O Triângulo de Pascal
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O Triângulo de Pascal. Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Yang Hui, publicada em 1303.   Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013. Versão de Pascal do triângulo. Blaise Pascal (1623 - 1662)

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O Triângulo de Pascal

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Presentation Transcript


O tri ngulo de pascal

O Triângulo de Pascal

Triângulo de Pascal, numa obra do matemático chinês Yang Hui, publicada em 1303

  Aceite para publicação em 19 de novembro de 2013


O tri ngulo de pascal

Versão de Pascal do triângulo

Blaise Pascal (1623 - 1662)

Na sua vida curta mas cheia de acontecimentos, o filósofo e matemático Francês trabalhou em muitos problemas e tópicos diferentes. Inventou uma máquina de calcular e produziu um tratado sobre secções cónicas.

O triângulo que leva o seu nome era já conhecido na China por volta do ano 1300 a.C. e, provavelmente também o era na Europa. Mas foi o extenso trabalho de Pascal na teoria das probabilidades que levou a que lhe fosse dado o seu nome.


O tri ngulo de pascal

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

4

1

6

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

“O padrão é tão simples que uma criança de 10 anos o consegue escrever, no entanto, contém tantas ligações com tantos aspectos aparentemente não relacionados da Matemática, que é seguramente uma das mais elegantes construções Matemáticas.”

MartinGardner

1

9

36

84

126

84

36

9

1

126

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...


O tri ngulo de pascal

Linha

1

n = 0

1

1

n = 1

1

2

1

n = 2

1

3

3

1

n = 3

1

4

6

4

1

n = 4

n = 5

1

5

10

10

5

1

n = 6

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

n = 7

n


O tri ngulo de pascal

Propriedades do Triângulo de Pascal

1

  • Todas as linhas começam e acabam em 1.

  • Efetivamente,

  • 2. O triângulo é simétrico, uma vez que , em cada linha, valores equidistantes dos extremos são iguais.

1

1

2

1

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

  • A soma de dois números consecutivos de uma linha é igual ao número que se situa entre eles, na linha seguinte:

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

4. A soma dos elementos de qualquer linha n, com é

5. O número de elementos de uma linha n, com , é n+1.

1

8

28

56

70

56

28

8

1


O tri ngulo de pascal

Uma aplicação!...


O tri ngulo de pascal

CASA DA ANA

E

A

B

C

S

ESCOLA

Quantos Caminhos diferentes tem a Ana para chegar à Escola, se andar sempre apenas para Este (E) ou para Sul (S)?

Comecemos por contar o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A!

(clica em A)

B’

E até à esquina C?...

(clica em C)

E para chegar à esquina B?...

(clica em B)

E, finalmente, até à Escola?...

(clica na “Escola”)

E se fosse para chegar à esquina B'?...


Contemos ent o o n mero de caminhos diferentes que ela tem para chegar esquina a

Contemos, então, o número de caminhos diferentes que ela tem para chegar à esquina A!

E

1

1

(S , E)

S

(E , S)

A

2

1

Número de maneiras diferentes de:

Dos 2 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este e o outro para Sul!

(clica aqui)


Continuemos a contar caminhos agora para chegar esquina b

Continuemos a contar caminhos! Agora para chegar à esquina B...

E

1

1

(S , S , E)

(E , S , S)

2

1

S

(S , E , S)

B

3

1

Número de maneiras diferentes de:

Dos 3 troços a percorrer, escolher 1 desvio para Este (e os 2 restantes para Sul)!

ou

(clica aqui)


E at esquina c

E

S

C

E até à esquina C!...

1

1

1

(E , E , S , S)

(E , S , E , S)

(E , S , S , E)

1

2

3

(S , E , E , S)

(S , E , S , E)

(S , S , E , E)

1

3

6

Número de maneiras diferentes de:

Dos 4 troços a percorrer, escolher 2 desvios para Este (e os 2 restantes para Sul)!

