Le calcul mental au cycle 3

1. Le calcul mental au cycle 3 David Rolland, PIUFM de mathématiques Le calcul à l'école

2. Sommaire • Le calcul en Mathématiques. • Le calcul mental à l’école. Le calcul à l'école

3. Le calcul en Mathématiques. • Qu’est-ce que le calcul? • Différentes acceptions pour le calcul numérique. • Des exemples de calcul réfléchi écrit. • Un exemple de calcul réfléchi oral. Le calcul à l'école

4. En 1909: « Les exercices de calcul mental figureront à l’emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes » En 1970: « Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèves calculent mentalement […]. La valeur éducative des exercices de calcul mental réside tout autant dans la manière de conduire le calcul que dans sa rapidité ». En 2002: « Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2 »  Détour historique … Le calcul à l'école

5. Avril 2007: Au cycle 3, dans la rubrique « calcul »: « Calcul approché: il doit être utilisé dans des situations où les élèves peuvent lui donner du sens, par exemple: contrôle d’un résultat obtenu par récrit ou à l’aide d’une calculatrice. » NB: attention, les programmes de 2002 mentionnaient déjà la nécessité de travailler le calcul approché au cycle 3! • Juin 2008: « L’entraînement quotidien au calcul mental (portant sur les quatre opérations) permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. » Le calcul à l'école

6. Qu’est-ce que le calcul? (1) • Origine historique. Le terme calcul vient du mot latin calculus qui renvoie aux cailloux que les Romains utilisaient pour calculer dans des pratiques sociales diverses. Le calcul à l'école

7. Qu’est-ce que le calcul? (2) • Définition. Un calcul est une combinaison d’objets mathématiques (représentés par des symboles) obtenue grâce à des opérations, selon des règles précises, afin d’obtenir un résultat nouveau. Le calcul à l'école

8. Qu’est-ce que le calcul? (3) • Les différentes sortes de calcul en Mathématiques: calcul algébrique, barycentrique, vectoriel, tensoriel, différentiel, intégral, propositionnel, formel, trigonométrique, matriciel, exponentiel, booléen, statistique, binaire, numérique, etc. Le calcul à l'école

9. Qu’est-ce que le calcul? (3) • Sens commun. • Sens mathématique: calcul numérique et, plus généralement, l’arithmétique. Dans cette école, on enseigne le calcul. • Usage dans la langue courante (sens figuré). Calcul: ensemble des moyens qu’on combine, des mesures qu’on prépare en vue du succès d’une affaire. Il a agi par calcul. Faire un mauvais calcul. Cela n’entre pas dans mes calculs. Il a déjoué tous les calculs. Le calcul à l'école

10. Différentes acceptions du calcul numérique (1) • Une double opposition: • Mental - écrit • Réfléchi - automatisé Le calcul à l'école

11. Classification des différents modes de calcul (2) Remarque préalable : calculer nécessite la mémorisation de résultats et de techniques. Calcul réfléchi ou raisonné : ayant à faire un certain type de calcul, on utilise une procédure dépendant des nombres en jeu. Calcul automatisé : fait appel à un résultat déjà mémorisé et se limite à exécuter un algorithme Exemple : ayant à faire une soustraction, on utilise toujours la même technique de calcul posé. Exemples : 64 - 5 = 64 - 4 - 1 = 60 - 1 = 59 Calcul écrit 64 - 59 = 64 - 60 + 1 = 5 12×25 = 3×4 ×25 = 3×100 = 300 Exemple : ayant à diviser par 25, mentalement, on multiplie par 4 et on divise par 100. Exemple : Calcul mental Exemple : pour calculer la valeur exacte de 128 000 618 × 514 avec une calculatrice, on effectue à la calculatrice les calculs 128 × 514 et 618 x 514. Exemple : ayant à calculer le produit de deux nombres, on utilise la touche × de la calculatrice. Calcul instrumenté (on utilise une calculatrice ou un tableur)

12. 1/ Caractéristiques propres au calcul automatisé et au calcul réfléchi

13. Différentes acceptions du calcul numérique (3) • Le calcul mental, sous ses deux formes, allie l’automatisation et la compréhension. • Autres formes de calcul numérique: • Calcul rapide: mise en œuvre écrite de techniques de calcul mental, proposé en temps limité. • Calcul instrumenté: calcul faisant appel à une calculatrice ou à l’ordinateur. • Calcul vivant (pédagogie Freinet): recherche d’une solution à un problème concret participant de la vie de la classe. Le calcul à l'école

