Da Bachelier alle nuove frontiere della finanza: un excursus guidato

1. Seminario di studi del Progetto COMPLEX SYSTEMS IN ECONOMICS Da Bachelier alle nuove frontiere della finanza: un excursus guidato Cristina Morpurgo Trieste, 16 Aprile 2004

2. Agenda • Excursus storico • Le origini: Martingale Model, Fair Game, Random Walk Model, EMH • Critiche • Le nuove frontiere della Finanza: sistemi dinamici non lineari, teoria del caos, statistica frattale • Cenni sulla Fractal Market Hypothesis e sulla Coherent Market Hypothesis

3. Fractal Market Hypothesis di Peters (1994) Coherent Market Hypothesis di Vaga (1990) Excursus teorico: tappe principali Martingale Model 1963Mandelbrot 1976Fama Anni ‘80 Anni ‘90 1900Bachelier Distribuzioni Pareto Stabili Modelli Arch, Garch.. Efficient Market Hypothesis (efficienza informativa) Sistemi dinamici non lineari Modello Random Walk Sistemi caotici 1964 Osborne Formalizzazione del processo random walk - variazione dei prezzi delle azioni segue moto browniano

4. Fractal Market Hypothesis di Peters (1994) Coherent Market Hypothesis di Vaga (1990) Excursus teorico: tappe principali Martingale Model 1963Mandelbrot 1976Fama Anni ‘80 Anni ‘90 1900Bachelier Distribuzioni Pareto Stabili Modelli Arch, Garch.. Efficient Market Hypothesis (efficienza informativa) Sistemi dinamici non lineari Modello Random Walk Sistemi caotici 1964 Osborne Formalizzazione del processo random walk - variazione dei prezzi delle azioni segue moto browniano Le origini

5. Le origini • Bachelier, 1900 Dissertazione di dottorato, nella quale si investigava, applicando il concetto di gioco equo, la correlazione lineare nei prezzi delle opzioni e dei futures trattati sulla borsa francese. Le variazioni dei prezzi si comportavano sulla base del modello random walk: le successive variazioni dei prezzi erano variabili random, indipendentie identicamente distribuite (i.i.d.). • Einstein, 1905 “Scoperta” dell’equazione che descrive il fenomeno del moto random delle molecole, noto come Moto Browniano (nome del botanico scozzese che per primo osservò tale fenomeno). Tale equazione era analoga a quella elaborata da Bachelier per descrivere il comportamento dei prezzi nei mercati finanziari. • Anni ‘50 Agli inizi degli anni ’50 gli economisti iniziano a prendere in considerazione il modello random walk, attribuito frequentemente a M. Kendall (1953). Nella metà degli anni ’50, Paul Samuelson e i suoi colleghi del MIT iniziano ad interessarsi alla dissertazione di dottorato di Bachelier: inizia a diffondersi il modello random walk tra gli economisti. • Primi anni ’60 Molti teorici dei mercati finanziari iniziano ad investigare i processi random nei mercati dei capitali. • Osborne, 1964 Nel suo studio sul moto Browniano, formalizza che i prezzi delle azioni seguono un processo random walk. In particolare, elabora un processo in base al quale le variazioni dei prezzi delle azioni possono essere equivalenti al moto di una particella in un fluido, ovvero il noto moto Browniano. Dato che le variazioni dei prezzi risultano indipendenti (ovvero costituiscono un processo random walk), ci si può aspettare che la distribuzione delle variazioni sia normale, con media stabile e varianza finita. Questo è il risultato del Teorema del Limite Centrale, o della Legge dei Grandi Numeri, in base al quale un campione di variabili random indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) risulta normalmente distribuito con il crescere della numerosità del campione. Prescindendo da qualsiasi valutazione sulla logica di Osborne, questo lavoro ha avuto il merito di aver raccolto diversi concetti sottostanti la random walk theory, che nell’insieme giustificano l’utilizzo dei calcoli probabilistici.

