A Representação do Espaço na Criança

1. A Representação do Espaço na Criança Capítulo 15 Luiz Carlos Gomes

2. Introdução GrupoAgrupamentoGrupo de deslocamentosOs Agrupamentos das Classes

3. 1. Fechamento: A * B = C 2. Associativa: (A * B) * C = A * (B * C) 3. Elemento Neutro: A * 0 = A 4. Elemento Inverso: A * I = A Diz-se que um grupo é abeliano, quando, sejam quais forem A e B, A * I = I * A Grupo

4. As leis do agrupamento consistem em reunir as diversas ações, percepções e antecipações representativas umas às outras, e em situá-las, assim, em um sistema total de transformações coerentes. É uma estrutura ao mesmo tempo móvel e fechada, que liga as operações umas às outras, segundo um princípio de composição reversível Agrupamento

5. Propriedades dos agrupamentos 1. Duas operações diretas compostas entre si são ainda uma operação direta de conjunto: A + A’ = B B + B’ = C A + A’ + B’ = C 2. À operação direta corresponde uma operação inversa que faz, ainda, parte do conjunto. +A-A’ = -B (subtração lógica, ou exclusão) 3. O produto da operação direta e da inversa é a operação idêntica geral +A -A’ = 0 4. Cada operação composta com ela mesma desempenha um papel de idêntica especial (tautologia): A + A = A também A + B = B 5. Toda seqüência de operações não contendo equações tautológicas, ou contendo as mesmas tautologias tanto em um membro quanto no outro, é associativa: (A + A’) + B’ = A + (A’ + B’)

6. 1. Um deslocamento AB e um deslocamento BC podem coordenar-se em um único deslocamento AC, que ainda faz parte do sistema, estejam eles em linha reta ou não 2. Todo deslocamento AB pode inverter-se em BA, donde BA representa a conduta do “retorno” ao ponto de partida B C A B A C O Grupo de deslocamentos

7. 3. A composição do deslocamento AB e do seu inverso BA dá o deslocamento nulo AA 4. Os deslocamentos são associativos, o que significa que na seqüência ABCD, temos AB + BD = AC + CD. Isto significa que um mesmo ponto D pode ser atingido a partir de A por caminhos diferentes (se os segmentos AB, BC, etc não estiverem em linha reta) B A D C

8. ADITIVOS 1. Primários: Adição das classes 2. Secundários: Vicariâncias MULTIPLICATIVOS 3. Primários: Multiplicação co-unívoca das classes 4. Secundários: Multiplicação bi-unívoca das clases Os agrupamentos das classes

9. 1. Operação direta: A + A’ = B; B + B’ = C; . . . 2.Operação idêntica geral: A + 0 = A; A - A = 0 3. Operações idênticas especiais (tautologia e reabsorção): A + A = A; A+ B = B; A + C = C -A -A = -A; -A -B = -B 4. Operação Inversa: A - A = 0 5. Associatividade: Agrupamento I: agrupamento aditivo das classes

10. se A1 + A’1 = B, então A2 + A’2 = B A’1 + A’2 = B A1 A’2 e A2  A’1 Agrupamento II : As vicariâncias

11. Se AB é a classe de indivíduos que pertencem “ao mesmo tempo” a A e B, teremos a multiplicação lógica A X B = A  B = AB AB  A e AB  B Agrupamento III: a multiplicação co-univoca das classes A A B B

12. Consiste em colocar em correspondência um todo com suas partes, segundo o princípio de “um a muitos”. É possível também multiplicar duas seqüências de classes segundo o princípio da correspondência biunívoca, como no caso das tabelas de entrada dupla ou tríplice, etc. Agrupamento IV: a multiplicação biunívoca das classes

13. Intuição Geométrica Operações infra-lógicas

14. A intuição do espaço não é mais uma leitura das propriedades dos objetos, mas, antes, desde o início, uma ação exercida sobre eles. Essa ação consegue ultrapassar a realidade física gradualmente até construir esquemas operacionais suscetíveis de serem formalizados e de funcionarem dedutivamente por si mesmos, enriquecendo cada vez mais a própria realidade física. (469) Da ação sensório-motriz elementar à operação formal, a história da intuição geométrica é, portanto, a de uma atividade propriamente dita, inicialmente ligada ao objeto ao qual se acomoda, mas assimilando-a ao seu próprio funcionamento, até transformá-la. (469) A intuição geométrica