14. Des exemples de calcul réfléchi écrit (1) • Au cycle 2: Le calcul à l'école

15. Des exemples de calcul réfléchi écrit (2) • Au cycle 2 (suite): Le calcul à l'école

16. Un exemple de calcul réfléchi écrit (3) • Au cycle 3: Le calcul à l'école

17. Le calcul mental à l’école (1) • L’importance du calcul mental à l’école • Définition. • Modalités de présentation. • Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves. • Les élèves en difficulté en calcul mental. • Les objectifs du calcul mental et du calcul réfléchi. • Modalités de présentation. • Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves. • Les élèves en difficulté en calcul mental. • Les objectifs du calcul mental au cycle 3 Le calcul à l'école

18. Le calcul mental à l’école (2) • Ce que n’est pas le calcul mental. • Le calcul mental automatisé. • Le calcul mental réfléchi. • Les modalités de fonctionnement. • Les situations d’accompagnement de la pratique du calcul mental. • Bibliographie. Le calcul à l'école

19. Pourquoi le calcul mental occupe-t-il une place prépondérante dans les programmes ? • Indispensable pour les besoins de la vie quotidienne • Nécessaire à une bonne compréhension de certaines notions mathématiques • Permet de familiariser les élèves avec les nombres et d’approcher certaines propriétés des opérations Le calcul à l'école

20. Des enjeux à long terme : • Au collège: « L’habileté en calcul est une aide à la conceptualisation. En travaillant dans un domaine où les calculs peuvent être réalisés mentalement et rapidement, les élèves peuvent s’approprier plus aisément des nouveaux savoirs […] en centrant leur attention sur ce qui est nouveau. Un déficit de compétences en calcul mental constitue un handicap majeur pour de nombreux élèves en collège ». « Le calcul numérique au collège », projet de document d’accompagnement Exemple: Factoriser (13,4x + 6,7); 28 = 2 7; simplifier 112/70 … Le calcul à l'école

21. Au lycée : • « Étendre le répertoire des résultats mémorisés, automatisés aux résultats sur les limites, sur les dérivées… • Construire chez l’élève une confiance en lui dans le domaine du calcul mental. » Actes de l’université d’été, St Flour, 2006 • Seconde: « Une certaine aisance est indispensable pour manipuler avec profit sommes, produits, quotients : une telle aisance libère ensuite la pensée pour une réflexion plus profonde ou pertinente. • Première S: « Lors de l’étude d’une notion, (dérivée), un certain niveau de maîtrise de calcul est indispensable […]. Dans le registre du calcul automatisé: il faut d’abord ANTICIPER quelque peu le calcul… » Extraits des documents d’accompagnement Le calcul à l'école

22. Définition • Le calcul mental est un calcul numérique qui ne fait pas appel aux intermédiaires écrits: aucun support n’intervient entre l’énoncé et la production du résultat. • De plus, l’énoncé est une situation numérique pure, non habillée sous la forme d’un énoncé de problème. Le calcul à l'école

23. Modalités de présentation Le calcul à l'école

24. Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves (1). • Analyse des évaluations CE2: Redéfinir les compétences acquises par les élèves à l’école primaire pour mieux comprendre la structure des apprentissages. Sophie Morlaix IREDU-CNRS Université de Bourgogne 2006 Le calcul à l'école

25. Le calcul mental, révélateur des compétences des élèves (2). • Les compétences qui structurent les apprentissages des élèves à l’entrée au CE2: Le calcul à l'école

26. Les élèves en difficulté en calcul mental (1) • Les élèves en difficulté en Mathématiques le sont en général en calcul mental. • Les causes de ces difficultés: • Un défaut d’adaptabilité des élèves. Ils préfèrent utiliser des procédures sûres (qui fonctionnent dans tous les cas et conduisent aux résultats attendus; ce sont souvent les procédures « posées dans la tête ») et coûteuses plutôt que des procédures adaptées au calcul en cours. Le calcul à l'école

