Wavelets

1. Wavelets Aluno: Marcos Corrêa – maccjcin@gmail.com Disciplina: Rede de Computadores

2. ROTEIRO • Conceitos Básicos • História das Wavelets • Transformada de Wavelet • Transformada Inversa de Wavelet • Análise de Wavelet • Lista de Wavelets • Comparação com a Transformada de Fourier • Aplicações Variadas – Exemplos • Referências

3. Conceitos Básicos • O que são Wavelets? • Funções matemáticas • Características • Para ser considerada uma wavelet uma função deve: • Ter a área total sob a curva da função igual a zero (Admissibilidade – integral é zero); • Energia da função ser finita (Regularidade - Bem localizada); • Outra necessidade técnica é a rapidez e facilidade para calcular a transformada wavelet e a transformada inversa (Inversibilidade);

4. Conceitos Básicos • Por que Wavelet são importantes? • São Blocos Construtores de Funções • Uma função pode ser representada como uma combinação linear de funções Wavelets. • Existem teoricamente infinitas possibilidades de se projetar wavelets com propriedades especiais, voltadas para aplicações específicas. • Possuem Localização Tempo-Freqüência • Tempo  via translação ou deslocamento • Frequência/Escala  Via dilatação • Têm Algoritmos Rápidos • Muitas classes de funções podem ser representadas em wavelets de forma mais compacta, como funções com descontinuidade ou picos

5. Fonte: wikipedia Conceitos Básicos • Aspectos de Wavelet Meyer Haar Daubechies D10 Morlet Mexican hat

6. Conceitos Básicos • Diversas Áreas de Aplicações de Wavelets • Visão Computacional • Compressão de Dados • Compressão de Impressões Digitais no FBI • Recuperação de Dados afetados por Ruído • Detecção de Comportamento Similar • Tons Musicais • Astronomia • Meteorologia • Processamento Numérico de Imagens • Muitas Outras

7. História das Wavelets • 1807 - Fourier (Análise em freqüências) • Com o trabalho de Fourier os matemáticos gradualmente saíram da análise em freqüência para a noção de análise em escala. • 1909 - Haar (Análise em escala) • Apareceu a primeira menção a wavelet. • 1930 - P. Levy (Movimento Browniano) • Levy estudou o Movimento Browniano um tipo de sinal aleatório e acreditava que as funções de Haar eram superiores as de Fourier para estudar detalhes complicados do Movimento Browniano. • 1930 – Littlewood, Paley e Stein (Cálculo de Energia) • Este grupo trabalhando independentemente de Levy provocou inquietação na comunidade científica pois os resultados que eles estavam obtendo indicavam que a energia não se conservava, depois descobriram uma função que variava em escala e mostravam que a energia se conservava.

8. História das Wavelets • 1980 - Grossman e Morlet (Definição de Wavelets) • Um físico e um engenheiro definiram wavelet no contexto da física quântica. Eles forneceram uma maneira de pensar em wavelet baseado na intuição física. • 1985 – Mallat (Digital SignalProcessing) • Deu um novo ponto de partida com seu trabalho em processamento digital de sinais. • 1985 - Meyer (Primeira Wavelet não-trivial) • -- - Daubechies (Bases Ortonormais de Wavelets) • Construiu um conjunto de wavelets que talvez seja o conjunto mais elegante e que hoje tornou-se fundamental nas aplicações envolvendo wavelet.

9. Fonte: wikipedia Transformada de Wavelet A transformada de wavelet decompõe uma função definida no domínio do tempo em outra função, definida no domínio do tempo e no domínio da frequência. Ela é definida como: que é uma função de dois parâmetros reais, a e b. Se definirmos ψa,b(t) como: Podemos reescrever a transformada como o produto interno das funções f(t) e ψa,b(t): A função ψ(t) que equivale a ψ1,0(t) é chamada de wavelet mãe (do inglês mother wavelet) enquanto as outras funções ψa,b(t) são chamadas de wavelets filhas. O parâmetro b indica que a função ψ(t) foi transladada no eixo t de uma distância equivalente a b, sendo então um parâmetro de translação. Já o parâmetro a causa uma mudança de escala, aumentando (se a > 1) ou diminuindo (se a < 1) a wavelet formada pela função. Por isto o parâmetro a é conhecido como parâmetro de escala (do inglês scaling parameter).

10. Fonte: http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTpart1.html Transformada de Wavelet

11. Fonte: wikipedia Transformada Inversa de Wavelet Como usamos wavelets para transformar uma função, precisamos também da transformada inversa, de forma a recompor o sinal no domínio do tempo a partir da sua decomposição. Se chamarmos de Ψ(ω) a transformada de Fourier da função ψ(t): e se W(a,b) for a transformada de wavelet da função f(t) usando a wavelet ψ(t), então temos que a transformada inversa é dada por: onde Este parâmetro C necessita ser finito e positivo, o que nos leva a uma nova restrição. Esta restrição sobre o valor de C é a condição de admissibilidade já citada.

12. Fonte: wikipedia Análise de Wavelet A análise de wavelet é feita pela aplicação sucessiva da transformada de wavelet com diversos valores para os parâmetros a e b, representando a decomposição do sinal original em diversos componentes localizados no tempo e na freqüência, de acordo com estes parâmetros. Cada wavelet possui melhor ou pior localização nos domínios da freqüência e do tempo, por isso a análise pode ser feita com wavelets diferentes de acordo com o resultado desejado. A análise wavelet traz consigo uma análise em resoluções múltiplas, onde o nível de resolução é dado pelo índice a. Nesta análise em resoluções múltiplas, geramos uma seqüência de subespaços encaixantes, onde as funções de base numa escala a0 não "enxergam" detalhes de tamanho menor que .

