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§3 . 8 直角三角形全等的判定

§3 . 8 直角三角形全等的判定. 一、学习目标. 1 . 理解并掌握判定两个直角三角形全等的斜边 直角边判定公理; 2 .灵活应用边角边公理进行有关证明和计算.. 二、重点难点. 本节的重点是:掌握判定直角三角形全等的 特殊方法 —— HL 公理. 本节的难点是:熟练运用所学的全等三角形 判定方法判定两个直角三角 形全等.. 三.引入. 我们已经知道,一旦一个直角三角形的一条 直角边和斜边的长度确定,这个三角形的形状、 大小也是唯一的、稳定的,在固定的位置上,只

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§3 . 8 直角三角形全等的判定

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  1. §3.8 直角三角形全等的判定

  2. 一、学习目标 1.理解并掌握判定两个直角三角形全等的斜边 直角边判定公理; 2.灵活应用边角边公理进行有关证明和计算.

  3. 二、重点难点 本节的重点是:掌握判定直角三角形全等的 特殊方法——HL公理. 本节的难点是:熟练运用所学的全等三角形 判定方法判定两个直角三角 形全等.

  4. 三.引入 我们已经知道,一旦一个直角三角形的一条 直角边和斜边的长度确定,这个三角形的形状、 大小也是唯一的、稳定的,在固定的位置上,只 能作出唯一的直角三角形.这就说明了直角三角形 的另一判定公理.

  5. 四.新课 直角三角形的判定公理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 由于当两条直角边对应相等,再加上直角相等,恰好满足“边角边”公理所需的条件,它们也是全等的,于是,实际上,对两个直角形来说,存在这样的“定理”: 有两条边对应相等的两个直角三角形全等.

  6. 四.新课 例1在三角形中,如果有两条高 线相等,则有两个角相等. 已知:如图,△ABC中,BE⊥AC, CF⊥AB,且BE=CF. 求证:∠ABC=∠ACB. 【分析】只需证明Rt△BCF≌Rt△CBE.

  7. 四.新课 例1在三角形中,如果有两条高 线相等,则有两个角相等. 【证明】(1)先证∠ABC=∠ACB 在Rt△BCF和Rt△CBE中, 有 ∴ Rt△BCF≌Rt△CBE(HL). 则有 ∠ABC=∠ACB(全等三角 形的对应角相等).

  8. 四.新课 例2如图,AD是∠BAC的角平 分线,且AD⊥BC,DE⊥AB, DF⊥AC,D、E、F是垂足. 求证:BE=CF. 【分析】可以通过证明Rt△BDE≌Rt△CDF得到结论,也可以通过其他途径得到结论.

  9. 【证法一】(1)先证AB=AC,BD=CD ∵AD⊥BC,  ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. ∵AD是∠BAC的角平分线, ∴ ∠1=∠2. 在△ADB和△ADC中, ∴ △ADB≌△ADC(ASA). ∴ AB=AC,BD=CD. 例2 如图,AD是∠BAC的角平分线,且AD⊥BC, DE⊥AB,DF⊥AC,D、E、F是垂足. 求证:BE=CF. 四.新课

  10. 【证法一】(2)再证ED=FD ∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ ∠AED=∠AFD=90°. 在Rt△AED和Rt△AFD中, ∴ Rt△AED≌Rt△AFD(AAS), ∴ ED=FD. 例2 如图,AD是∠BAC的角平分线,且AD⊥BC, DE⊥AB,DF⊥AC,D、E、F是垂足. 求证:BE=CF. 四.新课

  11. 【证法一】(3)再证BE=CF 在Rt△DEB和Rt△DFC中,有 ∴ Rt△DBE≌Rt△DCF(HL). ∴ BE=CF. 例2 如图,AD是∠BAC的角平分线,且AD⊥BC, DE⊥AB,DF⊥AC,D、E、F是垂足. 求证:BE=CF. 四.新课

  12. C D E A B F 四.新课 例3 已知:如图,AC⊥BC,AD⊥BD, AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB, 垂足分别是E、F. 求证:CE=DF. 【分析】有已知条件可推出 △ABC≌△BAD,要证 CE=DF,需证△ACE≌△BDF,或△BCE≌△ADF,所缺条件可由 △ABC≌△BAD推出.