27. Les élèves en difficulté en calcul mental (2) • Un manque de procédures automatisées s’appliquant à des calculs arithmétiques élémentaires (par exemple, le passage par la dizaine). • L’installation de procédures élémentaires automatisées permet aux élèves d’échapper aux automatismes sur des procédures plus complexes (Grand N n°79, D. Butlen, M. Charles-Pézard). Le calcul à l'école

28. Les objectifs du calcul mental pour le cycle 3 • Calcul automatisé : • les compétences du cycle 2 • les tables de multiplication (y compris dans l’optique d’une recherche concernant la division) • multiplier et diviser des nombres entiers par 10, 100, 1000… • multiplier et diviser des nombres entiers par 20, 400, 2000… • Calcul réfléchi : • liste non exhaustive • tous les calculs automatisés sont d’abord traités par le calcul réfléchi Le calcul à l'école

29. Ce que n’est pas le calcul mental • Le calcul mental ne se réduit pas à l’apprentissage de recettes calculatoires détachées de toute compréhension. • L’automatisation du calcul ne doit pas être mise en avant au détriment de la compréhension. Le calcul à l'école

30. Le calcul mental automatisé (1) • Il s’agit de favoriser la récupération directe en mémoire d’un résultat. • Cela passe par une phase reconstructive utilisant des points d’appui. Le calcul à l'école

31. Qu’est-ce que connaître ses tables ? « La récitation des tables dans l’ordre croissant peut constituer une gêne pour une mémorisation efficace. » Document d’accompagnement des programmes 2002 Connaître ses tables, c’est: • Dire instantanément n’importe quel résultat. • Être capable d’exploiter rapidement cette connaissance pour donner un résultat connexe. Exemple: connaître 7 + 6, c’est: • Répondre rapidement « 13 » • Combien de 7 pour aller à 13? • 13 – 6?13 – 7? 6 + 7 ? Le calcul à l'école

32. Conditions de mémorisation : • Compréhension de l’opération en jeu: • Représentations mentales du calcul à effectuer • Prise de conscience de la nécessité d’un répertoire: • Recenser les résultats connus • Compléter et organiser le répertoire • Capacité à élaborer les résultats connus pour en construire d’autres: • Points d’appui: étape décisive dans la mémorisation • Entraînement des résultats mémorisés: • Diversité des représentations mises en jeu • Disponibilité des résultats Le calcul à l'école

33. Points d’appui sur la mémorisation : • Importance de la représentation des nombres: • Représentations imagées: constellations, dés, doigts… • Représentations symboliques: numération chiffrée, numération verbale • De l’importance de la représentation des nombres… • Représentations des nombres imagées : • Dés, dominos, jeux de cartes, figurations avec les doigts… • Importance deconsolider les images mentales des « petits nombres » • Mise en relationdes nombres (entre 5 et 10) et leurs décompositions • Relations des nombres entre-eux: • Chaîne verbale • Structuration écrite chiffrée Le calcul à l'école

34. Points d ’appui pour le répertoire additif: • Utilisation de la suite numérique, surcomptage • Appui sur les doubles • Utilisation de la commutativité • Passage à la dizaine • Début de cycle 3: • Restitution instantanée de tous les résultats: tables addition, différences, compléments associés La mémorisation des résultats (additifs et multiplicatifs) est favorisée par une bonne maîtrise des deux rythmes (numération écrite chiffrée, numération avec mots-nombres) Le calcul à l'école

35. Points d’appui pour le répertoire multiplicatif: • Connaître les résultats des tables de 2 et de 5 • Retrouver un résultat à partir d’un résultat connu:comptage de n en n • Utiliser la commutativité • Connaître les carrés (souvent bien maîtrisé) • Multiplier par 4, c’est…; multiplier par 6, c’est… • S’appuyer sur les particularités de certaines tables: 2;5; 9; des régularités repérées dans la table de Pythagore • Fin cycle 3: • Mémorisation totale des produits des tables • Utilisation pour répondre à: • Combien de fois 7 dans 56? • 56 divisé par 7 • Décomposer 56 sous forme d’un produit de deux nombres inférieurs à 10 Le calcul à l'école

36. Le calcul mental automatisé (2) • Apprendre la table d’addition Le calcul à l'école

37. Le calcul mental automatisé (3) Les doubles Les amis pour faire 10 La numération Les presque doubles Le calcul à l'école

