matematika diskrit
Download
Skip this Video
Download Presentation
Matematika Diskrit

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 32

Matematika Diskrit - PowerPoint PPT Presentation


  • 191 Views
  • Uploaded on

Matematika Diskrit. 4. TEORI BILANGAN. Kuliah 7. Dr.-Ing. Erwin Sitompul. http://zitompul.wordpress.com. Bilangan Bulat. Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal. Misalnya: 8 ; 21 ; 8765 ; –34 ; 0.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Matematika Diskrit' - gratia


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
matematika diskrit

Matematika Diskrit

4. TEORI BILANGAN

Kuliah 7

Dr.-Ing. Erwin Sitompul

http://zitompul.wordpress.com

slide2

Bilangan Bulat

  • Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal.

Misalnya: 8 ; 21 ; 8765 ; –34 ; 0.

  • Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil, yang mempunyai pecahan desimal.

Misalnya: 8,0 ; 34,25 ; 0,02.

slide3

Sifat Pembagian Pada Bilangan Bulat

  • Misalkan a dan b bilangan bulat, a 0.

Maka ahabismembagi b (a divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga b = ac.

  • Notasi: a | b jika b = ac, cZ dan a 0.

Contoh:

(a) 4 | 12 karena 12/4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4  3.

(b) 4 | 13 karena 13/4 = 3,25 (bukan bilangan bulat).

slide4

Teorema Euclidean

Teorema Euclidean 1:

Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0.

Jika m dibagi dengan n maka terdapat bilangan bulat unik q (quotient) dan r (remainder), sedemikian sehingga

m = nq + r

dengan 0 r < n.

Contoh:

(a)1987/97 = 20, sisa 47

1987 = 9720 + 47

(b) 25/7 = 3, sisa 4

25 = 73 + 4

(c) –25/7 = –4, sisa 3

–25 = 7(–4)+ 3

Tetapi bukan –25 = 7(–3) – 4,

karena remainderr = –4 (sementara syarat 0 r < n)

slide5

Pembagi Bersama Terbesar (PBT)

  • Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol.
  • Pembagi bersama terbesar (PBT, greatest common divisor) dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga d | a dan d | b.
  • Dalam hal ini dituliskan bahwa PBT(a,b) = d.

Contoh:

Tentukan PBT(45,36) !

  • Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.
  • Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
  • Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9.

Dengan cara enumerasi di atas, didapatkan PBT(45,36) = 9.

slide6

Pembagi Bersama Terbesar (PBT)

Teorema Euclidean 2:

Misalkan m dan n bilangan bulat, n > 0,sedemikian sehingga m = nq + r, 0 r < n.

Maka PBT(m,n) = PBT(n,r).

Contoh:

Ambil nilai m = 66, n = 18,

66 = 183 + 12

Maka PBT(66,18) = PBT(18,12) = 6

slide7

Algoritma Euclidean

  • Tujuan

Algoritma untuk mencari PBT dari dua buah bilangan bulat.

  • Penemu

Euclid, seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritma tersebut dalam bukunya, “Element”.

slide8

Algoritma Euclidean

Bila m dan n adalah bilangan bulat tak negatif dengan mn,

misalkan r0 = m dan r1 = n.

Lakukan pembagian berikut secara berturut-turut untuk memperoleh:

r0 = r1q1 + r2 0 r2r1,

r1 = r2q2 + r3 0 r3r2,

ri–2 = ri–1qi–1 + ri 0 riri–1,

ri–1 = riqi + 0

Menurut Teorema Euclidean 2,

PBT(m,n) = PBT(r0,r1) = PBT(r1,r2) = … =

PBT(ri–2,ri–1) = PBT(ri–1,ri) = PBT(ri,0) = ri

Jadi, PBT dari m dan n adalah sisa terakhir yang tidak nol dari runtunan pembagian tersebut, yaitu ri.

slide9

Algoritma Euclidean

Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif m dan n (mn). Algoritma Euclidean berikut mencari pembagi bersama terbesar dari m dan n.

Algoritma Euclidean

1. Jika n = 0 maka m adalah PBT(m,n); STOP.

Jika n 0, lanjutkan ke Langkah 2.

2. Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya.

3. Ganti nilai m dengan nilai n, dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali ke Langkah 1.

slide10

Algoritma Euclidean

Contoh:

Ambil m = 80, n = 12, dengan demikian syarat mn dipenuhi.

80 = 126 + 8

12 = 81 + 4

8 = 42 + 0

n = 0  m = 4 adalah PBT(80,12) = 4; STOP.

slide11

Kombinasi Linier

  • PBT(a,b) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier (linear combination) dari a dan b dengan koefisien-koefisennya yang dapat dipilih bebas.

Contoh:

PBT(80,12) = 4, maka 4 = (–1)80 + 712

Koefisien, dapat dipilih bebas

Teorema Kombinasi Linier:

Misalkan a dan b bilangan bulat positif,

maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga PBT(a,b) = ma + nb.

slide12

Kombinasi Linier

Contoh:

Nyatakan PBT(312,70) = 2 sebagai kombinasi linier dari 312 dan 70!