6. Le origini: Martingale Model (1/2) Forma più semplice del modello, dove rappresenta il prezzo dell’azione al tempo t e il set di informazioni disponibili al tempo t (ip. tutti i prezzi passati) Processo stocastico Tutte le informazioni disponibili in t sono ricomprese esclusivamente in NB: caratteristiche di 1. comprende solo elementi noti al tempo t 2. comprende almeno il prezzo corrente e quelli passati dell’asset considerata Se il processo d’investimento è connesso al sistema delle scommesse, allora detenere un’attività rischiosa è analogo a partecipare ad un fair game, nel senso che il valore atteso del profitto o della perdita è pari a zero. Gli investitori credono che detenere un’asset è analogo a partecipare a un gioco equo e hanno accesso alle informazioni detenute in Per ora l’ipotesi della martingala prevede che il tasso atteso di rendimento di un titolo rischioso sia pari a zero. A prescindere dall’interpretare o meno il processo d’investimento alla stregua di un sistema di scommesse, generalmente ci si attende un tasso atteso di rendimento diverso da zero (positivo). costante

7. Eventuali dividendi sono ricompresi in Le origini: Martingale Model (2/2) Riordinando i termini dell’equazione … può essere interpretato come il tasso atteso di rendimento del titolo rischioso, condizionato al set di informazioni . Nella teoria della probabilità, se si parla di submartingala L’interpretazione di come tasso atteso di rendimento può risultare più chiara riscrivendo il tasso di rendimento come , che si assume essere random Dato che il prezzo in t appartiene al set di informazioni disponibili in t, e quindi non è random La forza della martingala consiste nella costanza di , vale a dire che non varia con alcun elemento del set di informazioni. Questo implica che, utilizzando un’identità fondamentale della teoria della probabilità, il valore atteso non condizionato di è uguale al valore atteso condizionato. Di conseguenza le informazioni disponibili in tnon sono utili per prevedere , , ….,

8. Dal Martingale Model al Random Walk Model (1/2) Un altro modo di scrivere l’ultima equazione evidenziata è il seguente, trovato di frequente. Si noti che il Modello Random Walk presenta la stessa formulazione tout court dove Il Martingale Model pone poche restrizioni sul processo random che governa le variazioni dei prezzi: il tasso di rendimento in un istante di tempo non fornisce alcuna informazione sul tasso di rendimento in istanti successivi (in termini più precisi: il tasso di rendimento non è correlato con alcuna funzione di rendimento in istanti successivi di tempo). La maggior parte degli studi sui prezzi dei titoli impongono ulteriori restrizioni sulle distribuzioni di probabilità sottostanti al fine di ottenere delle restrizioni che siano testabili. Da questa tendenza sono derivati diversi modelli Random Walk, che differiscono tra loro in base alle diverse ipotesi sul termine di errore

9. Il Martingale Model e il modello Random Walk NON sono la stessa cosa, sebbene spesso vengano utilizzati come sinonimi • Non vi è un unico modello Random Walk, ma ve ne sono diverse versioni • Nel modello Random Walk, le restrizioni generalmente introdotte sono: (1) i termini sono statisticamente indipendenti per ogni k diverso da zero; (2) i termini sono statisticamente indipendenti e identicamente distribuiti, per ogni k diverso da zero. Si noti che dalla (1) si ricade nel Martingale Model, ma questo non implica tale restrizione. Dal Martingale Model al Random Walk Model (2/2) Hot points

10. Il mercato aggiusta i prezzi completamente e istantaneamente non appena delle nuove informazioni diventano disponibili Efficient Market Hypothesis (Fama, 1976) “Un mercato dei capitali efficiente è un mercato che risulta efficiente nel processare le informazioni”…. …“In un mercato efficiente, i prezzi riflettono pienamente le informazioni disponibili”

11. Insieme delle informazioni disponibili nell’istante t-1, rilevanti per determinare i prezzi dei titoli in t-1 (“stato del mondo”: informazioni presenti e passate di tutte le variabili rilevanti e relazione tra le variabili) Insieme di informazioni che il mercato utilizza al fine di determinare i prezzi dei titoli nell’istante t-1. Rappresenta un sottoinsieme dell’insieme delle informazioni disponibili Prezzo del titolo j nell’istante t-1, dove j =1, 2, …, n e n rappresenta il numero dei titoli sul mercato Funzione di densità di probabilità congiunta per i prezzi dei titoli al tempo (con ) riconosciuta dal mercato al tempo t-1 sulla base delle informazioni . “Vera” funzione di densità di probabilità congiunta per i prezzi dei titoli al tempo (con ) ricavata dalle informazioni . Efficient Market Hypothesis – Processo di formazione dei prezzi in t-1 Mercato Prezzi correnti appropriati per i singoli titoli (p1,t-1, …, pn,t-1), determinati da un modello di equilibrio del mercato Ipotesi di efficienza

