Application du filtrage particulaire au recalage de navigation
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Application du filtrage particulaire au recalage de navigation. K. DAHIA Doctorant DGA A. PHAM DINH Directeur de thèse LMC-IMAG Grenoble. Laboratoire d’accueil : ONERA. Encadrants : J. P. Guibert (DPRS) et C. Musso (DTIM). Plan de la présentation.

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Presentation Transcript


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Application du filtrage particulaireau recalage de navigation

K. DAHIADoctorant DGA

A. PHAM DINHDirecteur de thèse LMC-IMAG Grenoble

Laboratoire d’accueil : ONERA

Encadrants : J. P. Guibert (DPRS) et C. Musso (DTIM)


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Plan de la présentation

I - le Kalman-Particulaire Kernel Filter (KPKF)

  • La borne de Cramer Rao

    II - Modélisation des équations d’erreurs inertielles Application au recalage altimétrique

  • Résultats

  • Conclusion


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Partie I

Le Kalman Particle Kernel Filter


Le kpkf

Le KPKF

  • Décomposition la loi de densité conditionnelle en noyau Gaussien (RPF)

  • est un noyau Gaussien

  • la taille de la fenêtre du noyau :

  • La matrice de covariance des particules :


Le kpkf1

de norme de l’ordre

Le KPKF

l’étape d ’initialisation :

On suppose qu’a l’instant k, on a :


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

0 si n’est pas près de

Le KPKF

A l’étape de correction:

Linéarisation de autour de :


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Le KPKF

Correction de Kalman

de norme de l’ordre

de norme de l’ordre


Le kpkf2

Le KPKF

A l’étape de prédiction:

0 si n’est pas près de

Linéarisation de autour de :

n’est plus de norme de l’ordre

« resampling »


Le kpkf3

Le KPKF

Resampling:

Partiel :

On approche

Par la mixture

Critère utilisé : MISE ( Mean Integrated Square Error )

------------------------------------------------------------------------

Total :S.I.R

si les poids sont dispersés:

de norme de l’ordre


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Resamplingpartiel :

On a la loi de densité suivante :

On l’approche par :


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Resamplingpartiel :

Si on tire les suivant :

Variance ? Si on choisit la densité :

on a :


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Resamplingpartiel :

On cherche qui minimise la MISE (la variance et le biais ) :

Sous la contrainte :

avec

Solutions :


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Le KPKF

  • l’entropie Seuil

  • de norme de l’ordre de : (correction / prédiction) avec le EKF

  • pas de resampling partiel

  • > de norme de l’ordre de : resampling partiel

  • l’entropie Seuil : resampling total

Mais en pratique en laisse m cycles de calcul, sans faire de resampling


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Le KPKF

  • Originalité du KPKF :

  • Combinaison du EKF (pas d’approximation MC) avec le RPF (multimodalité, non linéarité )

  • Algorithme récursif sans redistribution systématique (plus précis)


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

La Borne de Cramer Rao

PCRB

Dans le cas ou la dynamique est linéaire :

perte de l’info due a la dynamique

Tel que :

L’info due à la variation de H

l’intérêt :

  • Évaluation des performances d’un filtre.

  • Borne inférieure de la matrice de covariance et limite de précision de n’importe quel estimateur.


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Partie II

Modélisation des équations d’erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

L’ellipsoïde terrestre

Définition des grandeurs

b

Ellipsoïde terrestre

Axe polaire

a

La terre est représentée par un ellipsoide.

Cet ellipsoide est défini par :

Axe équatorial

L’excentricité

Le rayon de courbure dans le plan méridien:

La grande normale :

a et b sont le demi-grand axe et le demi-petit axe, respectivement de l’ellipsoïde

Le modèle WGS 84 (World Geodetic System 1984) fournit les données les plus à jour de ces paramètres.


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Les différents trièdres

Le trièdre mobile (b) :

Ce trièdre est lié a la structure du véhicule. Dans le cas d’une centrale inertielle à composants liés ce trièdre est en général matérialisé par l’orientation des capteurs (accéléromètres et gyromètres)

Le Trièdre Géographique Local (TGL, n) :

Le TGL est le repère de navigation; son origine est située en O, projection de M sur l’ellipsoïde et ses trois axes sont dirigés respectivement vers le nord, vers l’est et la verticale descendante. Il se déplace à la surface de l’ellipsoide en même temps que le mobile,.

Le trièdre inertiel (i) :

     Ce repère est centré sur la terre, ses axes ayant une direction fixe par rapport aux étoiles.

Le trièdre terrestre (e) :

Déduit du précédent par la vitesse de rotation de la terre.


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Les différents trièdres

Trièdre mobile

(lié à l’avion)

Trièdre Terrestre

Trièdre Géographique Local (TGL)

Trièdre inertiel


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Les équations de la navigation

Les coordonnées géographiques du mobile :

latitude

longitude

l’altitude


Les quations de la navigation dans le tgl

Les équations de la navigation dans le TGL

  • R : vecteur de position du mobile par rapport à la terre.

  • V : vitesse de déplacement du mobile par rapport à la terre.

  • A : matrice d’angle d’attitude

  • : l’accélération spécifique.

  • : la vitesse angulaire de rotation du repère de navigation par rapport à la terre.

