Kontrolinės matricos apibrėžimas ir savybės

1. Kontrolinės matricos apibrėžimas ir savybės Parengė Tomas Tumasonis

2. Kontrolinės matricos apibrėžimas • Tiesinio kodokontrolinė matrica – tai to kodo dualaus kodogeneruojanti matrica. • Tiesinis kodas – tai • Dualus kodas – tai • Generuojanti matrica – tai

3. Tiesinio kodo pavyzdys Imkime tiesinį erdvės F43 poerdvį C, generuotą vektorių 2102 ir 1120. Kiti vektoriai išreiškiami tiesinėmis kombinacijomis: 0 · 2102 + 0 · 1120 = 0000, 0 · 2102 + 1 · 1120 = 1120, 0 · 2102 + 2 · 1120 = 2210, 1 · 2102 + 0 · 1120 = 2102, 1 · 2102 + 1 · 1120 = 0222, 1 · 2102 + 2 · 1120 = 1012, 2 · 2102 + 0 · 1120 = 1201, 2 · 2102 + 1 · 1120 = 2021, 2 · 2102 + 2 · 1120 = 0111. Taigi, tiesinis kodasC = {0000, 1120, 2210, 2102, 0222, 1012, 1201, 2021, 0111}.

4. Dualaus kodo pavyzdys C = {000, 110, 101, 011} Kodo C dualus kodas C⊥sudarytas iš tų erdvės F32vektorių: kurie ortogonalūs kiekvienamkodo Cvektoriui (skaliarinė sandauga lygi 0). Taigi, C⊥= {000, 111}.

5. Generuojančios matricos pavyzdys • Pilnam kodo apibrėžimui pakanka nurodyti jo bazę • Tiesinio kodo C[n, k] virš Fq generuojančia matrica vadiname k × n matricą virš Fq, kurios eilutės sudaro kodo C bazę. Generuojanti matrica

6. Kontrolinės matricos savybės • Vienareikšmiškai apibrėžia kodą • Koda gali turėti ne vieną kontrolinę matricą

7. Kontrolinės matricos nauda • Leidžia nesunkiai patikrinti ar vektorius priklauso kodui – tai pranašumas prieš generuojančią matricą.

8. Kada vektorius priklauso kodui? Tarkime, H yra tiesinio kodo C[n, k] virš Fq kontrolinė matrica, x = (x1, . . . , xn) ∈ Fnq. Vektorius x ∈ C tada ir tik tada, kai HxT = 0, t.y. vektorius x ortagonalus kiekvienai kontrolinės matricos H eilutei.

9. Įrodymas (I) • Pažymėkime kontrolinės matricos eilutes Hi: • HxT = 0=>vektorius x yra ortogonalus kiekvienam kodo C⊥vektoriui y, kai y išreikštas kodo C⊥bazės vektorių – matricos H eilučių: y = a1H1 + ··· + an−kHn−k. 2.1. Taigi, skaliarinė sandauga x·y = 0. 2.2. Galiausiai x ∈ (C⊥)⊥ = C

10. Įrodymas (II) Iš kitos pusės: 3.1. C = (C⊥)⊥,x ∈ C=> x ∈ (C⊥)⊥ 3.2. x ∈ (C⊥)⊥=>vektorius x ortagonalus kiekvienam C⊥vektoriui – matricos H eilutei 3.3. Taigi, skaliarinė sandauga Hi·x = 0. 3.4. Galiausiai HxT = 0.

11. Vektoriaus priklausomybės kodui tikrinimas Dviranario tiesinio kodo C kontrolinė matrica: Ar vektorius x = (010) priklauso kodui C? Taigi, vektorius x nepriklausokodui C.