Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Sistemas de Ecuaciones Lineales Curso: 3º E.S.O. Duración estimada: 6 hrs. Salir

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales Introducción Contenidos Temporización Recursos Desarrollo de la Unidad. Evaluación Volver

3. Introducción Justificación de la Unidad Objetivos Volver

4. Justificación • A lo largo de esta unidad didáctica, se pretende que el alumno, que ya sabe resolver ecuaciones de primer grado, pueda mejorar su comprensión del significado de las operaciones algebraicas que realiza para resolverlas y relacione los aspectos algebraicos con los geométricos, de forma que facilite el aprendizaje de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. • Se persigue de la misma forma que se familiarice con la terminología utilizada en este campo y la emplee adecuadamente: ecuación, solución, etc. Volver

5. Objetivos • Identificación y obtención de las gráficas de las ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Resolución algebraica y gráfica de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Análisis e identificación de las posibilidades que pueden presentarse al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Determinación de la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Interpretación geométrica. • Traducción al lenguaje algebraico de problemas diversos. Siguiente

6. Objetivos (II) • Resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones analizando la validez de las soluciones en el contexto del problema. • Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver un problema en diferentes ámbitos de la sociedad, reconociendo su precisión y simplicidad. Volver

7. Contenidos • Ecuaciones lineales. Definiciones. • Sistemas equivalentes. • Compatibilidad de sistemas. Método gráfico. • Métodos de resolución algebraica: • Igualación. • Sustitución. • Reducción. • Modelización de problemas. Volver

8. Temporización • Curso donde se imparte: 3º E.S.O. • Duración estimada: 6 horas. (incluido examen) • Programación: • 1er día: Introducción histórica. Actividad con Cabri Géomètre II Plus. • 2º y 3er día: Exposición teórica. Resolución de problemas. • 4º día: Modelización de problemas. • 5º día: Repaso de la unidad. Actividad en la red. • 6º día: Examen. Volver

9. Desarrollo de la Unidad Introducción Histórica Exposición Teórica. Resolución de Problemas Aplicaciones informáticas Evaluación Volver

10. Introducción Histórica • Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. • Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos       longitud + anchura = 10 manos • Para resolverlo comienzan asignando el valor   5   a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería:      y + 4x = 28       y + x = 10 Volver

11. EXPOSICIÓNTEÓRICA Siguiente

12. Índice Test de conocimientos previos Definiciones básicas Clasificación de los sistemas: Compatibilidad Métodos algebraicos de Resolución Planteamiento de Problemas Diversos Relación de Problemas de la Unidad Volver

13. Ecuaciones con dos incógnitas: Este tema trata de estudiar las relaciones en las que aparecen dos incógnitas, por ejemplo: • El producto de dos números es 24: x · y = 24 • La suma de las edades de dos hermanos es 43: x + y = 43 Observa que una ecuación con dos incógnitas tiene muchas soluciones. Trata de dar valores a x e y para que cumplan una relación, por ej. : x + y = 13 Siguiente

14. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas está formado por las ecuaciones: ax + by = c a’x + b’y = c’ dondelos coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números reales. Se dice que un par de números x1, y1 son una solución del sistema si al sustituir x por x1 e y por y1 se satisfacen a la vez las dos ecuaciones del sistema. Así pues, resolver un sistema de ecuaciones consiste en hallar (si existen) todas las soluciones. • Sistemas de ecuaciones lineales. Siguiente

15. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones. • Sistemas equivalentes La siguientes reglas nos permiten pasar a otros sistemas equivalentes: • Suma o diferencia de números o expresiones algebraicas • 2x + y = 5 2x + y - 3 = 5 - 3 • x + y = 3 x + y + 2 = 3 + 2 • Producto o cociente por un número real no nulo • 2x + y = 5 2 · (2x + y) = 2 · 5 • x + y = 3 x + y = 3 • Suma o diferencia de ecuaciones • 2x + y = 5 (2x + y) – (x+y) = 5 - 3 • x + y = 3 x + y = 3 Volver

16. Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar como: • Sistemas compatibles: tienen solución. • S.C. Determinados: solución única. • S.C. Indeterminados: infinitas soluciones (ecuaciones equivalentes). • Sistemas incompatibles: carecen de solución. • Clasificación de sistemas lineales: Siguiente

17. Clasificación de sistemas lineales (II): • Un método rápido de comprobar si un sistema es • compatible o no es el siguiente: • Si -a/b = -a’/b’ y c/b ≠ c’/b’ Sist. Incompatible. • Si -a/b = -a’/b’ y c/b = c’/b’ S.C. Indeterminado • Si -a/b ≠ -a’/b’ S.C. Determinado Observa que los coeficientes a/b, c/b son los resultantes de despejar la “y” en cada una de las ecuaciones lineales del sistema, es decir: ax+by=c ↔ y=-a/b x + c/b Siguiente

18. Ejemplos de los tipos de sistemas: S. C. Determinado 2x + y = 5 x + y = 3 -a/b= -2 ≠ -1=-a’/b’ Sistema Incompatible 3x + y = 4 6x + 2y = 4 S. C. Indeterminado 3x + y = 4 6x + 2y = 8 -a/b= -3=-6/3 =-a’/b’ c/b=4 = 8/2 =c’/b’ -a/b= 3=2/6=-a’/b’ c/b=4 ≠ 2 =c’/b’ Para ampliar Volver

19. Método de Igualación Siguiente

20. Método de Sustitución Siguiente

21. Método de Reducción Volver

22. Planteamiento de un Sistema. Un problema de Balanza En cada una de ellas hay tigres y conejos. También hay pesas, cuyos números expresan kilogramos. ¿Sabrías averiguar cuánto pesan cada tigre y cada conejo sin utilizar otras pesas que las que se dan? Los tigres pesan todos lo mismo y los conejos también tienen todos el mismo peso. Solución

23. Solución Consideremos las siguientes incógnitas: x:= Peso del Tigre y:= Peso de un conejo Planteemos el sistema: Primera Balanza Segunda Balanza Volver

24. Aplicaciones informáticas • Visitaremos la página www.librosvivos.net donde • encontraremos una actividad interactiva sobre los • sistemas de ecuaciones con la que el propio alumno • puede “medir” su nivel de aprendizaje de una • manera sencilla y divertida. • Utilizaremos un software para resolver sistemas de • forma analítica como es derive . Volver

25. Recursos • Los recursos utilizados han sido: • Ordenador. • Utilización de software: Derive, Cabri • Internet • Tramas para la representación manual de rectas. • También podrían utilizarse los siguientes: • Calculadoras gráficas • Otros programas: Mathematica, Cinderella, etc. Volver

26. Anota ciones FIN