Solusi:

Terapkan Algoritma Euclidean untuk memperoleh PBT(312,70) = 2 sbb:

312 = 470 + 32 (1)

70 = 232 + 6 (2)

32 = 56 + 2 (3)

6 = 32 + 0 (4)

Susun (3) menjadi

2 = 32 – 56 (5)

Susun (2) menjadi

6 = 70 – 232 (6)

Masukkan (6) ke (5) menjadi

2 = 32 – 5(70 – 232)

= 132 – 570 + 1032

= 1132 – 570 (7)

Susun (1) menjadi

32 = 312 – 470 (8)

Masukkan (8) ke (7) menjadi

2 = 1132 – 570

= 11(312 – 470) – 570

= 11312 – 4970

Jadi, PBT(312, 70) = 2

= 11312 – 4970

aritmatika modulo
Aritmatika Modulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif, maka

a mod m memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi dengan m

a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m

Hasil dari modulo m terletak di dalam himpunan { 0,1,2,…,m–1 }

kongruen
Kongruen
  • Amati 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3.

Maka dikatakan 38  13 (mod 5).

Cara baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5.

  • Misalkan a dan b bilangan bulat dan m > 0.

Jika m habis membagi a – b, maka ab (mod m).

  • Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulus m,

maka ditulis a b (mod m).

kongruen1
Kongruen

Contoh:

  • 17  2 (mod 3)

 3 habis membagi 17–2 = 15

  • –7  15 (mod 11)

 11 habis membagi –7–15 = –22

  • 12  2 (mod 7)

 7 tidak habis membagi 12–2 = 10

  • –7  15 (mod 3)

 3 tidak habis membagi –7–15 = –22

kongruen2
Kongruen

ab (mod m) dapat dituliskan sebagai

a = b + km (k adalah bilangan bulat).

Contoh:

  • 17  2 (mod 3)  17 = 2 + 53
  • –7  15 (mod 11)  –7 = 15 + (–2)11

a mod m = r dapat juga ditulis sebagai ar (mod m).

Contoh:

  • 23 mod 5 = 3  23  3 (mod 5)
  • 6 mod 8 = 6  6  6 (mod 8)
  • 0 mod 12 = 0  0  0 (mod 12)
  • –41 mod 9 = 4  –41  4 (mod 9)
  • –39 mod 13 = 0  –39  0 (mod 13)
kongruen3
Kongruen

Teorema Kongruen:

Misalkan m adalah bilangan bulat positif.

1. Jika ab (mod m) dan c adalah sembarang bilangan bulat, maka

  • (a + c)  (b + c) (mod m)
  • acbc (mod m)
  • apbp (mod m) , p bilangan bulat tak-negatif

2. Jika ab (mod m) dan cd (mod m), maka

  • (a + c)  (b + d) (mod m)
  • acbd (mod m)
kongruen4
Kongruen

Contoh:

Misalkan 17  2 (mod 3) dan 10  4 (mod 3), maka menurut Teorema Kongruen,

  • 17 + 5  2 + 5 (mod 3)  22  7 (mod 3)
  • 175  25 (mod 3)  85  10 (mod 3)
  • 17 + 10  2 + 4 (mod 3)  27  6 (mod 3)
  • 1710  24 (mod 3)  170  8 (mod 3)
relatif prima
Relatif Prima

Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika PBT(a,b) = 1.

Contoh:

  • 20 dan 3 relatif prima, sebab PBT(20,3) = 1.
  • 7 dan 11 relatif prima, karena PBT(7,11) = 1.
  • 20 dan 5 tidak relatif prima, sebab PBT(20,5) = 5 ≠ 1.

Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga ma + nb = 1.

Contoh:

  • Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBT(20,3) =1, sehingga dapat ditulis 220 + (–13)3 = 1 (m = 2, n = –13).
  • Bilangan 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBT(20,5) ≠ 1, sehingga 20 dan 5 tidak dapat dituliskan m20 + n5 = 1.
inversi modulo
Inversi Modulo
  • Di dalam aritmatika bilangan riil, inversi (balikan, inverse) dari perkalian adalah pembagian.
  • Contohnya, inversi 4 adalah 1/4, sebab 4  1/4 = 1.
  • Di dalam aritmatika modulo, masalah menghitung inversi modulo lebih sukar.
  • Jika a dan m relatif prima dan m > 1, maka terdapat inversi (balikan) dari a modulo m.
  • Balikan dari a modulo m adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a 1 (mod m).
inversi modulo1
Inversi Modulo

Contoh:

Tentukan balikan dari 4 (mod 9) !

Solusi:

Karena PBT(4,9) = 1, maka inversi dari 4 (mod 9) ada.

Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa

9 = 24 + 1.

Susun persamaan di atas menjadi

  –24 + 19 = 1.

Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa–2 adalah inversi (balikan) dari 4 (mod 9).

 Periksa bahwa  –24  1 (mod 9)

inversi modulo2
Inversi Modulo

Catatan: Setiap bilangan yang kongruen dengan –2 (mod 9) adalah juga inversi dari 4.

