmitať v dôsledku pôsobenia sily pruži- ny, ktorá bude na telese konať prácu. Preto sa bude meniť kinetická energia telesa a potenciálna energia systému pružina-teleso. Na základe rovnice (13), v ktorej namies- to polohových vektorov budeme písať súradnice x, dostaneme pre zmenu elastickej potenciálnej energie systému pružina-teleso pri posunutí ťažiska telesa pri jeho kmita- ní na pružine z polohy danej súradnicou do polohy danej súradnicou vyjad- renie Keď budeme namiesto písať x, prejde posledná rovnica na tvar Ak za referenčnú konfiguráciu zvolíme konfiguráciu, v ktorej má ťažisko kmitajúceho telesa súradnicu a položíme a , t.j. za referenčný zvolíme relaxovaný stav systému, bude elastická potenciálna energia systému pružina teleso daná vzťahom (15) kde x predstavuje výchylku ťažiska telesa z jeho rovnovážnej polohy.

23. Zákon zachovania mechanickej energie Mechanická energia sústavy je súčet jej potenciálnej energie a kinetickej energie te- lies, z ktorých sa skladá: Nech vo vnútri sústavy pôsobia len konzervatívne sily a nech je sústava izolovaná, t.j. nech na ňu nepôsobia nijaké vonkajšie sily. Keď konzervatívna sila koná prácu na niektorom objekte takejto sústavy, znamená to, že sa transformuje kinetická energia objektu na potenciálnu energiu systému alebo naopak, pričom v každom štádiu pro- cesu súčet udaný v horeuvedenej rovnici ostáva zachovaný. Ak sa teda jedna z foriem mechanickej energie v takejto sústave zmenší o nejakú hodnotu, druhá z týchto foriem sa zväčší o tú istú hodnotu a naopak, t.j. platí (12) čo je rovnica, ku ktorej sme dospeli už na slide 19. Táto rovnica zároveň vedie na rovnosti Rovnicu (12) môžeme prepísať v tvare

24. (16) Rovnica v rámčeku je matematickým vyjadrením zákona zachovania mechanickej energie: Keď je sústava izolovaná a pôsobia v nej len konzervatívne sily, súčet jej potenciálnej a kinetickej energie v ľubovoľnom stave sa rovná súčtu týchto energií v ľubovoľnom inom stave sústavy, t.j. mechanická energia sústavy je konštantná Konzervatívne sily V príkladoch s baseballovou loptou a kvádrom na pružine ide o systém, v ktorom pô- sobí sila medzi jedným z objektov systému a zvyškom systému. (Zhodou okolností v oboch príkladoch je systém tvorený dvoma objektami, takže zvyškami systému sú Zem pôsobiaca gravitačnou silou na objekt - baseballovú loptu - a pružina pôsobiaca svojou silou na objekt - kváder.) Keď sa mení konfigurácia systému, sila koná na ob- jekte prácu , prostredníctvom ktorej sa prenáša energia medzi kinetickou ener- giou objektu a nejakou inou formou energie systému (už vieme, že táto iná forma e- nergie je potenciálna energia). Keď celý proces ide opačným smerom, zmení sa smer prenosu energie a sila koná prácu . Ak platí, že , táto iná forma ener- gie je vždy potenciálna energia a sila pôsobiaca v systéme sa volá konzervatívna. Ako sme už videli, konzervatívna je napr. sila gravitačná, alebo sila pružiny.

25. Nekonzervatívnou silou je napr. trecia sila. Ak sa napr. kĺže teleso po povrchu, pri- čom pôsobí trenie medzi dotykovými plochami telesa a povrchu, teleso bude postup- ne spomaľovať, lebo jeho kinetická energia sa mení na teplo. Tento proces sa nedá obrátiť, t.j. teplo sa nemôže premeniť späť na kinetickú energiu telesa prostredníc- tvom kinetickej trecej sily, a teda teplo nemôže byť potenciálna energia. Z toho, čo sme doteraz povedali o konzervatívnych silách a zachovaní mechanickej energie v izolovanej sústave objektov vyplýva, že pôsobenie len konzervatívnych síl v izolovaných sústavách znamená zachovanie mechanickej energie v týchto sústa- vách. Preto aj názov “konzervatívne” z anglického “conserve” znamenajúce konzer- vovať, zachovávať. Ak je sila konzervatívna, potom integrál (17) závisí len od počiatočnej a konečnej polohy telesa a nie od tvaru dráhy, ktorou teleso medzi týmito polohami za účinku sily prešlo. Ak má platiť aj zákon zachovania mechanickej energie v systéme, ktorého je toto teleso súčasťou, tento integrál musí byť rovný záporne vzatej zmene potenciálnej energie systému, ku ktorej došlo v dôsledku premiestnenia jedného z jeho objektov medzi bodmi danými polohovými vektormi a . Je to preto, lebo len potom platia rovnice (12), resp. (16), ktoré sú matema-