(clica aqui)


Sintetizando sabemos que

C

2

1

1

1

1

1

1

2

3

3

3

1

0

1

3

2

4

2

C

C

C

C

C

C

C

C

2

1

0

2

2

0

1

0

6

Sintetizando, sabemos que:

A

B

C


E retomando o esquema inicial com uma outra inclina o podemos conjeturar

8

C

1

1

4

3

2

7

4

7

8

7

7

3

8

8

7

7

8

8

8

8

4

4

7

6

6

6

6

6

6

5

8

3

5

5

5

6

2

5

2

3

4

5

7

0

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

1

4

1

7

0

2

0

1

1

0

2

3

3

4

2

1

2

3

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0

5

0

4

1

4

2

5

4

3

0

0

5

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6

2

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0

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2

3

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3

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1

2

1

1

1

3

3

1

1

4

6

4

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1

5

10

10

5

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1

15

6

20

15

6

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1

21

35

35

21

1

7

28

8

56

70

1

56

1

28

8

E… retomando o esquema inicial com uma outra inclinação, podemos conjeturar:

CASA DA ANA

ESCOLA

A Ana tem caminhos diferentes para chegar à Escola (dos oito troços a percorrer, escolher 4 desvios para Este e os 4 restantes para Sul).


O tri ngulo de pascal

G

A

N

E

W

S

R

E se a situação fosse esta:

O Rui e a Ana, quando vão de casa para o ginásio, utilizam as ruas só nos sentidos WE e SN.

R – Casa do Rui

A – Casa da Ana

G – Ginásio

O Rui, numa deslocação de casa para o ginásio, escolhe o percurso totalmente ao acaso. A probabilidade de o Rui passar no cruzamento onde se situa a casa da Ana é:

A figura representa parte da planta das ruas de uma cidade.

ou


O tri ngulo de pascal

“Tudo” o que há no Triângulo de Pascal


Tri ngulo de pascal

1

1

1+1=2

1+2=3

2+3=5

3+5=8

1

5+8=13

8+13=21

1

2

3

3

6

4

10

5

15

6

21

7

28

8

36

9

45

10

55

11

.

.

Triângulo de Pascal

Sucessão de Fibonacci

Números Naturais

1

1

Números Triangulares

1

.

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.

.

.

.

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.

.

.

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.

.

1

1

1

4

1

1

5

10

1

1

6

15

20

1

1

7

21

35

35

1

1

8

28

56

70

56

1

1

9

36

84

126

126

84

1

1

10

45

120

210

252

210

120

1

1

1

11

55

165

330

462

462

330

165

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


Somas rastejantes

Somas “rastejantes”!

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1

8

28

56

70

56

28

8

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1

9

36

84

126

126

84

36

9

1

1

10

45

120

210

252

210

120

45

10

1

1

11

55

165

330

462

462

330

165

55

11

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Adicionando os elementos de uma diagonal descendente, até uma certa linha, vamos obter o elemento da linha seguinte, por baixo do último elemento adicionado.


O tri ngulo de pascal

Todos diferentes, todos iguais

Números ímpares

Números pares

&

1

Diferentes procedimentos matemáticos podem conduzir-nos ao mesmo objeto, mesmo que os caminhos tomados sejam consideravelmente diferentes.

1

1

1

2

1

1

3

3

1

6

1

4

4

1

1

5

10

10

5

1

1º caminho diferente

1

15

15

1

6

20

6

1

7

21

35

35

21

7

1

1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

9

36

84

126

84

36

9

1

126

1

45

45

1

210

252

120

10

120

210

10

1

11

55

165

462

165

55

11

1

330

462

330

12

66

220

792

924

792

220

66

1

495

495

12

1

78

286

1716

1716

286

78

1

13

715

1287

1287

715

13

1

1

14

91

364

1001

2002

3003

3432

3003

2002

1001

364

91

14

1

1

15

105

455

1365

3003

5005

6435

6435

5005

3003

1365

455

105

15

1


O tri ngulo de pascal

Todos diferentes, todos iguais

2º caminho diferente

Considera um triângulo equilátero qualquer e une os pontos médios dos lados. Obténs quatro triângulos mais pequenos.

Em cada um dos triângulos exteriores repete o procedimento (isto é, só não fazes mais nada no triângulo que está no meio).

Em cada grupo de quatro triângulos que obtiveres, repete o procedimento nos três triângulos exteriores.


O tri ngulo de pascal

Todos diferentes, todos iguais

Que padrão observas?


O tri ngulo de pascal

Todos diferentes, todos iguais

O jogo do Caos

3º caminho diferente

C

C

C

X1

X2

A

A

B

B

A

B

Considera três quaisquer pontos do plano A, B e C.

Marca numa folha de papel esses três pontos assim como um quarto ponto X1.

Pega num dado normal e lança o dado.

Se obtiveres 1 ou 4, une X1 com A e toma X2 como o ponto médio desse segmento.

Se obtiveres 2 ou 5, une X1 com B e toma X2 como o ponto médio desse segmento.

Se obtiveres 3 ou 6, une X1 com C e toma X2 como o ponto médio desse segmento.