Contoh:

  • 7  –2 (mod 9)  9 habis membagi 7 – (–2) = 9
  • –11  –2 (mod 9)  9 habis membagi –11 – (–2) = –9
  • 16  –2 (mod 9)  9 habis membagi 16 – (–2) = 18
inversi modulo3
Inversi Modulo

Contoh:

Tentukan balikan dari 17 (mod 7) !

Solusi:

Karena PBT(17,7) = 1, maka inversi dari 17 (mod 7) ada.

Dari Algoritma Euclidean diperoleh bahwa

17 = 27 + 3 (1)

7 = 23 + 1 (2)

3 = 31 + 0 (3)

Susun (2) menjadi

  1 = 7 – 23 (4)

Susun (1) menjadi

3 = 17 – 27 (5)

Masukkan (5) ke (4)

1 = 7 – 2(17 – 27)

1 = –217 + 57

Dari persamaan terakhir diperoleh bahwa –2 adalah inversi (balikan) dari 17 (mod 7)

 Periksa –217  1 (mod 7)

inversi modulo4
Inversi Modulo

Contoh:

Tentukan balikan dari 18 (mod 10) !

Solusi:

Karena PBT(18,10) = 2 ≠ 1, maka inversi dari 17 (mod 7) tidak ada.

kongruensi linier
Kongruensi Linier

Kongruensi linier berbentuk:

axb (mod m),

dimana m > 0, a dan b sembarang bilangan bulat, dan x adalah variabel bilangan bulat.

Pemecahan:

ax = b + km  x = (b + km) / a

Cobakan untuk k = 0, 1, 2, … dan k = –1, –2, … yang memberikan hasil x bilangan bulat.

kongruensi linier1
Kongruensi Linier

Contoh:

Tentukan solusi untuk 4x 3 (mod 9) !

Solusi:

4x 3 (mod 9)  x = (3 + k9 ) / 4

k = 0 x = (3 + 09) / 4 = 3/4  bukan solusi

k = 1 x = (3 + 19) / 4 = 3  solusi

k = 2 x = (3 + 29) / 4 = 21/4  bukan solusi

k = 3, k = 4  tidak memberi solusi

k = 5 x = (3 + 59) / 4 = 12  solusi

k = –1 x = (3 – 19) / 4 = –6/4  bukan solusi

k = –2 x = (3 – 29) / 4 = –15/4  bukan solusi

k = –3 x = (3 – 39) / 4 = –6  solusi

k = –7 x = (3 – 79) / 4 = –15  solusi

Nilai-nilai x yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …

kongruensi linier2
Kongruensi Linier

Contoh:

Tentukan solusi untuk 2x 3 (mod 4) !

Solusi:

2x 3 (mod 4)  x = (3 + k4 ) / 2

  • Oleh karena k4 adalah selalu bilangan genap, maka 3 + k4 akan selalu memberikan hasil bilangan ganjil.
  • Bila bilangan ganjil dibagi 2, maka hasilnya akan selalu bilangan pecahan.
  • Dengan demikian, tidak ada nilai x yang memenuhi2x 3 (mod 4).
bilangan prima
Bilangan Prima
  • Bilangan bulat positif p (p > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan p.

Contoh:

23 adalah bilangan prima, karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23.

  • Bilangan selain prima disebut bilangan komposit (composite).

Contoh:

20 adalah bilangan komposit, karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.

aplikasi teori bilangan isbn
Aplikasi Teori Bilangan: ISBN
  • ISBN (International Standard Book Number)
  • Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya 0–3015–4561–9.
  • ISBN terdiri atas empat bagian kode:
    • Kode yang mengidentifikasikan bahasa
    • Kode yang mengidentifikasikan penerbit
    • Kode unik untuk buku tersebut
    • Karakter uji pada posisi terakhir (berupa angka atau huruf X)
aplikasi teori bilangan isbn1
Aplikasi Teori Bilangan: ISBN
  • Karakter uji dipilih sedemikian hingga

Contoh:

ISBN 0–3015–4561–8

0 : kode kelompok negara berbahasa Inggris,

3015 : kode penerbit

4561 : kode unik buku yang diterbitkan

8 : karakter uji.

Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:

  10 + 23 + 30 + 41 + 55 + 64 + 75 + 86 + 91 = 151

Jadi, karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8

aplikasi teori bilangan isbn2
Aplikasi Teori Bilangan: ISBN

Contoh:

ISBN 978-3-8322-4066-0

  • Mulai Januari 2007 digunakan ISBN dengan 13 digit
  • Cara perhitungan menjadi berbeda dan dipergunakan modulo 10

Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:

  91 + 73 + 81 + 33 + 81 + 33 +

21 + 23 + 41 + 03 + 61 + 63 = 100

Jadi, karakter ujinya adalah 100 + x13 0 (mod 10)

x13 = 0

pekerjaan rumah pr6
Pekerjaan Rumah (PR6)

No.1:

Tentukan PBT(216,88) dan nyatakanlah PBT tersebut sebagai kombinasi linier 216 dan 88.

No.2:

Diberikan sebuah kode ISBN-13: 978-0385510455. Periksalah apakah kode tersebut sahih atau tidak. Petunjuk: Periksa karakter uji dari ISBN tersebut.

ad