1 / 38

Matematika Diskrit

Matematika Diskrit. 6. GRAF. Kuliah 9. Dr.-Ing. Erwin Sitompul. http://zitompul.wordpress.com. Pekerjaan Rumah (PR7).

joshwa
Download Presentation

Matematika Diskrit

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matematika Diskrit 6. GRAF Kuliah 9 Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

  2. Pekerjaan Rumah (PR7) Seorang ketua dan seorang bendahara dari Himpunan Mahasiswa IT, Extension Program, PU, akan dipilih dari 50 orang anggotanya. Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih ketua dan bendahara, apabila: (a) Tidak ada pembatasan khusus. (b)Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua. (c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau tidak sama sekali. (d)Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama. • Posisi ketua himpunan berbeda dengan posisi bendahara himpunan. • Urutan penentuan posisi dalam hal ini diperhatikan. • Permasalahan pada PR ini berhubungan dengan permutasi.

  3. Solusi Pekerjaan Rumah (PR7) (a) Tidak ada pembatasan khusus. (b) Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua. Amir tidak terpilih sebagai ketua dan tidak mau bertugas, akibatnya dari 49 anggota lain akan dipilih ketua dan bendahara Amir terpilih sebagai ketua, dengan 49 pilihan untuk mengisi posisi bendahara

  4. Solusi Pekerjaan Rumah (PR7) (c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau tidak sama sekali. Keinginan Budi dan Cora tidak tercapai, dari 48 orang akan dipilih 2 orang untuk mengisi posisi yang tersedia Budi dan Cora terpilih untuk bertugas bersama-sama, terdapat 2 cara

  5. Solusi Pekerjaan Rumah (PR7) (d)Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama. Dudi dan Encep sama-sama tidak terpilih, baik sebagai ketua maupun bendahara Encep sebagai bendahara, Dudi tidak sebagai ketua Dudi sebagai bendahara, Encep tidak sebagai ketua Encep sebagai ketua, Dudi tidak sebagai bendahara Dudi sebagai ketua, Encep tidak sebagai bendahara Kejadian dimana Dudi dan Encep bekerja bersama-sama Keseluruhan cara yang mungkin

  6. Definisi Graf • Graf digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antara obyek-obyek tersebut. • Gambar di bawah ini adalah sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.

  7. Jembatan Königsberg (1736) • Bisakah orang melalui setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat semula? • Sebuah graf dapat merepresentasikan rangkaian jembatan Königsberg: • Simpul (vertex)  menyatakan daratan • Busur (arc) atau sisi (edge)  menyatakan jembatan

  8. Representasi Graf Graf G = (V,E) dimana: V = Himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices) = { v1,v2,...,vn } E = Himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang simpul = { e1,e2,...,en }

  9. Representasi Graf • G1 adalah graf dengan V = { 1,2,3,4 } E = { (1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4)} G1 Graf sederhana

  10. Representasi Graf • G2 adalah graf dengan V = { 1,2,3,4 } E = { (1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4)} = { e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7} G2 Graf ganda

  11. Representasi Graf • G3 adalah graf dengan V = { 1,2,3,4 } E = { (1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3) } = { e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8 } G3 Graf semu

  12. Klasifikasi Graf Berdasarkan ada tidaknya gelang (loop) atau sisi ganda (double edge) pada suatu graf, maka graf diklasifikasikan atas 2 jenis: 1. Graf sederhana (simple graph), yaitu graf yang tidak mempunyai gelang maupun sisi ganda. 2. Graf tak-sederhana (unsimple graph), yaitu graf mempunyai sisi ganda atau gelang.

  13. Klasifikasi Graf Berdasarkan orientasi arah pada sisinya, maka secara umum graf diklasifikasikan atas 2 jenis: 1. Graf tak-berarah (undirected graph), yaitu graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. 2. Graf berarah (directed graph atau digraph), yaitu graf yang setiap sisinya mempunyai orientasi arah.

  14. Contoh Terapan Graf • Analisa Program t:=0; read(x); while x <> 1945 do begin if x < 0 then writeln(‘Tahun tidak boleh negatif.’); else t:=t+1; read(x); end; writeln(‘Tertebak sesudah’,t,’kali coba.’); 1 : t:=0 2 : read(x) 3 : x <> 1945 4 : x < 0 5 : writeln(‘Tahun...’) 6 : t:=t+1 7 : read(x) 8 : writeln(‘Tertebak ...)

  15. Contoh Terapan Graf • Teori Automata pada Mesin Penjaja(Vending Machine) D : Dime (10 cent) Q : Quarter (25 cent) Harga 1 botol minuman 45 cent

  16. Terminologi Graf 1. Ketetanggaan (Adjacency) • Dua buah simpul dikatakan bertetanggabila keduanya terhubung langsung. • Tinjau graf G1: Simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3. Simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4. G1

  17. Terminologi Graf 2. Bersisian (Incidency) • Untuk sembarang sisi e = (vj,vk) dikatakan ebersisian dengan simpul vj , dan ebersisian dengan simpul vk . • Tinjau graf G1: Sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3. Sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4. Sisi (1,2) tidak bersisian dengan simpul 4. G1

  18. Terminologi Graf 3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) • Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. • Tinjau graf G4: Simpul 5 adalah simpul terpencil. G4

  19. Terminologi Graf 4. Graf Kosong (Empty Graph, Null Graph) • Graf kosong adalah graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong. • Tinjau graf G5: merupakan graf kosong. G5

  20. Terminologi Graf 5. Derajat Simpul (Degree of Vertex) • Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. • Notasi: d(v). • Tinjau graf G1: d(1) = d(4) = 2. d(2) = d(3) = 3. G1