13. Fonte: wikipedia Lista de Wavelets • Wavelets discretas • Beylkin • BNC wavelets • Coiflet • Cohen-Daubechies-Feauveauwavelet (Sometimesreferred to as CDF N/P orDaubechiesbiorthogonalwavelets) • Daubechieswavelet • Binomial-QMF • Haarwavelet • Mathieuwavelet • Legendre wavelet • Villasenorwavelet • Symlet

14. Fonte: wikipedia Lista de Wavelets • Wavelets contínuas • Valores Reais • Beta wavelet • Hermitianwavelet • Hermitianhatwavelet • Mexicanhatwavelet • Shannonwavelet • Valores Complexos • Complexmexicanhatwavelet • Morletwavelet • Shannonwavelet • ModifiedMorletwavelet

15. Comparação com a Transformada de Fourier • A principal diferença é que wavelets estão localizados tanto em tempo quanto em frequência enquanto a Transformada Fourier é só localizada em frequência; • A complexidade computacional da transformada de wavelet discreta é O(N) enquanto que da transformada rápida de Fourier é O(N log N); • Mais uma diferença é que funções wavelet individuais estão bem localizadas no espaço, funções seno e cosseno Fourier não estão; • Transformadas wavelet não têm um conjunto de funções básicas como a transformada de Fourier, que utiliza senos e cossenos. Em vez disso transformada de wavelet tem um conjunto infinito de possíveis funções; • Por conta da teoricamente infinita quantidade de funções, nós vamos buscar a melhor função para representar um sinal, essa melhor função é a forma de onda adaptada.

16. Comparação com a Transformada de Fourier Figura (a) – Ondas Senoidais (b) – Chapéu Mexicano Fonte: http://www.vision.ime.usp.br/~creativision/publications/pdf/DoutoradoSilvia.pdf

17. Aplicações Variadas - Exemplos • Transformada Wavelet em Compressão de Imagens [Computação Gráfica] • http://www.cos.ufrj.br/index.php?option=com_publicacao&task=visualizar&id=687 • On wavelet techniques in atmospheric sciences [Ciências Atmosféricas] • http://www.lac.inpe.br/~margarete/JASRWavelet.pdf

18. Aplicações Variadas – Exemplos 2 • Teoria Wavelet e sua aplicação em sistemas de energia eletrica [Engenharia Elétrica] • http://libdigi.unicamp.br/document/?code=vtls000113855 • Uma comparação entre Redes Neurais Wavelet, LMS, MLP e RBF para classificação de DPOC [Redes Neurais – Ciênc. da Computação] • http://www.simulab.uel.br/hoto/publica/ferrari-hoto-foz2006.pdf

19. Aplicações Variadas – Exemplos 3 • Predição de séries temporais econômicas por meio de redes neurais artificiais e transformada Wavelet: combinando modelo técnico e fundamentalista [Processamento de Sinais de Instrumentação – Eng. Elétrica] • http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/18/18152/tde-11042008-111842/ • Aplicação de transformada wavelet no processamento de sinais ultra-sônicos para caracterização de escoamentos bifásicos ar-água [Engenharia de Produção] • http://www.qprocura.com.br/dp/79486/Aplicacao-de-transformada-wavelet-no-processamento-de-sinais-ultra_sonicos-para-caracterizacao-de-escoamentos-bifasicos-ar_agua.html

20. Aplicações Variadas – Exemplos 4 • Reconhecimento de Voz usando Wavelets [Processamento de Sinais – Comput. Aplicada] • http://ncg.unisinos.br/robotica/reconvoz.html • Aplicação de transformada wavelet no processamento de sinais ultra-sônicos para caracterização de escoamentos bifásicos ar-água [Engenharia de Produção] • http://www.qprocura.com.br/dp/79486/Aplicacao-de-transformada-wavelet-no-processamento-de-sinais-ultra_sonicos-para-caracterizacao-de-escoamentos-bifasicos-ar_agua.html

21. Aplicações Variadas – Exemplos 5 • Prognóstico de Congestionamento de Tráfego de Redes usando Wavelets [Redes de Computadores - Ciências da Computação] • http://www.larces.uece.br/~jlcs/tese.pdf

22. Referências • DOVICCHI, João Cândido. Introdução à Teoria das Wavelets. Univ. Fed. Uberlândia, 2003. • Disponível em: http://www.inf.ufsc.br/~dovicchi/papers-jcd/wav-intro.ps • FERREIRA et al. Proposta de Utilização de Transformadas de Wavelet para Detecção de Ataques em Redes Ad Hoc Sem Fio. CEFETMT, UFU e UFMT, 2008. • Disponível em: http://www.dppg.cefetmt.br/index.html/index.php?option=com_phocadownload&view=category&id=10:&download=41:p-p&Itemid=86

23. Referências • WAVELET. Wikipedia, 2009. • Disponível em: http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet • VIDAKOVIC, Brani and MUELLER, Peter. Wavelet For Kids. Duke University, 2008. • Disponível em: http://www.isye.gatech.edu/~brani/wp/kidsA.pdf

24. Referências • FARIA, Regis. Wavelets e as Artes Multiresolucionárias, 1997. • Disponível em: http://www.lsi.usp.br/~regis/wlets.html • GRAPS, Amara. An Introduction to Wavelets. IEEE, 1995. • Disponível em: http://www.amara.com/IEEEwave/IEEEwavelet.html

25. Referências • DEVORE, Ronald. Wavelets, 1991. • Disponível em: https://www.gprt.ufpe.br/~ajcj/artigos/Wavelets/wavelets.pdf • Alguns papers sobre Wavelets • Disponível em: http://www-math.mit.edu/~gs/papers/recent_wt_papers.html