MATRIZES
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MATRIZES Prof. Marlon. Matrizes – Conceitos Básicos. Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de 2010. Matrizes – Conceitos Básicos.

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MATRIZES Prof. Marlon

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Presentation Transcript


Matrizes prof marlon

MATRIZES

Prof. Marlon


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de 2010.


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Nada mal, embora ele precise melhorar em português e matemática. Porém, nosso negócio aqui é matemática, então repare que cada número tem o seu lugar nesta tabela;

Se destacarmos apenas a parte numérica, a tabela ficará assim:

A tabela acima é uma MATRIZ.


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Colocando em notação matemática teremos:

Esta matriz é do tipo 4x5, pois tem 4 linhas e 5 colunas.


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

  • As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas.

  • Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.

  • Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A.

  • Ele é escrito como aij.


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

a31

a32

a33

...

a3n

...

...

...

...

...

am1

am2

am3

...

amn

Sendo dado o sistema

...+

a11x1 +

a12x2 +

a13x3 +

a1nxn =

b1

...+

a21x1 +

a22x2 +

a23x3 +

a2nxn =

b2

...+

a31x1 +

a32x2 +

a33x3 +

a3nxn =

b3

...

...+

am1x1 +

am2x2 +

am3x3 +

amnxn =

bm

Vamos considerar uma tabela com os coeficientes das incógnitas

a11

a12

a13

...

a1n

a21

a22

a23

...

a2n

A =

Amxn = [aij]mxn

Matriz de ordem m porn de elementos aij


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Elementos de uma matriz:

a13=

2

3x5

a34=

7


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Amxn = [aij]mxn

As matrizes podem ser classificadas segundo:

A forma

A natureza dos elementos


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Segundo a forma em:

1. Retangular

Se o número de linhas é diferente do número de colunas

2. Quadrada

Se o número de linhas é igual do número de colunas

Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m

3. Linha

Se o número de linhasé igual a um

4. Coluna

Se o número de colunas é igual a um


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Segundo a natureza dos elementos em:

5. Real:

se todos os seus elementos são reais

6. Complexa:

se pelo menos um dos seus elementos é

complexo

7. Nula:

se todos os seus elementos são nulos


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Segundo a natureza dos elementos em:

8. Triangular Superior

uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos

9. Triangular Inferior

uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Segundo a natureza dos elementos em:

10. Diagonal

uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos

11. Escalar

uma matriz diagonal em que os

elementos principais são iguais


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Segundo a natureza dos elementos em:

12. Identidade:

Matriz com n linhas e n colunas, diagonal principal

com todos os elementos iguais a 1, e os demais

elementos iguais a zero.

13. Simétrica

se os elementos aij são iguais aos aji


Matrizes prof marlon

Matrizes – Conceitos Básicos

Segundo a natureza dos elementos em:

14. Densa

se a maioria dos seus elementos são não nulos

15. Dispersa

se a maioria dos seus elementos são nulos


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

Soma de Matrizes

Sejam A e B duas matrizes

do mesmo tipo

denomina-se soma de

A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

A soma de matrizes

do mesmo tipo

goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm inversa


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

A soma de matrizes

do mesmo tipo

goza das seguintes propriedades:

Comutativa

Assim o conjunto M mxn forma umGrupo Aditivo Comutativo

Associativa

Tem elemento neutro

Todos os elementos têm inversa


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

Produto por um escalar (número real)

Sejam A uma matriz e l um escalar

O produto de l por A é uma matriz C

do mesmo tipo de A

que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por l


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

do mesmo tipo

Dadas as matrizes A e B

e os escalares l e m as seguintes propriedades são válidas:


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

...+

a11x1 +

a12x2 +

a13x3 +

a1nxn =

b1

...+

a21x1 +

a22x2 +

a23x3 +

a2nxn =

b2

...+

a31x1 +

a32x2 +

a33x3 +

a3nxn =

b3

...