15. A intuição geométrica se manifesta desde a tomada de contato perceptiva com a experiência em si, sob a forma de uma ação sensório-motriz que regula as percepções: o elemento sensível limita-se a servir de significante e a assimilação ativa e motriz constrói as relações. (469) É após o nível de representação nascente que a ação desenvolve seu papel formador: a imagem nunca é outra coisa senão a imitação interior e simbólica de ações anteriormente executadas e depois simplesmente executáveis, das quais constatamos a importância na construção das formas, a partir das relações topológicas elementares de vizinhança, de ordem e envolvimento (470)

16. Operações infralógicas São operações formadoras da noção de objeto como tal, em oposição aos conjuntos de objetos. Elas se apoiam nos encaixes de partes de um mesmo objeto no objeto total e não nos encaixes de classes. Substituem a noção de semelhança pela de vizinhança, a noção de diferença em geral pela diferença de ordem ou de colocação e a noção de número pela de medida.

17. 478 a 480 As operações infralógicas e o contínuo

18. Problema: Quais as operações infralógicas que intervêm na construção do espaço e em que consiste sua correspondência com as operações lógico-aritméticas vistas na construção do número na criança. As operações que constituem as relações topológicas são primitivas em oposição às relações projetivas e euclidianas. As operações constitutivas das relações topológicas são “intensivas” apenas. São espaciais e não matemáticas. As combinações de operações infralógicas “intensivas” engendram o caráter “extensivo”, matemático, métrico ou não-métrico. §3°. As Operações Infralógicas constitutivas das relações topológicas elementares (481 - 483)

19. I. Partição e adição primitiva (Cap. V) - dissociação de um contínuo em elementos vizinhos, que, adiciondos gradualmente, reconstituem o todo. A + A’ = B, B + B’ = C C - B’ = B; B - A’ = A Equivalência: agrupamento dos encaixes das classes A, B, C no domínio lógico II. Ordem de colocação (Cap. III) A B C . . . e C  B  A Estruturas Operatórias

20. III. Reciprocidade das vizinhanças A1 + A’1 = A2 + A’2 (=B) Equivalência: agrupamento das “vicarianças” no plano lógico. IV. Relações simétricas de intervalos (Cap. III e IV) Seja ABCD na ordem direta ou DCBA na ordem inversa, dizemos que: AB (=0) (“entre” A e B) AC (=B) (“entre A e C) AD (=B, C) (“entre A e D) V. Multiplicação biunívoca dos elementos (Cap. IV) A1X A2 = A1A2

21. VI. Multiplicação biunívoca de relações: uma rede de relações a duas ou três dimensões. VII. Multiplicação co-unívoca de elementos ou de relações. A um elemento A1 corresponderá muitos elementos vizinhos, A2, B2, C2 . . .

22. Os sistemas projetivos não conservam ainda as distâncias e as dimensões, como um sistema de coordenadas, mas as posições relativas dos elementos da figura ou das figuras umas em relação às outras, o todo relacionado com um observador determinado ou com um plano comparável ao seu quadro visual. É a intervenção do observador ou do “ponto de vista”, em relação ao qual as figuras são projetadas, que, psicologicamente, constitui o fator essencial desse relacionamento. A geometria projetiva é a geometria dos pontos de vista, entendendo que ela supõe a construção prévia das relações topológicas e que as conserva se acrescentando a elas.(489) §4°. As operações infralógicas constitutivas das relações projetivas (487 - 495)

23. Estruturas Operatórias I. Adição e subtração dos elementos projetados. A + A’ = B + B’ = C Representa a possibilidade para a criança de construir uma representação gráfica do objeto em perspectiva, levando em conta ao mesmo tempo reuniões de elementos visíveis e supressões por secções devidas à interferência de objetos e anteparos. B - A’ = A representa a supressão de um elemento que deixa de ser visível porque é mascarado por um outro objeto que serve de anteparo.