26. tickými vyjadreniami tohto zákona. Iné matematické vyjadrenie zachovania mecha- nickej energie v izolovanom systéme teda je (18) kde a sú potenciálne energie systému odpovedajúce konfiguráciám, v ktorých pohybujúci sa objekt je v polohách daných polohovými vektormi a . Z toho, čo sme doteraz povedali, vyplýva, že práca konzervatívnych síl, ktorú by sme vypočítali pomocou integrálu (17), nezávisí od tvaru dráhy, po ktorej sa teleso, na ktorom je práca týmito silami konaná, ale len od jej počiatočného a koncového bodu. Toto teda znamená, že ak budeme v (17) integrovať po uzavretej dráhe, musíme dos- tať nulu, ak je konzervatívna, t.j. pri premiestnení objektu izolovaného systému po uzavretej dráhe prostredníctvom konzervatívnej sily sa neprenesie nijaká energia. Nutná a postačujúca podmienka určujúca konzervatívnu silu v 3-rozmernom priestore Možno ukázať, že v jednorozmernom prípade stačí na to, aby bola sila konzervatív- na, závislosť tejto sily len od polohy objektu, na ktorý pôsobí. V 3-rozmernom pries- tore tiež platí táto podmienka. Splnenie len tejto podmienky však nestačí na to, aby bola sila v 3-rozmernom prípade konzervatívna. V ďalšom výklade odvodíme nutnú

27. a postačujúcu podmienku na to, aby bola sila konzervatívna aj v 3-rozmernom prípa- de. Vyjdeme pritom zo zákona zachovania mechanickej energie, pretože to je hlavná črta konzervatívnych síl (19) konšt. Kinetická energia je daná vzťahom Derivujme túto rovnicu podľa času a takisto derivujme podľa času potenciálnu energiu kde symbol predstavuje operátor gradient, ktorý má tvar

28. Gradient potenciálnej energie je teda vektor ktorého skalárny súčin s časovou deriváciou polohového vektora predstavuje deriváciu potenciálnej energie podľa času. Keď teda zderivujeme zákon zachovania mechanickej energie (19) raz podľa času, dostaneme rovnicu Keďže táto rovnica musí platiť pre hocakú rýchlosť telesa, na ktoré pôsobí sila , musí byť výraz v zátvorke rovný nule, t.j. musí platiť (20)

29. Rovnica (20) je vektorová rovnica, ktorá je ekvivalentná trom skalárnym rovniciam pre tri zložky vektorov v nej vystupujúcich. Tieto rovnice, ako je zrejmé, sú (21) Ešte podotknime, že gradient skalárnej funkcie je vektor, ktorého smer udáva smer najrýchlejšej zmeny tejto funkcie. Rovnica (20) je ekvivalentná rovnici (18). To ukážeme ľahko tak, že jej obe strany vy- násobíme skalárne vektorom elementárneho posunutia . Dostaneme tak Integráciou tejto rovnice v hraniciach od po získame presne rovnicu (18)

30. Diferenciálny počet hovorí, že rotácia ľubovoľného vektora, ktorý je daný ako gra- dient ľubovoľnej skalárnej funkcie, je nula. V našom prípade to pre silu teda zna- mená Táto rovnica, resp. rovnica (20), je teda nutná a, ako možno ukázať, aj postačujúca podmienka pre to, aby sila bola konzervatívna aj v 3-rozmernom prípade, t.j. aby práca konaná touto silou nezávisela od tvaru dráhy, ale len od jej počiatočného a koncového bodu, a aby táto práca bola rovná záporne vzatej zmene potenciálnej ener- gie, ku ktorej dôjde v sústave v dôsledku vykonania tejto práce. Pre úplnosť okomentujeme poslednú rovnicu. Ako vidíme, rotácia vektora je defino- vaný ako vektorový súčin operátora gradientu a tohto vektora. Výsledkom rotá- cie aplikovanej na vektor je teda tiež vektor. Nakoniec uveďme explicitne rozpísaný výraz na ľavej strane poslednej rovnice použijúc výrazy platiace pre vektorový súčin dvoch vektorov

