Energia Potencial e Conservação da Energia

1. Energia Potencial e Conservação da Energia Profª Jusciane da Costa e Silva

2. Energia • Energia potencial é a energia associada com a posição da partícula. • Existe energia potencial gravitacional mesmo no caso de a mergulhadora ficar parada no trampolim. • Nenhuma energia é adicionada ao sistema mergulhadora –terra. Porém a energia armazenada é transformada de uma forma para outra durante sua queda.

3. Energia • Como a transformação pode ser entendida a partir do teorema trabalho energia. • Veremos que a soma da energia cinética e potencial fornece a energia mecânica total do sistema e essa energia permanece constante durante o movimento do sistema (lei da conservação da energia)

4. Energia Potencial Gravitacional • Em muitas situações tudo se passa como se “a energia fosse armazenada em um sistema para ser recuperado depois.” • Garoto em um balanço: Nos pontos mais elevados, a energia é armazenada em outra forma, relacionada com a altura do ponto acima do solo, e esta energia é convertida em K quanto atinge o ponto inferior do arco. • Esse ex. da idéia de que existe uma energia associada com a posição dos corpos em um sistema. Este tipo de energia fornece o potencial ou a possibilidade de realizar trabalho (W)

5. Energia Potencial Gravitacional • Quando um martelo é elevado no ar, existe um potencial para um trabalho sobre ele ser realizado pela força da gravidade, porém isso só ocorre quando o martelo é liberado. Por esse motivo, a energia associada com a posição denomina-se ENERGIA POTENCIAL. • Existe uma energia potencial associada com o peso do corpo e com a altura acima do solo. Chamamos essa energia de ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL.

6. Energia Potencial Gravitacional • Quando um corpo cai sem resistência do ar, a energia potencial diminui à medida que a energia cinética aumenta. • Vimos “ usando o teorema do trabalho-energia para concluir que K do corpo em queda livre aumenta porque a força gravitacional realiza trabalho sobre ele. • Usaremos o teorema W-K para demonstrar que essas duas descrições de um corpo são equivalentes e para deduzir uma expressão para energia potencial.

7. Energia Potencial Gravitacional • Considere um corpo de massa m que se move ao longo de um eixo 0y. A força que atua sobre ele é a gravitacional. • Qual o Wg realizado pelo peso sobre o corpo qdo cai de uma altura y1 acima da origem até uma altura menor y2? O peso e o deslocamento possui mesmo sentido, de modo Wg realizado sobre o corpo é positivo. • Equação também válida para quando y2 é maior que y1. Neste caso:

8. Energia Potencial Gravitacional • Podemos expressar Wg em termos da quantidade mgy no início e no final do deslocamento. Energia potencial gravitacional • Seu valor inicial é U1 = mgy1 e seu valor final U2 = mgy2; • Podemos expressar Wg realizado pela força gravitacional durante o deslocamento de y1 a y2 como • Corpo se move de baixo para cima - y aumenta; Wg (-); U aumenta (U >0). • Corpo se move de cima para baixo - y diminui; Wg (+); • U diminui (U >0).

9. Forças conservativas e não conservativas • As forças que atuam num sistema, modificando-lhe a configuração, dizem-se conservativas quando, regressando o sistema à configuração inicial, readquire também a energia cinética inicial. • Isto significa que as forças conservativas conservaram a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho, e daí o seu nome. • Fg realiza de A a B, um trabalho resistente, que se traduz num aumento de energia potencial do sistema. Segue-se, depois, um trabalho potente, de B para A, que se traduz na restituição à forma cinética do incremento de energia potencial que tinha sido armazenada.

10. Forças conservativas e não conservativas • As forças que atuam num sistema dizem-se não conservativas ou dissipativas quando, ao deixarem de realizar trabalho, o sistema ou não regressa à configuração inicial ou regressa a ela com energia cinética diferente da que tinha no princípio. • Isto quer dizer que as forças não conservativas não conservaram • a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho. • A força de atrito, realiza sempre trabalho resistente não traduzido em aumento de energia potencial

11. Independência da trajetória para o trabalho de forças conservativas • Consideremos uma partícula em movimento em um percurso fechado, se o W realizado pela força neste percurso for nulo, então dizemos que as forças são conservativas. • Ou seja, a energia total que se transfere da partícula e para a partícula durante a viaje de ida e volta ao longo do percurso fechado é nula. Exemplo: O lançamento de um tomate. “O WR realizado pela força conservativa movendo-se entre dois pontos não depende da trajetória.”