24. II. A ordem retilínea: A ordem de sucessão linear A  B  C fornecida pelas construções topológicas iniciais é transformada em ordem retilínea, graças à intervenção de um ponto de vista. III. A reciprocidade das perspectivas (Cap. VIII) Um alinhamento que é visto da esquerda para a direita de um certo ponto de vista (A1 + A’1) pode ser visto sob o ponto de vista do observador que se encontra à frente do primeiro como sendo (A2 + A’2), de tal modo que (A1 + A’1) = (A2 + A’2),

25. IV. As relações simétricas de intervalos Se XY = YX, então os termos situados no intervalo compreendido entre X e Y permanecem nesse intervalo se invertermos os pontos de vista (Cap. VIII) V. Multiplicação biunívoca dos elementos Em relação a um ponto de vista dado, não eixstirão mais apenas relações limitadas a uma configuração restrita, tais como “no interior” e “no exterior”, etc, mas relações de conjunto entre as figuras tais como “esquerda X direita”, “em cima X embaixo” e “frente X atrás”.

26. VI; A multiplicação biunívoca das relações. VII e VIII. Multiplicações co-unívocas de elementos e de relações.

27. As operações infralógicas do espaço euclidiano, ao invés de apoiarem-se num objeto relativo ao um ponto de vista e nas mudanças de pontos de vista, elas exprimem os caracteres do objeto relativamente à sua localização, bem como seus deslocamentos §5°. As operações infralógicas constitutivs do espaço euclidiano

28. I. Adição e subtração de elementos Essas operações consistem simplesmente em reunir ou em dissociar as partes da figura considerada, o que assegura a conservação do todo tanto a título de localização quanto de figura do objeto colocado. II. Colocações e deslocamentos A operação inversa de objetos “colocados” na ordem A B C . . . Não é mais simplesmente o percurso em sentido contrário da seqüência. Ela é a mudança de ordem ou de colocação, isto é, o deslocamento que pode inverter a seqüência inteira ou simplesmente um elemento em relação aos outros. Propriedades Operatórias

29. III. Reciprocidade de referências. Conhecidas diversas figuras vizinhas, adicionadas segundo a propriedade I, partindo de A como referência, temos A1 + A’1 = B1 e B1 + B’1 = C será sempre possível chegar à mesma reunião C partindo de A’1 ou de B’1 como referência e chamando -a de A2. Então, A2 + A’2 + B’2 = C IV. Ajustes dos intervalos ou distâncias. O intervalo entre dois pontos ordenados ao longo de uma reta é uma distância.. . . (499)

30. V.Multiplicação biunívoca dos elementos. (499 - 500) VI. Multiplicação biunívoca das relações de colocação e deslocamento. (500) VII. Multiplicação co-unívoca dos elementos (501) VIII. Multiplicação co-unívoca das relações (501)

31. O conjunto das operações precedentes (§3 a §5) fornece o enquadre qualitativo ou intensivo da construção infralógica do espaço, prévio e necessário `sua matematização, mas ele próprio não ainda matemático. §6°. As operações extensivas e métricas e o problema da sucessão genética das operações

32. GOMES, L. C.. O grupo INRC de Piaget e as Operações lógicas. Coletânea do Programa de Pós-Graduação em Educação. Vol. 1 N° 1 (jul/ago 1995). Porto Alegre: Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Faculdade de Educação, FACED, 1995. MONTANGERO, Jacques & MAURICE-NAVILLE, Danielle. Piaget ou a inteligência em evolução; trad. Fernando Becker e Tânia Beatriz Iwaszko Marques. Porto Alegre: ArtMed, 1998. PIAGET, Jean. Ensaio de Lógica Operatória; segunda edição de Tratado de Lógica, ensaio de logística operatória, 1949, estabelecida ppor Jean-Balise Grize; trad. De Maria A . V de Almeida. Porto Alegre, Globo; São Paulo, Ed. Universidde d eSão Paulo, 1976 PIAGET, Jean & INHELDER, Barbel. A representação do espaço na criança; Trad. Bernardina de Albuquerque. Porto Alegre: Artes Médicas, 1993. Bibliografia