12. = Efficient Market Hypothesis – Ipotesi di efficienza (Fama, 1976) L’insieme di informazioni che il mercato utilizza per determinare i prezzi dei singoli titoli nell’istante t-1, contiene, in un mercato efficiente, tutte le informazioni disponibili di conseguenza … Il mercato comprende le implicazioni delle informazioni disponibili per la distribuzione congiunta dei prezzi

13. Fractal Market Hypothesis di Peters (1994) Coherent Market Hypothesis di Vaga (1990) Excursus teorico: tappe principali 1900Bachelier 1963Mandelbrot 1976Fama Anni ‘80 Anni ‘90 Modello Random Walk Distribuzioni Pareto Stabili Modelli Arch, Garch.. Efficient Market Hypothesis (efficienza informativa) Sistemi dinamici non lineari 1964 Osborne Sistemi caotici Formalizzazione del processo random walk - variazione dei prezzi delle azioni segue moto browniano

14. Distribuzioni Pareto Stabili • Mandelbrot, 1963 • L’ipotesi della distribuzione gaussiana dei rendimenti viene messa seriamente in discussione: le ricerche accademiche avevano troppo a lungo ignorato il fenomeno della leptocurtosi riscontrato nelle distribuzioni dei rendimenti. L’approccio classico a questo problema consisteva nell’ipotizzare che i valori estremi erano generati da meccanismi diversi rispetto al resto delle osservazioni. Tuttavia, diversamente dagli attuari, gli investitori non possono ignorare la possibilità di grosse variazioni di prezzo prima di investire i propri fondi e, una volta deciso l’investimento, devono tenere presenti i possibili effetti sulla ricchezza investita. Mandelbrot propose, come possibile sostituto della distribuzione normale, una famiglia di distribuzioni chiamate da Mandelbrot stesso distribuzioni Pareto stabili, che, per definizione, sono qualsiasi distribuzione stabile ovvero invariante in somma. La proprietà della stabilità rappresenta la causa principale dell’interesse suscitato da questa distribuzione quale buona rappresentazione della distribuzione empirica dei rendimenti. La variazione del prezzo dell’azione in qualsiasi intervallo di tempo può essere considerata, infatti, la somma delle variazioni da transazione a transazione nel corso dell’intervallo considerato. Se le transazioni risultano distribuite nel tempo in modo abbastanza uniforme, e se le variazioni tra le transazioni sono variabili indipendenti, identicamente distribuite e Pareto stabili, allora le variazioni dei prezzi giornaliere, settimanali e mensili seguiranno una distribuzione Pareto stabile esattamente della stessa forma, eccezion fatta per la scala e il punto d’origine. L’ipotesi di Mandelbrot può anche essere vista come una generalizzazione del teorema del limite centrale.

15. Distribuzioni Pareto Levy Stabili – rappresentazione di Mandelbrot (1/3) • δ è il cosiddetto location parameter. La media di una distribuzione dipende da δ: un δ posto pari a zero determina una distribuzione “normalizzata”, ovvero la media della distribuzione è posta pari a zero, il che coincide con la media della classica distribuzione normale • c, è lo scale parameter e risulta particolarmente rilevante nel confronto tra distribuzioni reali. In un processo di normalizzazione, effettuato al fine di comparare una distribuzione empirica e la distribuzione normale classica, con media zero e deviazione standard pari a uno, c è simile alla deviazione campionaria, ovvero rappresenta una misura di dispersione 4 parametri:α, β, c, δ Ruolo: definire la scala della distribuzione, relativamente alla media e alla dispersione intorno al valore medio. Non sono dei parametri caratteristici di nessuna distribuzione in particolare. Quando c = 1 e δ = 0 si parla di una distribuzione in forma ridotta

16. Distribuzioni Pareto Levy Stabili – rappresentazione di Mandelbrot (2/3) • β è il cosiddetto skewness parameter, ovvero definisce il grado di simmetria intorno a δ, e può assumere valori compresi tra -1 e +1, estremi inclusi (-1 ≤ β ≤ +1). Per β = 0, la distribuzione è perfettamente simmetrica intorno al valore medio δ; per β < 0 si ha una asimmetria negativa, mentre per β > 0 si ha una asimmetria positiva • il parametro α, definito characteristic exponent, determina la dimensione del picco in corrispondenza al valore medio δ e lo spessore delle code. Può assumere i seguenti valori: 0 < α ≤ 2. Per α = +2 si ricade nel caso della distribuzione normale, con varianza pari a 2*c2 (Peters, 1994), per α < 2 la varianza della popolazione diventa infinita o indefinita, per 1 < α < 2 la media della popolazione esiste, mentre per α ≤ 1 anche la media della popolazione diventa infinita. La distribuzione normale, dunque, rappresenta, per α = +2, un caso particolare di distribuzione frazionaria stabile, con parametri c = 1, δ = 0 e β = 0.αrappresenta la dimensione frattale 4 parametri:α, β, c, δ Ruolo: determinano la forma della distribuzione e dipendono dal processo di generazione di questa.