  21. Terminologi Graf • Tinjau graf G4: d(5) = 0  simpul terpencil d(4) = 1  simpul gantung (pendantvertex) • Tinjau graf G6: d(1) = 3  bersisian dengan sisi ganda d(3) = 4  bersisian dengan sisi gelang (loop) G4 G6

  22. Terminologi Graf • Pada graf berarah: din(v) = derajat-masuk (in-degree) = jumlah busur yang masuk ke simpul dout(v) = derajat-keluar (out-degree) = jumlah busur yang keluar dari simpul v d(v) = din(v) + dout(v)

  23. Terminologi Graf • Tinjau graf G7: din(1) = 2 dout(1) = 1 din(2) = 2 dout(2) = 3 din(3) = 2 dout(3) = 1 din(4) = 1 dout(4) = 2 G7

  24. Terminologi Graf Lemma Jabat Tangan (Handshake Lemma) • Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. • Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka • Tinjau graf G1: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = = 2 + 3 + 3 + 2 = 2  jumlah sisi = 2  5 G1

  25. Terminologi Graf • Tinjau graf G4: d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) = 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 2  jumlah sisi = 2  4 • Tinjau graf G6: d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 2  jumlah sisi = 2  5 G4 G6

  26. Terminologi Graf Contoh: Diketahui bahwa sebuah graf memiliki lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpulnya adalah: (a) 2, 3, 1, 1, 2 ? (b) 2, 3, 3, 4, 4 ? Solusi: (a) Tidak dapat, karena 2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9 adalah ganjil. (b) Dapat, karena 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16 adalah genap.

  27. Terminologi Graf 6. Lintasan (Path) • Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul tujuan vndidalam graf G ialah urutan berselang-seling antara simpul dan sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2, ..., vn –1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ..., en = (vn–1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G. • Panjang lintasan ditentukan oleh jumlah sisi dalam lintasan tersebut. • Tinjau graf G1: Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan dengan urutan sisi (1,2), (2,4), dan (4,3). Panjang lintasan 1, 2, 4, 3 adalah 3. G1

  28. Terminologi Graf 7. Sirkuit (Circuit) • Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit. • Tinjau graf G1: Lintasan 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit. Panjang sirkuit 1, 2, 3, 1 adalah 3. G1

  29. Terminologi Graf 8. Keterhubungan (Connectivity) • Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika terdapat lintasan dari v1 ke v2. • Suatu graf G disebut graf terhubung (connected graph) jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj. • Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph). • Contoh graf tak-terhubung:

  30. Terminologi Graf • Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak-berarahnya terhubung (graf tak-berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan semua arah/kepala panah). • Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebutsimpulterhubung kuat (strongly connected vertex) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u. • Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi graf tak-berarahnya terhubung, maka u dan v dikatakan simpulterhubunglemah (weakly connected vertex).

  31. Terminologi Graf • Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila sembarang pasangan simpul u dan v di G terhubung kuat. • Bila tidak, G disebut graf terhubung lemah. Graf terhubung lemah Graf terhubung kuat

  32. Terminologi Graf 9. Subgraf (Subgraph) dan Komplemen Subgraf • Misalkan G = (V,E) adalah sebuah graf, maka G1 = (V1,E1) merupakan subgraf (subgraph) dari G jika V1V dan E1E. • Komplemen dari subgraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2,E2) sedemikian sehingga E2 = E – E1 dan V2 adalah himpunan simpul-simpul dengan mana anggota-anggota E2 bersisian. Sebuah subgraf dari G8 Komplemen subgraf G8

  33. Terminologi Graf 10. Subgraf Rentang (Spanning Subgraph) • Subgraf G1 = (V1,E1) dari G = (V,E) dikatakan subgraf rentang jika V1 = V, yaitu bila G1 mengandung semua simpul dari G. G9 Subgraf rentang dari G9 Bukan subgraf rentang dari G9

  34. Terminologi Graf 11. Himpunan Potong (Cut Set) • Himpunan potong (cut-set) dari graf terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G akan menyebabkan G tidak terhubung. • Pada graf di bawah, { (1,2),(1,5),(3,5),(3,4)} adalah cut-set. G10 G10 tanpa cut set, menjadi graf tak terhubung

  35. Terminologi Graf • Cut-set dari sebuah graf terhubung dapat saja berjumlah lebih dari satu. • Misalnya, himpunan { (1,2),(2,5)}, { (1,3),(1,5),(1,2)} dan { (2,6) } adalah juga cut-set dari G10. • { (1,2),(2,5),(4,5)} bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, { (1,2),(2,5) } adalah cut-set. G10 G10 tanpa cut set, menjadi graf tak terhubung

  36. Terminologi Graf 12. Graf Berbobot (Weighted Graph) • Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi bilangan pembobot.

  37. Pekerjaan Rumah (PR9) Graf G adalah sebuah graf seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini. (a) Tuliskan semua lintasan yang mungkin dari A ke C. (b) Tuliskan semua sirkuit yang ada. (c) Tuliskan minimal 4 himpunan potong (cut-set) yang ada. (d) Gambarkan subgraf G1 = { B,C,X,Y }. (e) Gambarkan komplemen dari subgraf G1. Graf G

  38. Pekerjaan Rumah (PR9) Perhatikan graf H dibawah ini. (a) Tuliskan paling tidak 4 lintasan dari b ke c. (b) Tuliskan paling tidak 4 sirkuit. (c) Tuliskan paling tidak 4 himpunan potong dari graf H. (d) Gambar komplemen dari subgraf H1 terhadap H. (e) Gambar satu graf rentang dari H. New Graf H Graf H1

More Related