Retoma o processo a partir de X2.

Vai assinalando sempre os pontos médios obtidos X3, X4, etc.

Repete o procedimento uma boa vintena de vezes.

Se tiveres um computador ou uma calculadora gráfica podes programá-los para eles te traçarem os pontos médios sucessivos.

http://demonstrations.wolfram.com/ChaoticItineraryButRegularPattern/


O tri ngulo de pascal

Que padrão observas?


O tri ngulo de pascal

Todos iguais

O padrão que aparece neste três procedimentos tão diferentes é conhecido como Triângulo de Sierpinski. Foi descoberto em 1917 pelo matemático polaco WaclawSierpinski. Tem várias propriedades curiosas como a de ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais, ter área igual a zero, e ser autossemelhante(isto é, uma pequena porção do triângulo é idêntica ao triângulo todo a menos de uma escala adequada).

Quem diria que seria possível obter a mesma figura por processos tão diferentes! Ainda por cima este padrão aparece em vários fenómenos naturais, como por exemplo a formação das conchas de certos seres marinhos.

Assim se vê a beleza e poder da Matemática.

Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra)

http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/


O tri ngulo de pascal

Aplicações

Algumas questões de exames nacionais

1. a b c d e grepresenta uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras.

Qual das seguinte igualdades é verdadeira?

(A) (B) (C) (D)

2.Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem quinze elementos.

Qual é o sexto elemento dessa linha?

(A) (B) (C) (D)

3.A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 31. Qual é o quinto elemento da linha anterior?

(A) 23 751 (B) 28 416 (C) 31 465 (D) 36 534


O tri ngulo de pascal

Aplicações

Algumas questões de exames nacionais

4.No Triângulo de Pascal, considere a linha que contém os elementos da forma

Quantos elementos dessa linha são menores do que ?

(A) 8(B) 6(C) 5(D) 3

O quarto número de uma certa linha do Triângulo de Pascal é 19 600. A soma dos quatro primeiros números dessa linha é 20 876.

Qual é o terceiro número da linha seguinte?

(A) 1275(B) 1581(C) 2193(D) 2634

Numa certa linha do triângulo de Pascal, o segundo número é 2009.

Quantos elementos dessa linha são maiores que um milhão?

(A) 2004(B) 2005(C) 2006(D) 2007


O tri ngulo de pascal

O Binómio de Newton

O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo.

O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóóóóó---óóóóóóóóóóóóóóó

(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos


O tri ngulo de pascal

Binómio de Newton

Calculemos:

Caso notável da multiplicação de polinómios

..….

?


O tri ngulo de pascal

Podemos escrever

Binómio de Newton

..….

e observar que:

Para cada valor natural de n, os coeficientes do desenvolvimento de são os números combinatórios que constituem a linha n do Triângulo de Pascal.

A soma dos expoentes de a e b é sempre igual a n, diminuindo os expoentes de a de n até zero, enquanto os de b aumentam de zero a n.

concluindo que (pode demonstrar-se recorrendo ao Método de Indução Matemática):


O tri ngulo de pascal

Binómio de Newton

Repara:

O termo de ordem p+1, designado por com

do desenvolvimento de , é dado pela expressão


O tri ngulo de pascal

..........................

1

.......................

1

1

.....................

1

2

1

...................

1

3

3

1

.................

1

4

6

4

1

..............

1

5

10

10

5

1

1

6

15

20

15

6

1

1

7

21

35

35

21

7

1

1

8

28

56

70

56

28

8

1

Binómio de Newton


O tri ngulo de pascal

Binómio de Newton

Aplicações

Algumas questões de exames nacionais

  • 1.Indique qual das equações seguintes é equivalente à equação

  • (A) (B)

  • (C) (D)

  • 2.Quantas são as soluções da equação ?

  • (A)1 (B) 2 (C)3 (D)4

  • Um dos termos do desenvolvimento de é

  • Indique o valor de n?

  • (A) 10 (B) 12 (C) 20 (D) 21


O tri ngulo de pascal

  • Bibliografia:

  • Infinito 12

  • Matemática A -12º ano

  • Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso | Alves Cristina Cruchinho

  • Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões

  • Novo Espaço

  • Matemática A -12º ano

  • Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues

  • Jaime Carvalho e Silva (colaborador do Ciência com Todos e docente/investigador de Matemática/Educação Matemática na U. de Coimbra)

  • Página pessoal do autor: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/pessoal/

  • The joy of mathematics

  • Theoni Pappas

Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências

Maria José Guimarães Vaz da Costa


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