...+

am1x1 +

am2x2 +

am3x3 +

amnxn =

bm

a11

a12

a13

...

a1n

b1

x1

a21

a22

a23

...

a2n

b2

x2

a31

a32

a33

...

a3n

b3

x3

...

...

...

...

...

...

...

am1

am2

am3

...

amn

bm

xn

Consideremos o sistema

=

Matriz de ordem m por n de elementos aij


Multiplica o de matrizes caso 1

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes CASO 1

Multiplicar uma matriz linha por uma matriz coluna

Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

C = A.B

A = B =

A.B = [1.0 + 0.4 + (-1).(-1) + 2.5] = [11]


Multiplica o de matrizes caso 2

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes CASO 2

Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz coluna

Faz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.

Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da matriz coluna.

C = A.B


Multiplica o de matrizes caso 3

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes - CASO 3

1

2

3

1

2

3

=

2

5

3

2

5

3

2

x

3

2

x

3

1

0

2

x

3

3

iguais

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B


Multiplica o de matrizes caso 31

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes - CASO 3

1

2

3

1

2

3

8

=

2

5

3

2

5

3

2

x

3

2

x

3

1

0

2

3

x

3

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B


Multiplica o de matrizes caso 32

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes - CASO 3

1

2

3

1

2

3

8

12

=

2

5

3

2

5

3

2

x

3

2

x

3

1

0

2

3

x

3

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B


Multiplica o de matrizes caso 33

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes - CASO 3

1

2

3

1

2

3

8

12

15

=

2

5

3

2

5

3

2

x

3

2

x

3

1

0

2

3

x

3

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B


Multiplica o de matrizes caso 34

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes - CASO 3

1

2

3

1

2

3

8

12

15

=

2

5

3

2

5

3

2

x

3

2

x

3

1

0

2

3

x

3

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B


Multiplica o de matrizes caso 35

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes - CASO 3

1

2

3

1

2

3

8

12

15

=

2

5

3

2

5

3

15

2

x

3

2

x

3

1

0

2

3

x

3

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B


Multiplica o de matrizes caso 36

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes - CASO 3

1

2

3

1

2

3

8

12

15

=

2

5

3

2

5

3

15

29

2

x

3

2

x

3

1

0

2

3

x

3

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B


Multiplica o de matrizes caso 37

Matrizes – Operações com Matrizes

Multiplicação de Matrizes - CASO 3

1

2

3

1

2

3

8

12

15

=

2

5

3

2

5

3

15

27

29

2

x

3

2

x

3

1

0

2

3

x

3

O elemento cij da matriz C é o produto da linha i da matriz A pela coluna j da matriz B


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

Produto de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo

nxp.

O produto de A por B é uma matriz C do tipo

mxp

cujos elementos são dados por:

e escreve-se C = AB.

O produto de matrizes não é comutativo


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.

Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,

as seguintes propriedades são válidas:


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

Produto de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo

nxp.

O produto de A por B é uma matriz C do tipo

mxp

Iguais

Lembre-se: linhas da 1ª x colunas da 2ª


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

Transposição de Matrizes

Seja A uma matriz de tipo mxn.

Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:

e escreve-se B = AT


Matrizes prof marlon

Matrizes – Operações com Matrizes

Dadas as matrizes A e B e a um escalar.

Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,

as seguintes propriedades são válidas:


Matrizes prof marlon

Matrizes – Matriz Oposta

A matriz B diz-se OPOSTA da matriz A se os elementos de B forem os opostos dos elementos correspondentes de A.

Conclusão: B = - A


Matrizes prof marlon

Matrizes – Matriz Inversa

Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que:

AB = BA = I

então diz-se que A é invertível e escreve-se: B = A-1


Matrizes prof marlon

Matrizes – Matriz Inversa

Como encontrar a matriz inversa de uma matriz A dada?

Vamos lembrar que sendo: B = A-1, então teremos: A . B = I ou ainda, A . A-1 = I


Matrizes prof marlon

Matrizes – Matriz Inversa

Resolvendo os sistemas obtidos:

Assim a matriz inversa será:


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