  • : la vitesse de rotation de la terre.

  • : la gravité.

: la vitesse de rotation absolue du corps mesurée par les gyromètres.


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Les équations de la navigation dans le TGL

La vitesse angulaire de rotation du TGL par rapport à la terre et la vitesse absolue de rotation de la terre s’expriment dans le TGL de la façon suivante :

avec


Erreurs de navigation inertielles

Erreurs de navigation inertielles

Les erreurs de navigation inertielle proviennent :

  • des erreurs de capteurs (accéléromètres et gyromètres)

  • du modèle de la pesanteur

  • couplage entre l’erreur de position et de vitesse (phénomène de Schuler)

  • les erreurs d’alignement


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi)

On établit les équations d’erreurs inertielles qui représentent l’évolution des erreurs de navigation d’une centrale inertielle. Ces équations indiquent la manière dont les erreurs de mesure accélérométriques et gyrométriques se transforment en erreurs de position, de vitesse et d’attitude

Les erreurs de position et de vitesse sont définies comme suit :

et les erreurs de mesure :


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi)

Equation d’erreur d’angle d’attitude:

On différencie l’équation suivante :

On obtient alors l’équation d’erreur d’angle d’attitude :

avec

représente l’erreur de mesure des gyromètres telle que

Equation d’erreur de position :

On a :


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi)

Equation d’erreur de vitesse :

On différencie l’équation suivante :

On obtient alors l’équation d’erreur de vitesse :

représente l’erreur de mesure des accéléromètres telle que

( pulsation de Schuler )


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi)

Ces équations sont écrites selon l’approche en phi et dépendent des 9 variables et constituent un système d’équations différentielles couplées.

Via un changement de variable,

on obtient un autre système d’équations différentielles plus simple.


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Simulations des erreurs de capteur

  • erreur accélérométrique :

: bruit coloré (Markov 1er Ordre)

: bruit blanc Gaussien

: bruit blanc Gaussien

: facteur d’échelle accélérométrique

  • erreur gyrométrique :

: facteur d’échelle gyrométrique

: la période de corrélation

du bruit coloré


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Les équations du filtre

On estime un vecteur d’état à 15 variables d’état, les 9 variables cinématiques,

ainsi que les 6 biais accélérométrique et gyrométriques.

Le vecteur d’état à estimé est :


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Les équations du filtre

La mise des équation sous forme d’état :


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Position inertielle

Position réelle

Hauteur sol

Terrain numérisé

Terrain réel

Niveau de référence

Principe de la méthode altimétrique


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

L’équation d’observation

avec :

: mesure du radio altimètre

: l’erreur de mesure

: mesures inertielles


Contexte applicatif recalage altim trique

Contexte applicatif : recalage altimétrique

  • Algorithmes existants

    Maximum de vraisemblance (maillage) (vitesses assez bien connues et zone initiale d’incertitude assez précise) puis Kalman (EKF), et la Rao-Blackwellized Particle Filter.

  • Apport du KPKF : conditions d’emploi plus générales

    Vitesses initiales moins bien connues

    Zones d’incertitudes + importantes (6 km en x, y par ex)

    Estimation conjointe des positions et vitesses

  • Intérêt

    Survol + long de zones plates

    Utilisation d’une centrale inertielle moins performante


The rao blackwellized particle filter per johan nordlund niclas bergman

The Rao-Blackwellized Particle Filter(Per-Johan Nordlund, Niclas Bergman)

On écrit notre modèle sous la forme :

Bcp de divergences pour des grandes zones d’incertitudes !


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Les conditions initiales sont :

Nombre de mesures : 400

Période de mesures dt : 0.7 Sec

Wt est un bruit blanc gaussien

Bruit de mesure du radio altimètre :

Biais accélérométrique :

Biais gyrométrique :

Vitesse horizontal : 250 m/s

Incertitude initiale en x :

Incertitude initiale en y :

Incertitude initiale en z :

Incertitude initiale en vx :

Incertitude initiale en vY :

Incertitude initiale en vz :

Incertitude initiale en  :

Incertitude initiale en  :

Incertitude initiale en  :

Nombre de particules : N = 1500 pour le KPKF

50 tirages MC

KPKF : 2% de divergences

RB : 20 % de divergences


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

simulation des erreurs inertielles


Application du filtrage particulaire au recalage de navigation

Conclusions

  • Le KPKF réactualise l’ensemble des paramètres positions et vitesses; il prend en compte le caractère multimodal associé aux ambiguïtés de position de l’avion dans le plan horizontal, ce qui n’est pas vrai pour les filtres de recalage classique du type Kalman.

  • Le nombre de particules requis par l’algorithme n’augmente que peu avec la dimension de l’espace d’état (de dimension 15 dans notre cas).

  • Le KPKF converge plus rapidement que le RPF, la courbe d’écart type du KPKF atteint plus rapidement la PCRB et présente moins de divergences. Incertitude initiale beaucoup plus grande qu’avec la Rao Blackwellised Particle Filter.

  • La mise en œuvre du KPKF est simple et rapide. Cette simplicité algorithmique permet de traiter facilement d’autres problèmes plus complexes.

  • Le KPKF peut être appliqué dans un cadre plus général (non-linéarité de la dynamique/mesure pour toutes les composantes de l’état)


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