17. Distribuzioni Pareto Levy Stabili – rappresentazione di Mandelbrot (3/3) Caratteristiche • Self-similarity (autosomiglianza a cambiamenti di scala , c) • Invarianza in somma (la somma di due o più distribuzioni frattali con esponente caratteristico α mantiene la stessa forma e lo stesso α) • Discontinuità (effetto Noah di Mandelbrot, variazioni ampie, improvvise e discontinue, quando i mercati perdono la loro struttura frattale)

18. Tuttavia… Individuazione di distribuzioni statistiche che meglio riescano a cogliere le caratteristiche dei mercati finanziari Elaborazione di modelli di mercato che giustifichino le caratteristiche individuate Proprietà statistiche dei rendimenti: critiche Gli ultimi trent’anni di ricerca sono stati dominati dall’Efficient Market Hypothesis I rendimenti delle attività finanziarie seguono un andamento del tipo random walk e la distribuzione che li descrive è la normale I rendimenti di breve termine generano delle distribuzioni di frequenza caratterizzate da un elevato picco in corrispondenza del valore medio e da un ispessimento delle code (fat tails) … si tratta di un’approssimazione

19. Econofisica: nuova disciplina, che si avvale delle conoscenze raggiunte nei vari campi della fisica, della matematica, dell’economia e della finanza Le nuove frontiere della Finanza: l’Econofisica Negli ultimi trent’anni…. Mercato globale delle monete (1973) Esplosione dei mercati dei derivati Crisi dei mercati finanziari (1987, …) Rilevanza dell’elettronica e dell’informatica Computer sempre più potenti Notevole quantità di dati storici • Teoria dei sistemi dinamici non lineari • Teoria del caos • Teoria dei frattali

20. Sistema dinamico Sistemi dinamici • Dinamica = regola, come un sistema si evolve • Condizione iniziale = stato di partenza di un sistema Branca ben definita della matematica La regola dinamica è linearmente proporzionale rispetto alle variabili del sistema (equazioni differenziali) Può essere analizzato spezzando il problema in una serie di blocchi, per poi sommarli nuovamente per costruire una soluzione completa Sistema dinamico non lineare Campo interdisciplinare (matematica, fisica …) La regola dinamica non è linearmente proporzionale rispetto alle variabili del sistema (equazioni differenziali) Non può essere analizzato spezzando il problema in una serie di blocchi, per poi sommarli nuovamente per costruire una soluzione completa

21. Sistemi caotici (1/2) Scienza della complessità Sistemi caotici Studio del comportamento di modelli non lineari. Comprende i modelli che presentano un comportamento “caotico” Possono presentare un’ampia gamma di comportamenti (combinazione di ordine e disordine, con delle transizioni discontinue, definite punti critici). Vengono spesso descritti come dei sistemi deterministici che mostrano un comportamento complesso Le serie storiche caotiche spesso presentano dei cicli non periodici e dei comportamenti trend-reinforcing

22. Sistemi caotici (2/2) Sistemi feedback Effetto farfalla (Lorenz, ‘60) Comportamento strano e fortemente imprevedibile Sensitive dependence sulla condizione iniziale(Poincare, 1908) Sensitive dependence sulla condizione iniziale: piccole differenze nella condizione iniziale determinano delle differenze molto grosse nel fenomeno finale. Un piccolo errore nella prima determineranno un errore molto grosso nell’ultimo. Effetto farfalla: una farfalla che sbatte le ali nella foresta tropicale potrebbe determinare un uragano nell’Oceano Atlantico un paio di mesi dopo. Eventi molto piccoli possono avere degli effetti molto grossi. L’effetto farfalla suggerisce che non considerare in un modello delle variabili o delle interdipendenze tra variabili, in quanto ritenute insignificanti, potrebbe originare un modello che di fatto non rappresenta la realtà. Elemento centrale chiave della teoria del caos

