Topics in Algorithmic Game
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 62

Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים PowerPoint PPT Presentation


  • 110 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים. תזכורת: משחקי פוטנציאל. “R” ‏. “E” ‏. 0 ‏. 1 ‏. “R” ‏. 4 , 4 ‏. -1 , 5 ‏. 1 ‏. 2 ‏. “E” ‏. 5 , -1 ‏. 0 , 0 ‏. הגדרה : נאמר שמשחק הוא משחק פוטנציאל אם קיימת פונקציה Φ : A 1 x A 2 x A 3 ··· x A n  R

Download Presentation

Topics in Algorithmic Game Theory נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Topics in algorithmic game theory

  • Topics in Algorithmic Game Theory

    נושאים אלגוריתמיים בתורת המשחקים


Topics in algorithmic game theory

תזכורת: משחקי פוטנציאל


Topics in algorithmic game theory

“R”‏

“E”‏

0‏

1‏

“R”‏

4 , 4‏

-1 , 5‏

1‏

2‏

“E”‏

5 , -1‏

0 , 0‏


Topics in algorithmic game theory

  • הגדרה:

  • נאמר שמשחקהוא משחק פוטנציאל אם קיימת פונקציה

  • Φ:A1 x A2x A3 ···x An R

  • כך שלכל מתקיים:

  • Φ(ai, a-i) – Φ(a’i, a-i) = ui(ai, a-i) – ui(a’i, a-i)

  • cvb


Topics in algorithmic game theory

פונקצית פוטנציאל

טענה: למשחק פוטנציאל סופי יש שיווי משקל טהור.

“R”‏

“E”‏

0‏

1‏

“R”‏

4 , 4‏

-1 , 5‏

1‏

2‏

“E”‏

5 , -1‏

0 , 0‏


Topics in algorithmic game theory

  • לא כל משחק הוא משחק פוטנציאל

  • למשל, במשחק זוג או פרט אין שיווי משקל נאש באסטרטגיות טהורות, ובפרט זה אינו משחק פוטנציאל

  • 10

  • 8K 2+K

  • 2-K ? ?


P rice of s tability pos

מחיר היציבות Priceof Stability (PoS)

מחיר האנרכיהPriceof Anarchy (PoA)


Topics in algorithmic game theory

מוטיבציה

מחיר היציבות ומחיר האנרכיה הם מדדים שימושיים להערכה אופטימיתופסימיתשל חוסר יעילות של מערכת במקרה הגרוע (למשל, במקרים של ריבוי שיוויי משקל)


Topics in algorithmic game theory

“R”‏

“E”‏

“R”‏

4, 4‏

-1, 5‏

“E”‏

5, -1‏

0, 0‏


Topics in algorithmic game theory

“R”‏

“R”‏

“E”‏

“E”‏

“R”‏

90, 90‏

-1, 99‏

“R”‏

4, 4‏

-1, 5‏

“E”‏

99, -1‏

0, 0‏

“E”‏

5, -1‏

0, 0‏


Topics in algorithmic game theory

מוטיבציה

נתעניין במחלקות של משחקים בהם הרווחה החברתית המתקבלת היא "סבירה" בהשוואה לזו המתקבלת במצבים בהם השחקנים אינם פועלים באופן אסטרטגי.


Topics in algorithmic game theory

NE

PNE


Topics in algorithmic game theory

NE

PNE


Topics in algorithmic game theory

מוטיבציה

נתעניין במחלקות של משחקים בהם הרווחה החברתית המתקבלת היא "סבירה" בהשוואה לזו המתקבלת במצבים בהם השחקנים אינם פועלים באופן אסטרטגי.

וכנ"ל עבור העלות החברתית


Topics in algorithmic game theory

משחק בניית רשת

  • נתון גרף מכוון G(V, E)

  • בניית קשת e בגרף Gעולה c(e)

  • יש k> 2 שחקנים

  • לכל שחקן i יש קודקוד התחלה siוקודקוד מטרה ti

  • כל שחקן צריך לבחור מסלול piמקודקוד si אל tiבגרף G

  • כל שחקן ישלם עבור המסלול שהוא בחר באופן הבא:

    ci (pi, p-i) = ∑ c(e)/ l(e, p)

    l(e, p) הוא מספר השחקנים שהקשת eשייכת למסלול שלהם באוסף המסלולים (pi, p-i) = p

epi


Topics in algorithmic game theory

עלות חברתית

  • העלות החברתית של אוסף מסלולים p1, p2, …, pk היא העלות הכוללת של כל השחקנים:

    ∑ ici (pi, p-i) = p1, p2, …, pk)cost (


Topics in algorithmic game theory

דוגמא

  • עלויות הקשתות הן 0, k, 1+ε

  • יש k> 2 שחקנים

  • לכל שחקן i יש

    קודקוד התחלה si וקודקוד מטרה ti


Topics in algorithmic game theory

דוגמא

  • עלויות הקשתות הן 0, k, 1+ε

  • יש k> 2 שחקנים

  • לכל שחקן i יש

    קודקוד התחלה si וקודקוד מטרה ti

  • אם כל השחקנים ישתמשו בקשת השמאלית לבניית המסלול,

    אז כל שחקן iישלם 1 = = ci

    העלות החברתית היא k


Topics in algorithmic game theory

דוגמא

  • עלויות הקשתות הן 0, k, 1+ε

  • יש k> 2 שחקנים

  • לכל שחקן i יש

    קודקוד התחלה si וקודקוד מטרה ti

  • אם שחקן 1 ישתמש בקשת הימנית לבניית המסלול שלו, אז הוא ישלם וכל השאר ישלמו כל אחד

    העלות החברתית הכוללת היא


Topics in algorithmic game theory

דוגמא עם שיווימשקל יחיד

  • שחקן iמעוניין במסלול מ-si אל t

  • עלות חברתית אופטימליתהיא 1+ε

  • אבל, זהו לא שיווי משקל כי לשחקן k כדאי לסטות

  • ובאופן אינדוקטיבי: גם לשחקן k-1 כדאי לסטות וכו'

  • עלות חברתית של שיווי המשקל היא:

    Θ(log k) = =


Topics in algorithmic game theory

משפט: משחק בניית רשת הוא משחק פוטנציאל (ולכן תמיד קיים שיווי משקל טהור).

הוכחה:

בהמשך


Topics in algorithmic game theory

מחיר האנרכיהPriceof Anarchy (PoA)


Topics in algorithmic game theory

הגדרה

הגדרה: מחיר האנרכיה Price of Anarchy (PoA) יוגדר להיות היחס הבא:

העלות של שיווי משקל טהור עם העלות החברתית המכסימלית

העלות החברתית המינימלית

הערות:

  • ככל שהיחס קטן יותר כך מחיר האנרכיה נמוך יותר.

  • עבור רווחה חברתית נתעניין ברווחה האופטימלית חלקי הרווחה של שיווי המשקל עם העלות המינימלית.


Topics in algorithmic game theory

משפט: מחיר האנרכיה של משחק בניית רשת <k, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoAk.

(כלומר הוא k חסם הדוק)

הוכחה:

יהי P*1, P*2, …, P*k)( שיווי משקל נאש טהור, ויהי Q1, Q2, …, Qk) (

הפתרון שעלותו החברתית מינימלית. נסמן

OPT= Q1, Q2, …, Qk)cost (

בשיווי משקל מתקיים: cost (Pi)costi(P*i, P*-i) < לכל Pi.

אחרת, שחקן i היה בונה לבד את המסלול Pi , ולכן:

OPT<min cost (Pi)costi (P*i, P*-i) <

כי OPT מכסה עלות של מסלול כלשהו מ-siל- ti


Topics in algorithmic game theory

משפט: מחיר האנרכיה של משחק בניית רשת <k, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoAk.

הוכחה:

יהי q1, q2, …, qk)( שיווי משקל נאש טהור.

יהי p*1, p*2, …, p*k) (הפתרון שעלותו החברתית מינימלית.

נסמן: OPT= p*1, p*2, …, p*k)cost (.

בשיווי משקל מתקיים: cost (pi)costi(qi, q-i) <costi (pi, q-i) < לכל pi.

אחרת, שחקן i היה בונה לבד את המסלול pi.

בפרט: cost (pi)mincosti (qi, q-i) <

בנוסף: OPT<min cost (pi)

כי OPT מכסה עלות של מסלול כלשהו מ-siל- ti.

נקבל:k · OPT<costi (qi, q-i) ∑.


Topics in algorithmic game theory

מחיר האנרכיה = k

נסתכל על המשחק שבדוגמא

  • שיווי משקל עם עלות חברתית k:

    כל השחקנים בונים את הקשת השמאלית

  • פתרון עם עלות מינימלית:

    כל השחקנים בונים את הקשת הימנית

  • הערה:זהו גם שיווי משקל

  • כאשר אפסילון שואף לאפס:PoA = = k

  • הערה: לא ייתכן שיווי משקל עם עלות חברתית > k ע"פ מה שהוכח קודם


P rice of s tability pos1

מחיר היציבות Priceof Stability (PoS)


Topics in algorithmic game theory

הגדרות

הגדרה: מחיר האנרכיה Price of Anarchy (PoA) יוגדר להיות היחס הבא:

העלות של שיווי משקל טהור עם העלות החברתית המכסימלית

העלות המינימלית

הגדרה: מחיר היציבות Price of Stability (PoS) יוגדר להיות היחס הבא:

העלות של שיווי משקל טהור עם העלות החברתית המינימלית

העלות המינימלית


Topics in algorithmic game theory

דוגמא, מחיר היציבות

נסתכל על המשחק שבדוגמא.

