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Le basi del calcolo s tatistic o

Le basi del calcolo s tatistic o. equilibrio statistico di N particelle su k stati possibili: descrizione del sistema : individuare gli stati possibili ( microstati ), mediante i relativi numeri quantici calcolare l’energia E i dell’i-esimo stato

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Presentation Transcript

  1. Le basi del calcolo statistico • equilibrio statistico di N particelle su k stati possibili: • descrizione del sistema: individuare gli stati possibili (microstati), mediante i relativi numeri quantici • calcolare l’energia Ei dell’i-esimo stato • calcolare la degenerazionegi dell’i-esimo stato • calcolare la probabilità di una certa partizione, cioè in quanti modi si possono disporre Niparticelle sui k stati conservando l’energia totale a disposizione (probabilità di una certa partizione di stati) • ipotesi: tutti i microstati accessibili sono egualmente probabili stat-1

  2. 4 3 +3 4 3 +2 4 3 +1 4 3 0 4 3 -1 4 3 -2 4 3 -3 4 2 +2 4 2 +1 4 2 0 4 2 -1 4 2 -2 4 1 +1 4 1 0 4 1 -1 4 0 0 N6 36 6 E6=-0,38 N5 5 25 3 2 +2 3 2 +1 3 2 0 3 2 -1 3 2 -2 3 1 +1 3 1 0 3 1 -1 3 0 0 E5=-0,54 4 N4 16 E4=-0,85 3 N3 9 E3=-1,6 E2=-3,4 2 N2 4 2 1 +1 2 1 0 2 1 -1 2 0 0 1 0 0 1 1 N1 E1=-13,6 n l m gi i eV Microstati e macrostati Esempio: microstati accessibili agli elettroni di atomi di idrogeno per i primi 6 livelli energetici (macrostati) numeri quantici: ni, li, mi livello energetico: Ei degenerazione : gi numero di occupazione: Ni stat-2

  3. 4 3 +3 4 3 +2 4 3 +1 4 3 0 4 3 -1 4 3 -2 4 3 -3 4 2 +2 4 2 +1 4 2 0 4 2 -1 4 2 -2 4 1 +1 4 1 0 4 1 -1 4 0 0 N6 36 6 E6=-0,38 N5 5 25 3 2 +2 3 2 +1 3 2 0 3 2 -1 3 2 -2 3 1 +1 3 1 0 3 1 -1 3 0 0 E5=-0,54 4 N4 16 E4=-0,85 3 N3 9 E3=-1,6 E2=-3,4 2 N2 4 2 1 +1 2 1 0 2 1 -1 2 0 0 1 0 0 1 1 N1 E1=-13,6 gi i eV Esempio: probabilità della partizione Statistica di Boltzmann Wi= numero di modi in cui si possono disporre Ni particelle sul livello i N1=4 N2=3 N3=5 N4=3 N5=4 N6=2 si cerca il massimo di lnW con i vincoli sul numero totale N di particelle e l’energia totale E (massimo vincolato): n l m stat-3

  4. metodo dei “moltiplicatori di Lagrange” Statistica di Boltzmann si richiede che sia nullo ogni termine della sommatoria formula di Stirling: lnx! = x lnx - x  ha le dimensioni dell’inverso di una energia  =1/ kBT kB=costante di Boltzmann, T=temperatura assoluta gi fattore di “spazio delle fasi” fBol (E,T) = e-E/kTfunzione di distribuzione di Boltzmann stat-4

  5. Esempio: distribuzione sui livelli energetici di atomi di idrogeno a T=50000K (temperatura di una stella?) kBT=8,6 10-5 eV K-1 5  104 K = 4,3 eV gfBlz fBz La distribuzione in energia di elettroni di atomi di idrogeno i gi EifBlz(Ei,T) gi fBlz (eV)(e-E/kT) 1 1-13,6 24 24 2 4-3,42,29 3 9 -1,6 1,513 4 16-0,85 1,219 5 25-0,541,14 28 6 36-0,381,0939 5  104 K Per avere la probabilità di occupazione dello stato occorre dividere per la funzione di partizione Z (“Zustand Summe”): stat-5

  6. ln(gfBlz) 6,5  103 K fBz scala logaritmica ln(gfBlz) ln(gfBlz) 5  104 K 104 K fBz fBz La distribuzione in energia di elettroni di atomi di idrogeno a diverse temperature T (K)kBT(eV) 6500 0,55 10000 0,85 50000 4,25 stat-6

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