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Universidade Federal Fluminense Integração Numérica

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica O objetivo da integração numérica (também denominada quadratura numérica) é obter uma aproximação para integrais definidas (com limites de integração finito ou não), singulares e múltiplas de funções reais. • A utilização de técnicas numéricas para avaliar integrais é de grande valia quando: • não conhecemos a expressão da lei da função integrando, somente valores dessa função em pontos do domínio de integração; • o cálculo da função primitiva é trabalhoso e complexo.

Universidade Federal Fluminense ponto de integração peso erro de truncamento aproximação Integração Numérica 1 Integração Numérica sobre um Intervalo Finito 1.1 Integração de Função de uma Variável As fórmulas de integração numérica são construídas a partir do seguinte problema: encontrar n+1pesoswi e n+1pontos de integraçãoxi tais que o erro de truncamentoEn( f ) se anule se f por um polinômio de grau menor ou igual a um certo número natural m

Universidade Federal Fluminense Formulas de Newton-Cotes fechadas: Formulas de Newton-Cotes abertas: Integração Numérica 1.1.1 Fórmulas de Newton-Cotes As formulas de Newton-Cotes são obtidas escolhendo-se os pontos de integraçãoeqüidistantes no intervalo de integração, [a,b], ou seja (h denota a distância entre os pontos), e determinando-se os pesos da integração, wi, pela integração do polinômio de interpolação de fnos pontos limite superior de integração limite inferior de integração

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra do Trapézio Simples (ou Regra Trapezoidal Simples) Qual o valor de w0 e de w1 ? na qual Verificar que:

Universidade Federal Fluminense Regra do Trapézio Simples: Estimar o valor da integral usando a regra do trapézio simples. Integração Numérica Exemplo 1:

Universidade Federal Fluminense derivada de ordem 2 de f derivada de ordem 2 de f na qual Integração Numérica Teorema 1:Erro da regra do trapézio simples Se f é 2 vezes diferenciável em [a,b] e f ’’ é contínua em [a,b], então Corolário 1: Sob as hipóteses do teorema anterior na qual

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Exemplo 2: Estimar o erro cometido no Exemplo 1. OBS:

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra do Trapézio Repetida Usando a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida obtém-se: Utilizando a regra do trapézio simples obtém-se: e e portanto

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica ou seja, Regra do trapézio repetida 2 vezes !!

Universidade Federal Fluminense Primeiro passo: segmentar o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi, xi+1], com i=0, 1,..., m-1, com comprimentos iguais a h, sendo Segundo passo: utilizar a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida para decompor a integral original na seguinte soma: Integração Numérica Vamos generalizar este procedimento. Suponha que pretendemos aplicar a regra do trapézio repetidamvezes para calcular uma aproximação da integral da função f no intervalo [a,b].

Universidade Federal Fluminense Terceiro passo: usar a regra do trapézio simples para aproximar a integral da função f no intervalo [xi, xi+1], ou seja, Integração Numérica Quarto passo: substituir a integral do somatório apresentado no segunda passo pela aproximação obtida no terceiro passo, isto é, ou seja,

Universidade Federal Fluminense Estimar o valor da integral usando a regra do trapézio repetida 10 vezes. Integração Numérica Exemplo 3:

Universidade Federal Fluminense Universidade Federal Fluminense derivada de ordem 2 de f na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e Sob as hipóteses do teorema anterior derivada de ordem 2 de f na qual Integração Numérica Integração Numérica Teorema 2:Erro da regra do trapézio repetida Se f é 2 vezes diferenciável em [a,b] e f ’’ é contínua em [a,b], então Corolário 2:

Universidade Federal Fluminense Regra 1/3 de Simpson Simples Integração Numérica Qual o valor de w0, de w1 e de w2 ? Verificar quer:

Universidade Federal Fluminense Estimar o valor da integral usando a regra 1/3 de Simpson simples. Integração Numérica Regra 1/3 de Simpson Simples: Exemplo 5:

Universidade Federal Fluminense Universidade Federal Fluminense derivada de ordem 4 de f na qual Integração Numérica Teorema 3:Erro da regra 1/3 de Simpson simples Se f é 4 vezes diferenciável em [a,b] e f iv é contínua em [a,b], então derivada de ordem 4 de f Corolário 3: Sob as hipóteses do teorema anterior na qual

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra 1/3 de Simpson Repetida Usando a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida obtém-se: Utilizando a regra 1/3 de Simpson simples obtém-se: e e portanto

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica ou seja, Regra 1/3 de Simpson repetida 2 vezes !!

Universidade Federal Fluminense Primeiro passo: segmentar o intervalo [a,b] em 2m subintervalos [xi, xi+1], com i=0, 1,..., 2m-1, com comprimentos iguais a h, sendo Segundo passo: utilizar a propriedade da aditividade com respeito ao intervalo de integração da integral definida para decompor a integral original na seguinte soma: Integração Numérica Vamos generalizar este procedimento. Suponha que pretendemos aplicar a regra 1/3 de Simpson repetidamvezes para calcular uma aproximação da integral da função f no intervalo [a,b].

Universidade Federal Fluminense Terceiro passo: usar a regra 1/3 de Simpson simples para aproximar a integral da função f no intervalo [x2k-2, x2k], ou seja, Integração Numérica Quarto passo: substituir a integral do somatório apresentado no segunda passo pela aproximação obtida no terceiro passo, isto é, ou seja,

Universidade Federal Fluminense Estimar o valor da integral usando a regra 1/3 de Simpson repetida 3 vezes. Integração Numérica Exemplo 7:

Universidade Federal Fluminense na qual m é o número de vezes que a regra é repetida, e derivada de ordem 4 de f Integração Numérica Teorema 4:Erro da regra 1/3 de Simpson repetida Se f é 4 vezes diferenciável em [a,b] e f iv é contínua em [a,b], então derivada de ordem 4 de f Corolário 4: Sob as hipóteses do teorema anterior na qual

Universidade Federal Fluminense na qual é uma função polinomial arbitrária de grau 2p-1 ou menor. para todos Integração Numérica 1.1.2 Quadratura Gaussiana Os pontos e os pesos de integração da quadratura Gaussiana de p pontos são calculados para que Por exemplo, os pontose ospesos de integração da quadratura Gaussiana de 2pontosdevem verificar a seguinte igualdade

Universidade Federal Fluminense Colocando em evidência os obtém-se a seguinte igualdade, equivalente a anterior: para todos Logo, Integração Numérica

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica OBS: Os pontos e pesos de integração das quadraturas Gaussianas são determinados a partir de polinômios de Legendre, sem a necessidade de se resolver sistemas de equações não-lineares.

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Como proceder quando os limites de integração não são -1 e 1 ? Usar a seguinte mudança de variável na integral: na qual a e b são, respectivamente, o limite inferior e superior de integração. Logo, e portanto

Universidade Federal Fluminense Estimar o valor da integral usando a quadratura Gaussiana de 2 pontos. Integração Numérica Exemplo 8: Temos que: Logo,

Universidade Federal Fluminense Se é 2p vezes diferenciável em [-1,1] e é contínua em [-1,1], então na qual Integração Numérica Teorema 5:Erro da quadratura Gaussiana derivada de ordem 2p Corolário 5: Sob as hipóteses do teorema anterior derivada de ordem 2p na qual

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica 1.2 Integração de Função de mais de uma Variável Regra do Trapézio Simples para Integral Dupla Notamos que: Mas Portanto

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra do Trapézio Repetida para Integral Dupla

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Regra 1/3 de Simpson Simples para Integral Dupla Notamos que: Mas

Universidade Federal Fluminense Integração Numérica Portanto

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