  • שיווי משקל:

    כל השחקנים בונים את הקשת השמאלית

  • פתרון עם עלות מינימלית:

    כל השחקנים בונים את הקשת הימנית

  • הערה:זהו גם שיווי משקל

  • כאשר אפסילון שואף לאפס:PoS = = 1


Topics in algorithmic game theory

משפט: משחק בניית רשת הוא משחק פוטנציאל (ולכן תמיד קיים שיווי משקל טהור).

הוכחה:

  • נגדיר תחילה את פונקצית הפוטנציאל המתאימה למשחק.


Topics in algorithmic game theory

משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS.

הוכחה:


Topics in algorithmic game theory

משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS.

הוכחה:


Topics in algorithmic game theory

משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS.

הוכחה:


Topics in algorithmic game theory

משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS.

הוכחה:


Topics in algorithmic game theory

משפט: מחיר היציבות של משחק בניית רשת <, כאשר k הוא מספר השחקנים, וקיים משחק בניית רשת שעבורו = PoS.

הוכחה:


Topics in algorithmic game theory

דוגמא שעבורה:PoS

  • שחקן iמעוניין במסלול מ-si אל t

  • עלות חברתית אופטימליתהיא 1+ε

  • אבל, זהו לא שיווי משקל כי לשחקן k כדאי לסטות

  • ובאופן אינדוקטיבי: גם לשחקן k-1 כדאי לסטות וכו'

  • עלות חברתית של שיווי המשקל היא:

    Θ(log k) = =


Topics in algorithmic game theory

לסיכום, עבור משחק בניית רשת:מחיר האנרכיה = kמחיר היציבות =


Topics in algorithmic game theory

כמה הערות נוספות על מחיר האנרכיה


Topics in algorithmic game theory

מחיר היציבות ומחיר האנרכיה הם מדדים שימושיים להערכהאופטימית ופסימיתשל ביצועי מערכת במקרה הגרוע (למשל, במקרים של ריבוי שיוויי משקל)

הערה: המצב הרצוי ביותר הוא כשמחיר האנרכיה קרוב ל-1, אז אין צורך "להתערב"במערכת


Topics in algorithmic game theory

  • ניתן להגדיר את מחיר האנרכיה גם עבור שיווי משקל כללי (לא בהכרח טהור)

  • ניתן באופן דומה להגדיר מחיר אנרכיה לרווחה חברתית

  • (רווחה חברתית מכסימלית חלקי הרווחה החברתית של שיווי המשקל עם הרווחה המינימלית).


Knapsack problem

בעית התרמיל – Knapsack Problem


Topics in algorithmic game theory

אלגוריתמים לבעית התרמיל

  • בעיה:לא ידוע אלגוריתם יעיל לפתרון בעית התרמיל.

  • בשבוע שעבר ראינו 2-קירוב בזמן פולינומי לבעיה.

  • היום נראה אלגוריתם בסיבוכיות O(nC)

    ("פסאודו-פולינומי")


Topics in algorithmic game theory

אלגוריתמים תכנון דינמי

// A[i, k]will be the maximum value that can be attained with total size less than or equal to k using items 1, 2, …, i

For c = 0, 1, 2, …, C

do A[0, c] := 0

Fori= 1, 2, …, n

For k = 0, 1, …, C

if k > si

A[i, k] := max(A[i-1, k], A[i-1, k- si] + vi)

else A[i, k] := A[i-1, k]


Topics in algorithmic game theory

אלגוריתמים תכנון דינמי

A[i, k]will be the maximum value that can be attained with total size less than or equal to k using items 1, 2, …, i

For k = 0, 1, 2, …, C

do A[0, k] := 0

Fori= 1, 2, …, n

For k = 0, 1, …, C

if k > si

A[i, k] := max (A[i-1, k], A[i-1, k- si] + vi)

else A[i, k] := A[i-1, k]


Topics in algorithmic game theory

אלגוריתמים תכנון דינמי

A[i, k]will be the maximum value that can be attained with total size less than or equal to k using items 1, 2, …, i

For k = 0, 1, 2, …, C

do A[0, k] := 0

Fori= 1, 2, …, n

For k = 0, 1, …, C

if k > si

A[i, k] := max (A[i-1, k], A[i-1, k- si] + vi)

else A[i, k] := A[i-1, k]


Topics in algorithmic game theory

  • סיבוכיות אלגוריתם תכנון דינמי O(nC)

  • נכונות?


Bibliography

Bibliography

Chandra Chekuri, CS 573: Algorithmic Game Theory, 2008Lecture Notes,

Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, and Vijay Vazirani, Algorithmic Game Theory, Cambridge University Press, 2007.

David Easley and Jon Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets, Cambridge University Press, 2010

Wikipedia


  • Login