W asno ci funkcji l.jpg
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 7

Własności funkcji PowerPoint PPT Presentation


  • 118 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Własności funkcji. Funkcja różnowartościaowa, monotoniczna, parzysta, odwrotna. Zadanie 16. Aby przeglądać rozwiązanie „krok po kroku” proszę włączyć : pokaz slajdów i przyciskać Enter.

Download Presentation

Własności funkcji

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


W asno ci funkcji l.jpg

Własności funkcji

Funkcja różnowartościaowa, monotoniczna, parzysta, odwrotna.

Zadanie 16

Aby przeglądać rozwiązanie „krok po kroku” proszę włączyć : pokaz slajdów i przyciskać Enter


Slide2 l.jpg

Wykazać, że funkcja f(x) jest różnowartościowa, nieparzysta i monotoniczna. Znaleźć funkcję odwrotną . Wykonać wykresy funkcji i funkcji odwrotnej.

Funkcja f(x) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, bo mianownik jest różny od zera dla wszystkich x z R.

Zbadamy nieparzystość funkcji : funkcja ma dziedzinę symetryczną względem zera oraz

Ponieważ f(-x)=-f(x), to funkcja jest nieparzysta.

Zbadamy różnowartościowość funkcji. Funkcja jest różnowartościowa, jeśli tym samym wartościom funkcji odpowiadają te same argumenty tzn.: jeśli z warunku

wynika

otrzymujemy


Slide3 l.jpg

Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę:

i rozpatrzmy kilka przypadków.

1. Załóżmy, że oba argumenty są dodatnie, wtedy

a zatem

2. Teraz zakładamy, że oba argumenty są ujemne:

i w tym wypadku też

3. Następny przypadek to taki, że argumenty są różne i mają różne znaki np.:

wtedy

Przeniesiemy ostatni człon na lewą stronę, dostajemy

Ale taka równość nie jest możliwa, bo po lewej stronie mamy liczbę ujemną, a po prawej stronie liczbę dodatnią, bo

Czyli trzeci przypadek nie jest możliwy. Wykazaliśmy, że argumenty dla tych samych y-ów muszą być równe, zatem funkcja jest różnowartościowa.


Slide4 l.jpg

Zajmiemy się badaniem monotoniczności funkcji f(x). Weźmy dwa argumenty :

i zbadamy różnicę wartości funkcji

Jeśli ta różnica będzie mniejsza od zera, to funkcja będzie rosnąca, bo dla mniejszych argumentów przyjmuje mniejszą wartość, a dla większych, większą. Jeśli różnica będzie większa od zera, funkcja będzie malejąca - dla mniejszych argumentów przyjmuje większe wartości.

Mianownik jest dodatni dla wszystkich argumentów. Zajmiemy się licznikiem. Podobnie jak poprzednio przy badaniu różnowartościowości funkcji , jeśli oba argumenty są dodatnie lub oba ujemne, to w liczniku zostanie tylko wyrażenie ujemne

Różnica

będzie ujemna.

Jeśli mniejszy argument będzie ujemny a większy dodatni to licznik będzie miał postać

i będzie ujemny . I w tym wypadku różnica

będzie ujemna.

Zatem

Funkcja jest rosnąca.


Slide5 l.jpg

Wykonamy rysunek funkcji f(x) i na jego podstawie określimy zbiór wartości funkcji. Funkcja , co wykazaliśmy, jest funkcją nieparzystą, zatem jej wykres jest symetryczny względem zera. Możemy narysować tylko tę część wykresu , która jest dla nieujemnych argumentów i skorzystać z powyższej własności dla argumentów ujemnych.

Dla

y=0.5

y= -0.5

Jeśli część wykresu ( na lewym rysunku czerwona ciągła linia) dla nieujemnych argumentów odbijemy symetrycznie względem zera, to otrzymamy wykres rozpatrywanej funkcji ( rysunek prawy). Z rysunku widzimy, że zbiór wartości funkcji to przedział otwarty (-0.5, 0.5).


Slide6 l.jpg

Obliczmy funkcję odwrotną do podanej funkcji

Funkcja odwrotna będzie przekształcać przedział ( -0.5, 0.5) na R.

Dla x nieujemnych

Funkcja odwrotna

Zamieniając zmienne x i y , otrzymujemy

Dla x ujemnych

Funkcja odwrotna

Ponownie zamieniając zmienne dostajemy

Łącząc rozpatrywane przypadki możemy zapisać funkcję odwrotną jednym wzorem:


Slide7 l.jpg

Wykonamy wykres funkcji odwrotnej:

Funkcja ta jest różnowartościowa, rosnąca i nieparzysta.

Funkcja f(x) miała asymptoty poziome y= -0.5 i y=0.5. Funkcja odwrotna ma asymptoty pionowe x= -0.5 i x =0.5.

Zbiór wartości funkcji fprzeszedł na dziedzinę funkcji g i odwrotnie, dziedzina funkcji f przeszła na zbiór wartości funkcji g.

x=0.5

x= -0.5


  • Login