23. Sistemi caotici e statistica frattale Sistemi caotici Frattali Quasi inevitabilmente danno origine a dei frattali Analisi frattale spesso risulta particolarmente utile per descrivere la struttura statistica di un sistema dinamico caotico Sono entrambi sistemi dinamici non lineari che presentano una memoria (feedback). Tuttavia …. Caos Sentitive dependence; imprevedibilità Frattali Auto-somiglianza; invarianza in scala

24. I mercati finanziari quali possibili sistemi caotici Da un punto di vista teorico: utile nella costruzione del modello matematico sottostante, che permette di comprendere in maniera più precisa le dinamiche sottostanti. Vantaggi Da un punto di vista pratico: modello potrebbe rendere più agevole un qualche processo di controllo e, in alcuni casi, potrebbe permettere di effettuare delle previsioni di breve termine Hot points • Non è stato ancora dimostrato che i mercati finanziari presentano una dinamica caotica • I sistemi caotici non sono prevedibili • Non è stata individuata, in modo unanime, alcuna funzione di distribuzione di probabilità atta a sostituire la distribuzione gaussiana comunemente utilizzata per i rendimenti • Non viene tuttavia escluso che sia possibile effettuare una qualche previsione di breve termine, prima che l’effetto farfalla inizi a dominare il sistema

25. Self-similarity Frattali matematici Frattali naturali Serie storiche frattali Auto-somiglianza quantitativa In senso spaziale Auto-somiglianza qualitativa In senso spaziale Auto-somiglianza qualitativa In senso temporale “L’andamento delle serie storiche dei rendimenti su base giornaliera, settimanale e mensile dell’indice S&P 500 per 40 osservazioni successive risultano assolutamente simili e non distinguibili nel caso in cui non vengano specificate le scale sugli assi” (Peters, 1991) A diversi livelli di scala, le serie presentano simili caratteristiche statistiche

26. Serie storiche Casualirappresentazione di un processo stocastico sottostante Frattalicombinazione di casualità e di una regola generatrice deterministica La Rescaled Range Analysis e l’Esponente di Hurst Analisi dell’Esponente di Hurst, H 0<=H <0,50 H =0,50 0,50 <H <=1 • Serie storica antipersistente • Il sistema percorre una distanza inferiore rispetto ad una serie random walk • La variabile in questione tende a modificare di frequente la propria direzione • Elevata volabilità, per i frequenti cambiamenti di valore • Serie storica del tipo random walk, tipica dei sistemi indipendenti • Gli eventi passati non influenzano il futuro: non vi è alcuna memoria • Il valore della variabile in un determinato istante è l’unico dato rilevante per stimare la direzione che questa può intraprendere nell’istante immediatamente successivo • Serie storica persistente, caratterizzata da effetti long memory. Quello che accade oggi influenzerà gli eventi futuri all’infinito • In termini di dinamiche del caos, vi è una sensitive dependence dalle condizioni iniziali • L’effetto long memory sussiste indipendentemente dalla scala temporale • Non vi è una scala temporale caratterizzante, elemento chiave delle serie storiche frattali

27. se H=0,50 Il moto browniano e il moto browniano frazionario Il moto browniano, B(t), rappresenta nel continuo il complemento del processo random walk (Bachelier, 1900) Mandelbrot Wiener Brownian motion (WBM) Fractional Brownian motion (FBM) per ogni t e T per ogni t e T Processo random con incrementi gaussiani che soddisfa la descritta regola di diffusione cosiddetta Fickian Processo random con incrementi gaussiani che soddisfa la descritta regola di diffusione cosiddetta non - Fickian

28. Fractal Market Hypothesis - obiettivi A fronte delle critiche mosse all’Efficient Market Hypothesis, Edgar E. Peters (1994) ha proposto una teoria alternativa, la Fractal Market Hypothesis, nel tentativo di cogliere le evidenze empiriche riscontrate per i mercati finanziari • Perché esistono i mercati • Come e perché funzionano i mercati Il mercato esiste per garantire un sistema liquido e stabile, in cui i soggetti possono effettuare delle operazioni di compravendita