12. Independência da trajetória para o trabalho de forças conservativas • Consideremos um percurso fechado arbitrário para uma partícula sujeita a uma ação de uma única força. • A partícula se move do ponto inicial a para um ponto final b ao longo da trajetória 1 e retorna pela trajetória 2. “A força realiza W sobre a partícula a medida que ela se movimenta ao longo de cada trajetória.” • O W realizado de a até b ao longo da trajetória 1 é: Wab,1 • O W realizado da volta de b até a é; Wba,2

13. Se F for conservativa; Wres = 0. • O W realizado ao longo da trajetória de ida é igual ao negativo do W realizado ao longo da volta. • Consideremos o Wab,2 realizado pela força sobre a partícula quando ela se move de a até b ao longo da trajetória 2. Substituindo a equação acima na equação anterior. Portanto o W independe da trajetória quando F for conservativa.

14. Determinando Valores de Energia Potencial • Encontrar a energia potencial dos dois tipos de energia discutido nesta seção: energia potencial gravitacional e energia potencial elástica. • Encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a energia potencial a ela associada. • Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que é parte de um sistema no qual atua uma F conservativa. “ quando esta força realiza W sobre o objeto, a variação U na energia potencial associada ao sistema é o negativo do W.”

15. Determinando Valores de Energia Potencial • No caso geral onde a força pode variar com a posição Substituindo W = - U, temos: Relação geral entre força e energia potencial.

16. Energia Potencial Gravitacional • Consideremos uma partícula com massa m movendo-se verticalmente ao longo de y (positivo para cima). A medida que a partícula se move do ponto y1 para y2 a Fg realiza W sobre ela. Podemos usar configurações de referência na qual a partícula esta em um ponto de referência yi que tomamos como U = 0. Portanto: “a energia potencial gravitacional associada ao sistema partícula-terra depende apenas da Posição vertical y da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da posição. Horizontal.”

17. Energia Potencial Elástica • Consideremos um sistema massa-mola, com o bloco se movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k. Enquanto o bloco se move do ponto xi para o xf, a força da mola F = -kx realiza W sobre o bloco. Escolhendo um valor de referência U com o bloco na posição x na qual a mola se encontra relaxado x= 0.

18. Conservação da Energia Mecânica • A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética e potencial dos objetos que compõem o sistema: Energia mecânica: Forças conservativas e o sistema é isolado (Fext = 0). • Quando uma F conservativa realiza W sobre um objeto dentro de um sistema, essa força transfere energia entre a K do objeto e a U do sistema. Pelo teorema W-K

19. Conservação da Energia Mecânica • Usando a equação da variação na energia potencial Combinando as duas equações anteriores Uma dessas energias aumenta na mesma quantidade que a outra diminui. Podemos reescrever como Conservação da energia mecânica.

20. Conservação da Energia Mecânica “Em um sistema isolado onde apenas forças conservativas causam variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas a sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não pode variar” Este resultado é chamado de PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃODA ENEGIA MECÂNICA. Podemos escrever esse princípio de outra forma Este princípio nos permite resolver Problemas que seriam difíceis usando apenas as Leis de Newton. Quando a energia se conserva, podemos a soma de K e U em cada instante com aquele novo instante sem considerar o movimento intermediário e sem determinar o WR das F envolvidas.

21. Conservação da Energia Mecânica • Exemplo do princípio de conservação aplicado: Enquanto um pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-terra é transferida entre K e U, com a soma K+U permanecendo constante. • Se conhecermos a Ug quando a massa do pêndulo esta no seu ponto mais alto, a equação da conservação da energia nos fornece a K do ponto mais baixo. • Vamos escolher o ponto mais baixo como ponto de referência, com U2 = 0 e no ponto mais alto U1 = 20 J. Como a massa pará momentaneamente no ponto mais alto, K1 = 0. Qual a energia no ponto mais baixo?

