Metoda transformaty Fouriera

1. Metoda transformaty Fouriera Arkadiusz Bąkowski WFiIS rok 2008/09

2. Moim celem pokazanie metody Fouriera na przykładzie równania opisującego drgania struny zamocowanej końcach.

3. Równanie opisujące ten problem przyjmuje postać : (1) wraz z warunkami brzegowymi: oraz początkowymi: gdzie i spełniają warunki Dirichleta w [0,l]

4. Będziemy szukać ciągu rozwiązań niezerowych tożsamościowo postaci: (2)dobierając funkcje X i T w taki sposób aby powyższe równanie spełniało równanie (1). Obliczamy pochodne:

5. Po wstawieniu pochodnych do równania (1) otrzymujemy postać:a ponieważ szukamy rozwiązań niezerowych postaci (2) możemy powyższe wyrażenie podzielić przez ogólną postać takiego rozwiązania. Możemy również przyrównać je do stałej, gdyż poniższa równość musi zachodzić dla każdego x i t z rozważanych przedziałów.

6. Postać ta prowadzi do układu równań: (3) (4)dla funkcji X(x) otrzymaliśmy tu problem własny, poszukujemy takich wartości własnych przy których istnieją niezerowe rozwiązania i spełnione są warunki brzegoweX(0)=X(l)=0.

7. Rozpatrzmy 3 przypadki rozwiązania równania (3) • λ<0 po uwzględnieniu warunków brzegowych funkcje własne dla λ<0 okazują się być tożsamościowo równe zeru. • λ=0 tu również nie ma niezerowych funkcji własnych • λ>0 istnieją niezerowe rozwiązania dla: wynoszące:

8. Po wstawieniu wartości własnych równania (3) do równania (4) otrzymujemy następującą jego postać jego rozwiązania:zatem równanie (2) można napisać w postaci:

9. Rozwiązanie równania(1) możemy zatem zapisać w postaci:a Współczynniki A i B wyznaczymy z warunków początkowych:

10. Stąd można podać postać współczynników A i B porównując wyrazy do rozwinięcia szeregu Fouriera:więc:

11. więc:

12. Ostatecznie nasze rozwiązanie przyjmuje postać: gdzie:

13. Dziękuje za uwagę.