Quindicesima Lezione

1. Quindicesima Lezione Onde piane in un mezzo con perdite; onde TEM; introduzione ai circuiti distribuiti

2. Riassunto della lezione precedente • I fasori • Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori • Polarizzazione delle onde piane • onde piane in direzione arbitraria • onde in buoni conduttori

3. Definiamo una permettività COMPLESSA Onde piane in un mezzo con perdite • Abbiamo parlato di “buon conduttore”, come quello in cui la corrente di spostamento è trascurabile rispetto alla corrente di conduzione, almeno nelle frequenze radio • Un “buon dielettrico” è quello invece in cui avviene il contrario (es: aria, vetro, teflon, allumina ecc) • Moltissimi materiali non sono né l’uno né l’altro: come trattarli? • Se la parte conduttiva soddisfa la legge di Ohm, abbiamo visto che per la legge di Ampère (fasori!!) • Possiamo mettere in evidenza jwe0

4. Onde piane in un mezzo con perdite • Quindi operativamente: dovremo solo calcolare l’impedenza d’onda ed il resto utilizzando tale permettività complessa • Notate però che ora anche il numero d’onda k è complesso [essendo k=w(me)1/2, ricordate?] • Cosa significa? Riprendiamo l’onda piana che si propaga lungo z, e con campo E in x • Se k è complesso significa solo che l’onda si propaga (parte reale) e si attenua al contempo (parte immaginaria),visto che la parte immaginaria di k contribuisce ad un esponenziale reale

5. Onde piane in un mezzo con perdite • Cosa possiamo dire circa il vettore d’onda? Nel tempo abbiamo parlato di un vettore che individua la direzione di propagazione; ma ora che è complesso? • L’onda piana in direzione generica abbiamo visto è • Ovvero nel tempo (se E0 reale, altrimenti occorre un termine di fase)

6. Onde piane in un mezzo con perdite • Se c’è una vera e propria corrente di conduzione che soddisfa la legge di Ohm, la parte immaginaria dipende dalla frequenza, che compare a denominatore • Quindi la permettività per un mezzo con perdite (nel dominio dei fasori) è una quantità complessa • Però nei materiali esistono anche altri meccanismi di dissipazione di potenza non imputabili direttamente a correnti di conduzione (es: ricordate la rotazione dei dipoli d’acqua in un forno a microonde?) • Nei buoni dielettrici, in cui la corrente di conduzione è trascurabile, la permettività ha comunque una parte immaginaria (piccola rispetto alla parte reale) che descrive tali altri meccanismi di perdita, abbastanza indipendente dalla frequenza: il rapporto tra parte immaginaria e parte reale si definisce tand

7. Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) • Si definisce TEM un’onda in cui campo elettrico e campo magnetico non hanno componenti nella direzione di propagazione • Un’onda piana è evidentemente anche un’onda TEM • La legge di Faraday in forma integrale • Sappiamo che una tensione è univocamente definita a prescindere dal percorso se e solo se il secondo membro è nullo • Questo avviene se • il flusso del campo magnetico non varia nel tempo (statico) • o se il flusso è nullo

8. x z Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) • Ma immaginiamo un’onda TEM che si propaga lungo z, dove E è tutto lungo x e H lungo y • Il flusso di B attraverso un piano z=costanteè nullo (B,D,E,H non hanno componenti in z!) • Quindi, la tensione è ben definita in ogni piano z= costante, anche se siamo in un caso elettrodinamico! Quello che avremo è che la tensione, in generale, varierà con z, cioè v=v(z)

9. z z z0 • Flusso di B concatenato con il rettangolo: • Flusso di B PER UNITA’ DI LUNGHEZZA concatenato con il rettangolo: Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) • I cavi multifilari supportano in generale propagazione di tipo TEM (esempio un cavo coassiale). Consideriamo una linea bifilare • Circuitazione lungo il percorso tratteggiato: • Dividiamo per Dz entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per Dz che tende a zero

10. z z z0 • induttanza PER UNITA’ DI LUNGHEZZA Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) • quindi • Ma ricordiamo la definizione di induttanza • Allora l’equazione per v diventa • Possiamo seguire una strategia analoga, usando la condizione di continuità della carica in un tubo concentrico ad uno dei fili

11. Flusso di D Flusso di D per unità di lunghezza Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) • Il flusso della densità di corrente non nullo solo sulle basi, e pari alle correnti quindi • D’altra parte il teorema di Gauss: • Quindi • Di nuovo: Dividiamo per Dz entrambi i membri, e calcoliamo il limite del rapporto incrementale per Dz che tende a zero

12. Equazioni del telegrafista • Ma avevamo definito la capacità come • quindi • Allora l’equazione per i diventa • Riassumendo: Le due equazioni che descrivono l’andamento di i e v lungo una linea sono quindi • Equazioni del telegrafista