32. Príklad krivky potenciálnej energie Uvažujme časticu, ktorá sa pohybuje pozdĺž osi x za účinku sily, ktorá má len x-ovú zložku a ktorá je fun- kciou len súradnice x. Potom na zák- lade rovníc (21) potenciálna energia častice je tiež len funkciou súradni- ce x, lebojej parciálne derivácie pod- ľa y a z sú nulové, t.j. nezávisí od súradníc y a z. V prvej rovnici v (21) sa teda parciálna derivácia zmení na totálnu deriváciu a keď položíme , táto rovnica bude mať tvar (22) Silu teda získame ako záporne vzatú deriváciu potenciálnej energie, t.j. v každom bode x bude rovná záporne vzatej smernici dotyčnice

33. ku krivke verzus x v tomto bode. Príklad toho, ako možno zistiť silu pôsobiacu na časticu pri jej jednorozmernom po- hybe pozdĺž osi x z krivky jej potenciálnej energie, je na predchádzajúcom slide. Na začiatku je potenciálna energia konštantná, t.j. je reprezentovaná priamym úsekom rovnobežným s osou x. Tento úsek má teda nulovú smernicu a sila pri pohybe častice v tomto úseku je nulová. Potom pri pohybe smerom do bodu smerni- ca dotyčnice ku krivke verzus x je záporná a najskôr v absolútnej hodnote stú- pa, lebo krivka je stále strmšia. Tomu teda odpovedajú stúpajúce kladné hodnoty si- ly F. Ďalej smernica dotyčnice dosiahne maximum svojej absolútnej hodnoty, kto- rému korešponduje maximum sily F a od tohto bodu bude síce smernica dotyčnice stále záporná, ale v absolútnej hodnote bude klesať, čomu odpovedajú klesajúce hod- noty sily F. V bode dosiahne krivka verzus x svoje minimum, v ktorom dotyčnica k nej má nulovú smernicu, a teda sila F v tomto bode nadobudne nulovú hodnotu. Od bodu smerom do bodu smernica dotyčnice ku krivke poten- ciálnej energie je kladná a najskôr sa zväčšuje, pretože krivka je stále strmšia, až na- dobudne svoje maximum a od tohto bodu smernica dotyčnice nadobúda stále menšie hodnoty, aj keď kladné, až v bode má dotyčnica nulovú smernicu, lebo krivka verzus x v ňom nadobúda lokálne maximum. Hodnoty sily pre body medzi a sú teda záporné, pričom v absolútnej hodnote najskôr stúpajú, potom nadobudnú maximum svojej absolútnej hodnoty v bode, kde sa mení smernica dotyčnice ku krivke verzus x z rastúcej na klesajúcu. Od tohto bodu je sila síce

34. stále záporná, ale jej absolútna hodnota klesá až do bodu , kde je sila nulová. Po- dobne by sme vysvetlili zvyšok priebehu krivky verzus x. Body obratu Nech systém, ktorého súčasťou je aj naša častica pohybujúca sa pozdĺž osi x, je izo- lovaný a pôsobia v ňom len konzervatívne sily. Potom jeho mechanická energia je konštantná a kinetickú energiu častice v bode x na osi x môžeme vypočítať ako (23) Predpokladajme, že potenciálna energia systému je popísaná krivkou na slide 32 a že celková mechanická energia systému je . Potom podľa (23) , a napravo od . Častica sa nemôže po- habovať naľavo od , lebo kinetická energia je vždy kladná a v tejto oblasti . Bod sa preto nazýva bod obratu. Častica pohybujú- ca sa doľava sa v tomto bode zastaví, lebo tu má nulovú kinetickú energiu, a potom sa pohybuje smerom doprava, keďže , t.j. je orientovaná v kladnom smere osi x. V bode teda častica mení smer svojho pohybu.