29. Critiche all’Efficient Market Hypothesis (Peters) Efficient Market Hypothesis Fractal Market Hypothesis • Investitore razionale medio • Stesso orizzonte temporale • Medesima reazione di fronte alle informazioni • Mercati semplici, ordinati • Non considera l’elemento “liquidità del sistema” • Diversità degli investitori (motivazioni, strategie d’investimento) • Diversi orizzonti temporali • Diverse reazioni di fronte alle informazioni • Mercati complessi, disordinati • La liquidità del sistema permette di spiegare i crash del sistema Mercati stabili A stabilizzare il mercato sono gli investitori di lungo termine, disposti a entrare sul mercato e acquistare strumenti finanziari non ritenuti desiderabili dagli altri

30. Origine La liquidità del sistema(Peters) La liquidità del sistema garantisce che: • il prezzo pagato per un titolo sia vicino a quello considerato equo (fair) dal mercato • investitori con diversi orizzonti temporali possano effettuare operazioni di compravendita in modo efficiente • non vi siano situazioni di panico, tipo “corsa agli sportelli”, che si verificano allorquando domanda e offerta non sono in equilibrio Investitori con diversi orizzonti temporali (investitore di lungo termine, investitore intraday), diversi set di informazioni ritenute rilevanti, e, di conseguenza, diversi concetti di prezzo equo

31. La stabilità del sistema(Peters) Un mercato liquido è un mercato stabile Gli investitori condividono lo stesso livello di rischio (rettificato per un fattore di scala che tiene conto dell’orizzonte temporale dell’investimento), e questo spiega perché le distribuzioni di frequenza dei rendimenti si assomigliano se calcolate per diversi orizzonti temporali (self-similarity) Un mercato diventa instabile quando si rompe la struttura frattale, struttura che esiste (in natura) in quanto è stabile

32. La Coherent Market Hypothesis (Vaga, 1990) Il mercato azionario è un sistema dinamico complesso Quattro fasi • Parametro d’ordine • rendimento dei titoli azionari (q) Fase random Fase di transizione Parametri di controllo • sentiment (k) • bias dei fondamentali (h) • numero (costante) di aziende quotate nel mercato Fase coerente Fase caotica Teoria dell’imitazione sociale (Callan, Shapiro, 1974) Da una fase di disordine a una fase di ordine Modello di Ising (fenomeno del ferromagnetismo)

33. Parametro responsabile della forma della funzione di potenziale e della distribuzione di probabilità del parametro d’ordine. Variazioni del sentiment permettono il passaggio tra i diversi stati La Coherent Market Hypothesis – parametri di controllo Parametri di controllo • sentiment (k) • bias dei fondamentali (h) • numero (costante) di aziende quotate nel mercato Il sentiment, k, consente di quantificare il livello di interazione nel comportamento dei singoli investitori. Questo parametro di controllo può assumere valori compresi tra 1,8 (corrispondente all’assenza di interazione tra gli investitori, che operano in modo razionale e indipendente, e quindi a una fase random) e 2,2 (corrispondente a un comportamento di massa, al cosiddetto crowd behavior, e quindi a un livello elevato di group think). Il valore centrale dell’intervallo di valori che k può assumere, ovvero 2,0, rappresenta la soglia critica del sistema (transizione instabile). Il bias dei fondamentali,h, prende in considerazione tutte le grandezze di carattere economico, politico, fiscale e commerciale che determinano il contesto macroeconomico in cui i soggetti operano. Può assumere valori compresi tra -0,02 e +0,02. h = - 0,02 -- fase di bear market h = 0,0 -- situazione neutrale h = + 0,02 -- fase di bull market. Nel modello il valore di h dipende soprattutto dalle politiche adottate dalle autorità monetarie, nella fattispecie la Federal Reserve

34. La funzione di densità di probabilità dell’indice di rendimento del mercato (Vaga) f(q) probabilità di rendimento annuo pari a q K(q)=sen h (k q + h) – 2 q cos h (k q +h) n = numero di gradi di libertà (numero società quotate) = 186 k = sentiment (crowd behavior) h = bias dei fondamentali obiettivo di normalizzare l’equazione

35. Transizione da una fase random walk a una di crowd behavior (1/2) • Sulla base dei valori assunti dai parametri di controllo del modello, ovvero k, il sentiment, e h, il bias dei fondamentali, il mercato transita attraverso quattro fasi: • true random walk con k = 1,8 e h = 0,00 • unstable transition con k = 2,0 e h = 0,00 • coherent market - crowd behaviour con il bias dei fondamentali in fase di bull market e k = 2,2 e h = 0,02 • cahotic market- crowd behaviour con il bias dei fondamentali in fase di leggero bear market e k = 2,2 e h = -0,005

36. Evoluzione del mercato in funzione dei parametri di controllo