13. Equazioni del telegrafista: fasori • In termini di fasori • Se deriviamo in z la prima e sostituiamo la seconda • Ancora una volta un’equazione d’onda, dove b è il numero d’onda • Analogamente • Le soluzioni le conosciamo... • Cioè onde progressive e regressive che si propagano con velocità

14. Equazioni del telegrafista • Se sostituiamo le soluzioni per v (separatamente la soluzione progressiva e quella regressiva) troviamo un legame con i • Impedenza caratteristica • Note induttanza per unità di lunghezza e capacità per unità di lunghezza, ovvero b e Z0 sappiamo tutto di una linea • Se volessimo recuperare gli andamenti nel tempo, al solito (considerando v+ e v- reali, cosa raramente vera; in generale ci sono termini di fase da aggiungere)

15. iL v+ v- vL Zo, b RL z z=0 Equazioni del telegrafista • Riassumendo: abbiamo “onde” di tensione e di corrente, in una direzione e nell’altra, che si propagano a velocità w/b; onde di tensione e di corrente sono legate da un rapporto costante, l’impedenza caratteristica • Il concetto di “linea” è molto generale: le connessioni ideali dell’elettrotecnica sono un’approssimazione, valida solo per lunghezze molto inferiori alla lunghezza d’onda di v (ed i) • Cosa succede quando la linea finisce su un resistore? • Condizioni al contorno su z=0

16. Coefficiente di riflessione • Definiamocoefficiente di riflessione • Dal sistema precedente troviamo • A meno che RL non sia negativo (circuito che guadagna o attivo) appare che il modulo del coefficiente di riflessione è sempre minore di uno! • Se il coefficiente di riflessione è nullo, non abbiamo onde regressive (le onde viaggiano solo verso il carico e ne sono assorbite) e questo avviene se • Condizione di adattamento

17. Coefficiente di riflessione • D’altro canto vediamo che se la linea finisce su un corto circuito ideale (RL=0) avremo che il coefficiente di riflessione è -1, cioè l’onda torna indietro invertita in fase (v-=-v+) • Nel tempo • Che è un’onda stazionaria: in alcune z è sempre nulla (nodi) ed in altre è sempre max • Vediamo un’animazione temporale (incluso il transitorio)

18. Coefficiente di riflessione • Nel caso di circuito aperto (RL=¥) il coefficiente di riflessione è 1; di nuovo tutto torna indietro • In generale, tranne che in condizione di adattamento, comunque onde progressive e regressive interferiranno producendo onde stazionarie; in tali casi il rapporto tra la tensione totale (sovrapposizione tra onde di tensione nelle due direzioni) e la corrente totale, ovvero l’impedenza misurata, varierà da punto a punto • Cioè: se è vero che il rapporto tra tensione (totale!) e corrente (totale!) è RL sul carico, tale rapporto cambierà altrove, tranne che in condizioni di adattamento. Vediamolo

19. itot vtot Zin z z=0 z=-l Zo, b RL Impedenza di ingresso di un tratto di linea • Calcoliamoci l’impedenza vista all’ingresso di un tratto di linea di lunghezza l chiuso su RL • Dividiamo per v+ numeratore e denominatore, e ricordiamo la definizione di coefficiente di riflessione

20. Impedenza di ingresso di un tratto di linea • Sostituiamo l’espressione per il coefficiente di riflessione e l’identità di Eulero; semplifichiamo un po’ • Di li’ riotteniamo subito che se impedenza di carico ed impedenza caratteristica coincidono, vediamo sempre la stessa impedenza (l’impedenza caratteristica) in qualunque sezione • Vediamo anche che ogni volta che il cos diventa + o -1 ed il seno 0, vediamo all’ingresso esattamente R. Questo capita se • Cioè per tutti i multipli interi di mezza lunghezza d’onda

21. Impedenza di ingresso di un tratto di linea • Vediamo alcuni casi particolari: • Se chiudiamo su un corto Cioè un carico reattivo (puramente immaginario). Notate che con argomento p/2 la tangente diventa infinita: quindi il corto si trasforma in un circuito aperto! La lunghezza corrispondente è l/4. Ridiventa un corto a p, cioè ovviamente a l/2 (e così via) • Se chiudiamo su un aperto (carico infinito) Cioè un comportamento esattamente duale Notate anche che il corto ha una impedenza immaginaria positiva (quindi induttiva) fino a l/4 e poi diventa negativa (capacitiva), e via dicendo. Il contrario per il circuito aperto • Nel caso particolare di argomento p/2 (l/4) il coseno è nullo, e

22. Il cavo coassiale • Per cui, la capacità per unità di lunghezza • Avevamo calcolato la capacità di uno spezzone di coassiale • Avevamo calcolato la l’induttanza di uno spezzone di coassiale

23. Il cavo coassiale • Quindi, la velocità • Cioè la velocità della luce nel mezzo tra gli elettrodi: è una proprietà generale delle onde TEM • L’impedenza caratteristica