35. Body rovnováhy Predpokladajme, že mechanická energia systému je . Bod obratu sa pre- to presunie do bodu medzi bodmi a . Napravo od bodu je konšt., a teda kinetická energia je v tejto oblasti nulová. Nulová je tu aj sila, preto keď sa častica dostane do tejto oblasti, nebude sa pohybovať. Hovo- ríme, že častica je v neutrálnej rovnováhe. Pri krivka potenciálnej energie má dva body obratu. Jeden leží medzi bodmi . Častica sa teda nemôže dostať do oblasti osi x naľavo od tohto bodu. Druhý bod obratu sa nachádza v tomto prípade medzi bodmi a častica sa teda nemôže pohybovať v oblasti napravo od tohto bodu. Pohyb častice je teda obme- dzený na oblasť osi x ležiacu medzi týmito dvomi bodmi obratu. V bode sú a . Ak sa teda častica pri svojom pohybe dostane do tohto bodu, zastaví sa a ďalej sa nebude pohybovať. Ak však časticu nachádzajúcu sa v tomto bode len máličko posunieme doprava alebo doľava, bude sa pohybovať v tých- to smeroch, lebo na ňu pôsobí nenulová sila . Hovoríme, že v bode je čas- tica v nestabilnej rovnováhe. Napokon uvažujme pohyb častice pri . Ak sa častica pri tejto celkovej mechanickej energii nachádza v bode , nemôže sa z tohto bodu na osi x pohnúť, lebo by mala zápornú kinetickú energiu. Keby sme časticu máličko posunuli z tohto bodu, vrátila by sa naspäť do , lebo by ju tam vracala nenulová sila. Bod

36. nazývame bodom stabilnej rovnováhy. Ak by sme časticu umiestnili do bodu , mohla by sa pohybovať len do určitej vzdialenosti smerom k bodom alebo , pokým by sa nedostala do bodov obratu. To znamená, že pohyb častice v tomto prípa- de je obmedzený len na oblasť osi x medzi týmito dvoma bodmi. Napokon si môžeme všimnúť na obrázkoch na slide 32, že oblastiam na osi x, ktorým odpovedá zväčšovanie kinetickej energie častice, a teda zvyšovanie jej rýchlosti, od- povedá sila orientovaná v smere pohybu častice, a teda časticu urýchľujúca. Naopak v oblastiach, kde kinetická energia klesá, a teda častica spomaľuje, pôsobí sila orien- tovaná proti pohybu častice, ktorá ju brzdí. Práca konaná na systéme vonkajšou silou Ak na systém pôsobí vonkajšia sila, môže táto sila prenášať energiu z alebo do systé- mu, t.j. prostredníctvom vonkajšej sily môže byť na systéme konaná práca. Keď je sys- témom častica, ktorá sa nenachádza v žiadnom silovom poli (napr. gravitačnom) môže sa pôsobením vonkajšej sily meniť len kinetická energia častice a táto zmena je rovná práci na nej vykonanej touto silou. Vonkajšia sila ale môže meniť aj iné formy energie. Napr. dvíhajme zo zeme loptu do určitej výšky. Vonkajšia sila reprezentovaná nami koná prácu na systéme lopta-Zem a táto práca je rovná súčtu zmien kinetickej a poten- ciálnej energie lopty v systéme lopta-Zem, t.j. zmene celkovej mechanickej energie tohto systému

37. Uvažujme systém kváder-podlaha. Nech sa kváder pohybuje pozdĺž priamky, ktorú stotožníme s osou x, pôsobením sily , ktorá je rovnobež- ná s touto osou. Medzi kvádrom a podlahou však pôsobí ďalšia sila – sila kinetického trenia , ktorá je orientovaná proti pohybu kvádra a je tiež rovnobežná s podlahou. Veľkosť tejto sily je menšia ako veľkosť sily , preto sa kváder pohybuje v smere . Nech počas nejakého časového intervalu prekoná kváder vzdialenosť d, reprezentovanú vektorom posunutia , pričom veľkosť jeho rýchlosti počas tohto posunutia vzrastie z na . Druhý Newtonov pohybový zákon dáva pre kváder pohybovú rovnicu Keďže sily pôsobiace na kváder majú nenulové zložky len pozdĺž osi x, aj zrýchlenie kvádra má len x-ovú zložku, ktorá má rovnakú orientáciu ako sila . Ak teda kladný smer osi x je doprava, vyššie uvedená pohybová rovnica bude reprezentovaná vzťahom (24)

38. kde F a sú veľkosti príslušných síl. Ak sú obe sily konštantné, je potom na zák- lade (24) konštantné aj zrýchlenie kvádra a a platí rovnaká rovnica, akú sme získali pri odvodzovaní teorému o práci a kinetickej energii na slide (3) Po skombinovaní tejto rovnice s rovnicou (24) tak dostaneme vzťah Okrem kinetickej energie sa však môže meniť aj potenciálna energia častice - napr. ak by sa častica pohybovala aj vo vertikálnom smere pôsobením sily (napr. hna- cia sila rakety), menila by sa jej gravitačná potenciálna energia. Preto môžeme posled- nú rovnicu zovšeobecniť na tvar Experimentom sa zistilo, že pri kĺzaní kvádra po dlážke sa kontaktné plochy kvádra a dlážky otepľujú, t.j. že dochádza k vzniku tepla, a tiež sa zistilo, že toto teplo je rov- né . Keďže práca Fd je práca konaná vonkajšou silou na systéme dlážka- kváder, posledná rovnica nadobudne tvar (25)

