ELEMENTE DE LOGIC Ă MATEMATICĂ ÎN CIRCUITELE DIGITALE

1. ELEMENTE DE LOGICĂ MATEMATICĂ ÎN CIRCUITELE DIGITALE

2. Logica matematică (sau logica simbolică) s-a născut ca ştiinţă autonomă în sec. al XIX-lea. Ea se află la hotarul dintre logică şi matematică, având ca obiect investigarea gândirii formale prin metode matematice specifice. Logica matematică operează cu propoziţii. Se numeşte propoziţie un enunţ care este advărat sau fals, însă nu şi una şi alta simultan. Cadrul matematic în care se studiază propoziţiile logice este algebra logică. Bazele algebrei logice au fost puse de matematicienii englezi George Boole (1815-1864) şi Augustus de Morgan (1806-1871). Atribuindu-se unei propoziţii adevărate valoarea 1 şi unei propoziţii false valoarea 0, o propoziţie neputând să ia în acelaşi timp ambele valori, s-a introdus o variabilă care ia doar valorile 1 şi 0, numită variabilă logică. Trebuie menţionat că 1 şi 0 sunt aici simboluri fără înţeles numeric. 1.Elemente de logică matematică

3. a.Negaţia propoziţiilor Negaţia propoziţiei p este propoziţia non p care se noteazăﾡ p şi care este adevărată când p este falsă şi falsă când p este adevărată. Vom nota propoziţiile cu literele p, q, r.... Acestea se pot compune cu ajutorul aşa-numiţilor conectori logici “non”, “sau”, “şi” , rezultând propoziţii complexe.

4. b.Disjuncţia propoziţiilor. Disjuncţia propoziţiilor p, q este propoziţia care se citeşte p sau q, notată p v q, şi care este adevărată atunci şi numai atunci când cel puţin una din propoziţiile p, q este adevărată.

5. c.Conjuncţia propoziţiilor. Conjuncţia propoziţiilor p, q este propoziţia care se citeşte p şi q, notată p ʌ q şi care este adevărată atunci şi numai atunci când fiecare din propoziţiile p, q este adevărată.

6. d.Implicaţia propoziţiilor. Implicaţia propoziţiilor este propoziţia compusă “p implică q”, notată p→q , care este falsă atunci şi numai atunci când p este adevărată şi q falsă, în celelalte cazuri fiind adevărată.

7. e.Echivalenţa propoziţiilor. Echivalenţe propoziţiilor p, q este propoziţia “p echivalent cu q”, notată p↔q , care este adevărată atunci şi numai atunci când ambele propoziţii au aceeaşi valoare de adevăr

8. Circuitele digitale sunt circuite electronice realizate cu elemente fizice care comportă două stări distincte: „închis – deschis”, „puls – lipsă puls”, „tensiune scăzută – tensiune înaltă”. Starea intermediară nu există, iar un element nu poate fi simultan în ambele stări. Astfel de elemente, numite şi elemente de comutaţie, sunt: întrerupătorul, dioda, tranzistorul, tiristorul ş.a. Legile care descriu comportarea diferitelor combinaţii ale celor două stări ale elementelor de comutaţie, formal, sunt identice cu legile care guvernează relaţiile dintre propoziţiile logice ( aşa cum o propoziţie nu poate fi decât adevărată sau falsă, un întrerupător nu poate fi decât închis sau deschis, o diodă nu poate fi decât în conducţie sau blocată , însă nu şi una şi alta simultan). 2. Circuite digitale

9. Deoarece elementele de comutaţie folosite în construcţia circuitelor digitale ascultă de legile algebrei logice, aceste elemente sunt numite în general elemente logice. Circuitele digitale sunt numite şi circuite logice. În 1938 Claude Shannon a folosit pentru prima dată algebra logică în analiza circuitelor de comutaţie. Circuitele digitale lucrează cu semnale electrice (tensiuni, curenţi) caracterizate prin două niveluri distincte. Nivelul scăzut este asociat, în general, cu 0 logic, iar nivelul ridicat cu 1 logic. În multe aplicaţii practice, absenţa semnalului este asociată cu 0, iar prezenţa semnalului cu 1.

10. Propoziţiile complexe, obţinute în urma compunerii propoziţiilor simple cu ajutorul operatorilor logici, în electronica digitală sunt numite funcţii logice, iar conectorii logici V, ʌ, ﾡ sunt înlocuiţi cu + (SAU), ∙ (ŞI), negaţie (a) Funcţiile logice se pot realiza practic foarte uşor, folosind întrerupătoare.

11. 1. Funcţia SAU Asociind starea „deschis” a întrerupătoarelor cu 0 logic, iar starea „închis” cu 1 logic, se constată cu uşurinţă că becul va fi stins dacă ambele întrerupătoare sunt deschise şi va lumina dacă cel puţin unul dintre întrerupătoare este închis. Asociind stării „stins” a becului valoarea logică 0, iar stării „aprins” valoarea logică 1, rezultă tabelul de adevăr al funcţiei SAU.

12. 2. Funcţia ŞI 3. Funcţia NU Numai atunci când ambele întrerupătoare sunt închise ( în 1 logic), vom avea curent prin circuit şi becul va lumina (f = 1). Când întrerupătorul este închis , curentul va trece prin el, iar becul nu va lumina . Când întrerupătorul este deschis , curentul va trece prin bec, iar becul va lumina.

13. Circuitele logice (digitale) care realizează funcţiile logice elementare de numesc porţi logice. Acestea cu simboluri specifice, cu ajutorul cărora le identificăm pe schemele electronice. POARTA SAU POARTA ŞI POARTA NU (inversor)

14. Porţile logice se realizează astăzi sub formă de circuite integrate, având un număr mare de componente (tranzistoare, diode, rezistoare) de dimensiuni microscopice pe un substrat comun semiconductor, numit cip. Prima familie de porţi integrate care a reprezentat un succes tehnologic, a fost cea numită TTL, apărută în anii ‘60 şi folosită încă pentru sistemele digitale de complexitate redusă şi medie şi pentru interfaţarea cu circuitele cu un grad mai mare de integrare. În multe cazuri, tehnologia iniţială TTL a fost înlocuită de tehnologia CMOS, dar funcţionalitatea circuitelor a rămas aceeaşi.

15. Tipuri de circuite integrate cu porţi logice 7408 – 4 porţi ŞI 7404 – 6 porţi NU 7432 – 4 porţi SAU 7400 – 4 porţi ŞI-NU 7404 – 4 porţi SAU-NU 7486 – 4 porţi SAU-EXCL.