  13. 【证明】(1)先证∠CBE=∠DAF ∵ AC⊥BC,AD⊥BD(已知), ∴ ∠ACB=∠BDA=90°(垂直定义). 在Rt△ABC和Rt△BAD中, ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴ ∠CBE=∠DAF(全等三角形的对应角相等). C D E A B F 例3 已知:如图,AC⊥BC,AD⊥BD, AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB, 垂足分别是E、F. 求证:CE=DF. 四.新课

  14. 【证明】(2)再证CE=DF ∵ CE⊥AB,DF⊥AB, ∴ ∠CEB=∠DFA=90°(垂直定义). 在△BCE和△ADF中, ∴ △BCE≌△ADF(AAS). ∴ CE=DF(全等三角形的对应边相等). C D E A B F 例3 已知:如图,AC⊥BC,AD⊥BD, AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB, 垂足分别是E、F. 求证:CE=DF. 四.新课

  15. 一组角对应相等 二组角对应相等 没有对应相等的角 SAS ASA或AAS SSS 一组对应边相等 二组边对应相等 没有对应相等的边 ASA或AAS SAS 无 小结: 由于三角形全等的判定公理有四个,所以根据不同的已知条件,合理选择适当的公理. 具体方法是:可以根据已知相等的角的个数来选择公理,也可以根据已知相等的边的个数来选择公理. 确定了判定公理以后,就要把所缺的条件补齐,才能作出结论. (下面以例4来实践一下)

  16. 例4 已知:△ABC中,D、E都是BC上 的点,BD=EC,∠B=∠C, ∠BAE=∠CAD. 求证:(1)△ABE≌△ACD; 为证(1)成立,在选择判定公理时,容易发现在△ABE和△ACD中,已有两组角分别对应相等,可考虑的公理的ASA或AAS:若选ASA,应补条件AB=AC;若选AAS,则应补条件AE=AD或BE=CD.再根据已知条件BD=EC,自然可以推得BE=CD成立,问题就迎刃而解了.

  17. 例4 已知:△ABC中,D、E都是BC上 的点,BD=EC,∠B=∠C, ∠BAE=∠CAD. 求证: (2)△ABD≌△ACE. 为证(2)成立,则容易发现在△ABD和△ACE中,只有一组角对应相等:∠B=∠C.若选择定理SAS,需补足的条件是AB=AC且BD=EC,由于本例没有条件AB=AC,所以这个选择难以实现,只能重新选择.再审视已知条件,由 ∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE,可见还有条件∠BAD=∠CAE,而考虑选择ASA或AAS,最后确定AAS可用就不是困难的事了.

  18. 练 习 (一)选择题: 1.在① ASA;② SAS;③ AAS;④ SSS; ⑤ HL中可以判定两个直角三角形全等 的是 ( ) (A)⑤ (B)① 和 ② (C)③ 和 ④ (D)①②③④⑤ D

  19. 练 习 (一)选择题: 2.下面语句中,不正确的是 ( ) (A)两条直角边对应相等的两个直角三角形 全等 (B)两边及第三边上的高对应相等的两个三 角形全等 (C)斜边及另一边上的高对应相等的两个直 角三角形全等 (D)一组锐角相等,并且斜边上的高对应相 等的两个直角三角形全等 B

  20. 练 习 (二)证明题: 1.已知:如图,在△ABC中,D是BC中点, DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF. 求证:∠B=∠C.   【提示】证明 △DBE≌△DCF.

  21. A F E B D C 练 习 (二)证明题: 2.已知:O是△ABC内的一点,OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB, OD=OE=OF, ∠A=70°. 求:∠BOC的度. 125°

  22. 练 习 (二)证明题: 3.已知:△ABC中,AD是BC边上的中线, BE⊥AD于E, CF⊥AD于F. 求证:BE=CF. 【提示】证明 △DBE≌△DCF.

  23. D C A B 练 习 (二)证明题: 4.已知:如图,AB=AD,BC=DC, ∠B=∠C,∠A=60°. 求:∠D的度数. 100°

  24. 练 习 (二)证明题: 5.证明:两全等三角形的对应角的角平分线相等.

  25. D E A C B 练 习 (二)证明题: 6.已知:如图,B是AC上一点,AD⊥AC, EC⊥AC,DB⊥BE,AD=BC. 求证:DB=BE.

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