39. kde je teplo vzniknuté trením medzi pohybujúcim sa kvádrom a podlahou. Rov- nica (25) je vyjadrením vzťahu medzi prácou a energiouprenášanou vo forme tepla, keď je prítomnétrenie. Poznamenajme, že vzorec (25) nie je v rozpore so vzorcom (11), ktorý hovorí, že prá- ca výslednej sily pôsobiacej na teleso pozdĺž nejakého úseku jeho dráhy je rovná roz- dielu kinetických energií, ktoré teleso malo na konci a na začiatku tohto úseku. Ak napr. štartuje raketa v gravitačnom poli Zeme, výsledná sila na ňu pôsobiaca je rovná sile motora mínus gravitačná sila. Práca konaná silou motora, ktorá je vonkajšou si- lou k systému Zem-raketa, sa mení na kinetickú energiu rakety a jej potenciálnu e- nergiu, ktorá je vo výške y nad povrchom Zeme rovná mgy. Ako však vieme, práca gravitačnej sily v tejto výške je rovná –mgy,takže práca výslednej sily je naozaj rov- ná prírastku kinetickej energie telesa, na ktoré táto sila pôsobí. Zachovanie celkovej energie Nech celková energia systému pozostáva z jeho mechanickej energie a vnútornej energie . Samozrejme existujú aj ďalšie druhy energie ako elektric- ká, magnetická, chemická, atď. Tu sa však obmedzme len na tieto dva typy energií. Celková energia systému pozostávajúca teda len z jeho mechanickej a vnútornej e- nergie sa môže meniť len pri prenose energie z alebo do systému. Existujú dva spô- by, ako sa môže prenášať energia, a to prostredníctvom tepla a práce, pričom práca

40. sa koná na úkor prijatého tepla, vnútornej energie a mechanickej energie. Zákon zachovania energie teda môžeme vyjadriť v tvare (26) Vzťah (26) nebol odvodený zo žiadnych fyzikálnych princípov, je experimentálnym faktom a všetky doterajšie experimenty ho bez výnimky potvrdili. V izolovanom systéme sa neprenáša energia medzi systémom a okolím, t.j. . Potom vzťah (26) prejde na tvar ktorý hovorí, že celková energia izolovaného systému je konštantná. V izolovanom systéme sa teda môže jedna forma energie meniť na inú, ale súčet veľkostí všetkých typov energie musí byť konštantná hodnota. V izolovanom systéme, v ktorom pôsobia len konzervatívne sily, a posled- ný vzťah sa tak redukuje na zákon zachovania mechanickej energie. Zákon zachovania hybnosti, zákon zachovania momentu hybnosti a zákon zachovania energie sú tri zákony, ktoré platia v prírode univerzálne. Nikdy neboli nájdené výnim- ky, ktoré by vyvracali tieto zákony či už v oblasti newtonovskej mechaniky, teórie relativity alebo kvantovej fyziky.

41. Výkon Vyjadruje rýchlosť, s ktorou sa koná práca. Ak sa za čas vykoná práca , je priemerný výkon Okamžitý výkon, t.j. rýchlosť, s ktorou sa koná práca v určitom časovom okamihu t, je daný vzťahom kde dW je infinitezimálna práca vykonaná počas infinitezimálneho časového intervalu dt opísaného okolo časového okamihu t. Ak vyjadríme elementárnu prácu ako , kde je vektor elementárneho posunutia po dráhe opisovanej tele- som, na ktorom sila koná prácu, prejde rovnica (26) na tvar kde a sú okamžité hodnoty sily a rýchlosti telesa. Vo všeobecnom zmysle je výkon rýchlosť, s ktorou sa pôsobením sily transformuje energia z jednej formy na druhú. Keď teda sa za čas prenesie energia ,

42. priemerný vykon bude a okamžitý výkon je kde dE je infinitezimálna energia prenesená za infinitezimálny čas dt odpovedajúcemu časovému okamihu t.