23. Interpretando uma curva de energia potencial • Consideremos uma partícula que faz parte de um sistema no qual atuam uma força conservativa. O movimento da partícula se dar ao longo de um eixo x enquanto a F conservativa realiza W sobre ela. • Podemos obter bastante informação sobre o movimento da partícula a partir do gráfico energia potencial do sistema U(x). • Vimos que se conhecemos a F(x) que atua sobre a partícula podemos encontrar a energia potencial

24. Interpretando uma curva de energia potencial • Queremos fazer agora o contrário; isto é, conhecemos a energia potencial U(x) e queremos determinar a força. • Para o movimento em uma dimensão, o W realizado pela força que atua sobre a partícula se move através de uma distância x é F(x) x. Podemos escrever Passando ao limite diferencial

25. Interpretando uma curva de energia potencial • Verificar este resultado U(x) = ½ kx2 que é a energia potencial elástica e U(x) = mgx. • A curva de energia potencial • U versus x : podemos encontrar F medindo a inclinação da curva de U(x) em vários pontos.

26. Interpretando uma curva de energia potencial • Pontos de retorno Na ausência da força conservativas, a energia mecânica E de um Sistema possui um valor constante dado por K(x) é uma função energia cinética de uma partícula no sistema. Como Emec é constante, pelo ex. anterior igual a 5 J. Portanto no ponto x5

27. Interpretando uma curva de energia potencial • Pontos de Retorno • O valor de K máximo (5J) é no ponto x2 quando U(x) é mínimo. • K nunca pode ser negativo (v2), a partícula não pode se mover a para esquerda de x1, Emec – U(x) é negativo. Quando a partícula se move em direção a x1 a partir de x2, K diminui até K = 0 em x1. • Em x1 – a força é positiva (inclinação negativa). Significa que a partícula não permanece em x1, mas começa a se mover para direita, em sentido oposto ao seu movimento anterior. Portanto x1 é um PONTO DE RETORNO, um lugar onde K = 0 (pois U = E) e a partícula inverte o sentido do movimento.

28. Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de Equilíbrio • 3 valores diferentes de Emec. • Se Emec = 4 J, o ponto de retorno mudar de x1 para um valor entre x1 e x2. • Qualquer ponto a direita de x5, a energia mecânica do sistema é igual a U(x); portanto, K = 0 e nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que ela precisa está em repouso. Diz-se que a partícula em tal posição está em EQUILÍBRIO NEUTRO.

29. Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de Equilíbrio • Se Emec = 3 J, existe dois pontos de retorno: um entre x1 e x2 e outro entre x4 e x5. Além disso x3 é um ponto onde K = 0. Se a partícula estiver neste ponto, a F = 0 e a partícula permanecerá em repouso. Se ela for ligeiramente deslocada em qualquer um dos dois sentidos, uma força não nula a empurra no mesmo sentido e a partícula continua se afastando ainda mais do ponto inicial. Uma partícula em tal posição é considerada em EQUILÍBRIO INSTÁVEL.

30. Interpretando uma curva de energia potencial Pontos de Equilíbrio • Se Emec = 1 J. Se colocarmos em x4 ela permanecerá nesta posição. Ela não pode se mover nem para direita nem para esquerda por sua conta própria, pois seria necessário uma K negativa. Se empurramos ligeiramente para a esquerda ou para direita, aparece uma força restauradora que a faz retornar ao ponto x4. Uma partícula em tal posição é considerada em EQUILÍBRIO ESTÁVEL.

31. Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema vimos: “ O W é a energia transferida PARA um sistema ou DE um sistema devido a atuação de uma força externa sobre este sistema.” Podemos extender esse conceito para uma Fext atuando sobre Um sistema. Quando a transferência de energia é PARA o sistema. Quando a transferência de energia é DO o sistema.

32. Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema NA AUSÊNCIA DE ATRITO Num boliche quando você vai arremessar a bola, inicialmente você se agacha e coloca suas mãos em forma de concha por debaixo da bola sobre o peso. Depois você levanta rapidamente enquanto ao mesmo tempo puxa suas mãos bruscamente, lançando a bola para cima no nível do rosto. Durante o seu movimento para cima, a F que vc aplica realiza W, isto é, ela é uma força externa que transfere energia, mas para qual sistema?

33. Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema NA AUSÊNCIA DE ATRITO Verificar quais energias se modificam: Há variação K da bola, e como a bola e a terra ficaram afastada, também houve uma variação Ug do sistema bola-terra. Para incluir essas variações, precisamos considerar o sistema bola- terra. Assim F é uma Fext que realiza W sobre o sistema, e o W é Energia equivalente para o W realizado por Fext sobre um sistema sem atrito.

34. NA PRESENÇA DE ATRITO Consideremos um sistema onde uma F horizontal constante puxa o bloco ao longo do eixo x deslocando-o por uma distância d e aumentando a velo- cidade do bloco de v0 para v. O bloco será nosso sistema. Aplicando a segunda lei de Newton

35. Como as forças são constantes , temos Numa situação mais geral (uma na qual o bloco esteja subindo uma rampa), pode haver uma variação na energia potencial. Para incluir tal variação, temos Verificamos experimentalmente que o bloco e a porção do piso ao longo do qual ele se desloca ficam aquecidos enquanto o bloco desliza. Portanto foi verificado experimentalmente que essa energia térmica é igual Portanto Trabalho realizado pelo sistema em presença de atrito.

36. Conservação da Energia Todos os casos discutidos até agora obedecem a LEI DE CONSERVAÇÃO, que está relacionada com a energia total de um sistema. Essa energia total é a soma da energia mecânica com a térmica ou qualquer outro tipo de energia interna. “A energia total E de um sistema pode mudar apenas por quantidades de energias que são transferidas para o sistema ou delas retiradas.” O único tipo de energia de transferência de energia que consideramos e o W realizado sobre um sistema. Assim, esta lei estabelece A lei de conservação de energia é algo baseado em inúmeros experimentos.

37. Conservação da Energia SISTEMA ISOLADO Se um sistema está isolado de uma vizinhança, não podendo haver trocas com a vizinhança. Para este caso a lei de conservação da energia diz: “A energia total E, de um sistema isolado não pode variar.” Pode haver muitas transferências dentro do sistema; energia cinética em energia potencial ou térmica, entretanto a energia total do sistema não pode variar.

38. Conservação da Energia e A conservação da energia pode der escrita de duas maneiras: “Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um dado instante com a energia total em outro instante sem ter que considerar as energias em tempos intermediários.”

39. FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA Uma força externa pode mudar a K ou U de um objeto sem realizar W, isto é, sem transferir energia para o objeto. Em vez disso, é a força responsável pela transferência de energia de uma forma para outra dentro do objeto. Patinadora no gelo, inicialmente em repouso, empurra um corrimão e passa a deslizar sobre o gelo. Sua K aumenta porque o corrimão exerceu uma Fext sobre ela. No entanto a F não transfere energia para o corrimão para ela. Assim a força não realiza W sobre ela. Ao contrário a K aumenta como resultado de transferências internas a partir da energia bioquimica contida nos seus musculos.

40. FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA Nesta situação podemos relacionar a Fext que atua sobre um objeto com a variação da energia mecânica do objeto. Durante seu empurrão e deslocamento de uma distância d, podemos considerar a aceleração constante, com velocidade variando de v0 a v e a patinadora com uma partícula desprezando o esforço de seus músculos. A situação também envolve uma variação na elevação do objeto, podemos incluir a energia potencial A força do lado direito dessa Eq. não realiza W, mais é responsável pelas variações das energias.

41. POTÊNCIA Potência é a taxa com que uma força transfere energia de uma forma para outra. “Se uma certa quantidade de energia E é transferida durante um intervalo de tempo t, a potência média devida à força é” E a potencia instantânea