MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

1. MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours ACT2025 - Cours 5

2. Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt ACT2025 - Cours 5

3. Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant ACT2025 - Cours 5

4. Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant • Date de comparaison ACT2025 - Cours 5

5. Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant • Date de comparaison • Diagramme d’entrées et sorties ACT2025 - Cours 5

6. Rappel: • Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt • Taux instantané de l’intérêt constant • Date de comparaison • Diagramme d’entrées et sorties • Équation de valeur ACT2025 - Cours 5

7. Rappel: Si nous connaissons la fonction d’accumulation A(t) alors le taux instantané de l’intérêt est ACT2025 - Cours 5

8. Rappel: Si nous connaissons le taux instantané de l’intérêt x pour tout x entre 0 et t, ainsi que le principal A(0), alors nous pouvons déterminer la fonction d’accumulation ACT2025 - Cours 5

9. Rappel: Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant de 0 jusqu’au temps t Le montant d’intérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusqu’au temps t = b est ACT2025 - Cours 5

10. Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée d’un prêt: échéance moyenne, duplication du capital ACT2025 - Cours 5

11. Échéance moyenne: L’échéance moyenne est le moment t* pour lequel un versement de (s1 + s2 + ... + sn) dollars est équivalent à n versements de s1, s2, ... , sn dollars respectivement payables aux moments t1, t2, ... , tn. ACT2025 - Cours 5

12. Échéance moyenne: (suite) Nous avons le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT2025 - Cours 5

13. Échéance moyenne: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est : Rappelons que ACT2025 - Cours 5

14. Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que ACT2025 - Cours 5

15. Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que Donc ACT2025 - Cours 5

16. Échéance moyenne: (suite) Finalement nous obtenons ACT2025 - Cours 5

17. Échéance moyenne: (suite) Finalement nous obtenons ou encore ACT2025 - Cours 5

18. Dans cette dernière équation, désigne le taux instantané de l’intérêt constant équivalent au taux d’intérêt composé i, c’est-à-dire Échéance moyenne: (suite) e = (1 + i) ou encore  = ln(1 + i) ACT2025 - Cours 5

19. Échéance moyenne approché: En effet, Il est possible d’approximer la valeur de t* par l’échéance moyenne approchée: ACT2025 - Cours 5

20. Échéance moyenne approché: (suite) Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série binomiale si , x sont des nombres réels et -1 < < 1 et développer t = (1 + i)-t en série. ACT2025 - Cours 5

21. Exemple 1: Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5e, 7e, 8e et 12e année. Le taux d’intérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons qu’elle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt. Quand doit-elle faire ce remboursement? ACT2025 - Cours 5

22. Exemple 1: (suite) Nous devons calculer l’échéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant: ACT2025 - Cours 5

23. Exemple 1: (suite) Le taux d’intérêt est i = 6% par année. L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est 1500(1.06)-5 + 3500(1.06)-7 + 3000(1.06)-8 + 2500(1.06)-12 | | 10500(1.06)-t* ACT2025 - Cours 5

24. Exemple 1: (suite) Nous obtenons que l’échéance moyenne est alors t* = 8.038029924 années soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes. ACT2025 - Cours 5

25. Exemple 1: (suite) Par contre, nous obtenons que l’échéance moyenne approchée est soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes. ACT2025 - Cours 5

26. Remarque 1: Il est possible de montrer que nous avons toujours ACT2025 - Cours 5

27. Remarque 1: (suite) est une conséquence de l’inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique: L’inégalité ACT2025 - Cours 5

28. Duplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi double? ACT2025 - Cours 5

29. Duplication du capital: (suite) Si nous investissons un capital de K dollars au taux d’intérêt composé i, nous voulons déterminer le temps nécessaire t pour que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En équation, nous avons K(1 + i)t = 2K ACT2025 - Cours 5

30. Duplication du capital: (suite) Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons t ln(1 + i) = ln(2) ACT2025 - Cours 5

31. Duplication du capital: (suite) Après simplification, nous obtenons (1 + i)t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l’égalité, nous obtenons t ln(1 + i) = ln(2) Finalement ACT2025 - Cours 5

32. Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. ACT2025 - Cours 5

33. Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément, ACT2025 - Cours 5

34. Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double ACT2025 - Cours 5

35. Exemple 2: Si le taux d’intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation ACT2025 - Cours 5

36. Triplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu’un capital investi triple? ACT2025 - Cours 5

37. Triplication du capital: (suite) Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est ACT2025 - Cours 5

38. Triplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. ACT2025 - Cours 5

39. Triplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément, ACT2025 - Cours 5

40. Exemple 3: Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple ACT2025 - Cours 5

41. Exemple 3: Si le taux d’intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation ACT2025 - Cours 5

42. Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux d’intérêt. ACT2025 - Cours 5

43. Situation 1: Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n. Dans une telle situation, le diagramme d’entrées et sorties est ACT2025 - Cours 5

44. Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est P(1 + i)n = A où P, A et n sont connus. ACT2025 - Cours 5

45. Situation 1: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est P(1 + i)n = A où P, A et n sont connus. Nous obtenons facilement que ACT2025 - Cours 5

46. Situation 2: Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés. Dans une telle situation, l’équation de valeur nous permet d’écrire une équation sous la forme f(i) = 0 où f(x) est une fonction connue après avoir transféré tous les termes d’un côté de l’équation de valeur à l’autre. ACT2025 - Cours 5

47. Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours: Situation 2: (suite) • Méthode de bissection • Méthode de Newton-Raphson Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson. ACT2025 - Cours 5

48. Exemple 4: Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant: ACT2025 - Cours 5

49. Exemple 4: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 5000(1 + i)9 + 5000(1 + i)7 | | 4000(1 + i)5 + 4000(1 + i)3 + 2000(1 + i)2 + 3000 ACT2025 - Cours 5

50. Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons ACT2025 - Cours 5