38. Le calcul mental automatisé (4) Le passage par 10 Le surcomptage (+1, +2, +3), avec application éventuelle de la commutativité de l’addition. Le calcul à l'école

39. Le calcul mental automatisé (5) • Apprendre la table de multiplication • Donner un sens aux mots fois et « multiplié par » et les distinguer. • Utiliser des points d’appui: - comptage de n en n; - connaître les doubles; - connaître les tables de 2 et de 5; - connaître les carrés; - savoir que multiplier par 2, c’est doubler, multiplier par 4, c’est doubler 2 fois; - etc. Le calcul à l'école

40. Le calcul mental automatisé (6) • Varier les approches pour un même résultat, en utilisant les possibilités de la langue mathématique: 47 – 39 combien y a-t-il de 39 à 47? que faut-il ajouter à 39 pour faire 47? quel est l’écart entre 39 et 47? Le calcul à l'école

41. Le calcul mental automatisé (7) 7 fois 8 quel nombre, multiplié par 7, donne 56? combien de fois 8 dans 56? 56 divisé par 8? Le calcul à l'école

42. Le calcul mental réfléchi (1) • Il s’agit d’élaborer une procédure adaptée au calcul particulier qui est proposé, en faisant appel à la réflexion et au raisonnement. Le calcul à l'école

43. Calcul réfléchi… diversité des procédures • Représentations du nombre mobilisées: • Numération écrite chiffrée • Numération « orale » 25 x 12 P1: calcul séparé de 25x10 et 25x2, puis somme des résultats partiels (utilisation distributivité) P2: décomposition de 12 en 4x3, calcul de 25x4 puis de 100x3 P3:utilisation du fait que 25 est le quart de 100, en divisant 12 par 4, en multipliant le résultat par 100 Le calcul à l'école

44. 25x19 P4:calcul de 25x20 (directement ou non), puis soustraction de 25 au résultat (distributivité) P5:calcul de 19x20 (19x2x10), puis de 5x19 (nouveau calcul réfléchi: somme de 5x9 et de 9x10) Conclusion: aucune procédure ne s’impose, plusieurs sont possibles, nécessité de prendre des décisions personnelles pour élaborer une procédure spécifique. Le calcul à l'école

45. Le calcul mental réfléchi (2) 42 – 28: Ôter 20 puis 8 (décomposition); Ôter 30 puis ajouter 2 (pivotement); Aller de 28 à 42 (jalonnement); Calculer 44 – 30 (décalage). Le calcul à l'école

46. Le calcul mental réfléchi (3) 25 x 12: Calculer séparément 25 x 10 et 25 x 2, puis additionner les résultats; Décomposer 12 en 4 x 3, calculer 25 x 4, puis 100 x 3; Voir que 25 est le quart de 100; multiplier 12 par 100, puis diviser par 4. Le calcul à l'école

47. Le calcul mental réfléchi (4) • Le travail en classe doit être axé sur l’explicitation et la confrontation de procédures possibles et efficaces. • Il faut éviter la saturation de la mémoire de travail. Ce risque de saturation peut être diminué en autorisant les élèves à noter les résultats intermédiaires. Le calcul à l'école

48. Les modalités de fonctionnement (1) • Les recommandations officielles. Programmes de l’école élémentaire adaptés à la Polynésie française, 2006 Programmes de l’école élémentaire de 2008 Document d’accompagnement des programmes 2002 Document d’application des programmes « Mathématiques » Le calcul à l'école

49. Les modalités de fonctionnement (2) • Le calcul mental doit faire l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes.L’entraînement au calcul mental doit être quotidien dès le CP et se prolonger tout au long de l’école élémentaire. Il s’appuie sur la connaissance parfaite de la table d’addition puis de la table de multiplication. Les maîtres alternent les moments d’entraînement et ceux qui permettent de concevoir des méthodes et de comparer leur efficacité. Le calcul à l'école

50. L’aisance du calcul réfléchi dépend… • De la capacité à jouer avec les nombres • De la capacité à changer de procédures en fonction des nombres • De la qualité de mémorisation de certains résultats • Du nombre et de la nature des situations proposés aux élèves pour apprendre à calculer Le calcul à l'école