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Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen PowerPoint PPT Presentation


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Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen. Vorlesung. 21.05.2007. Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz. Multivariates Testen MANOVA. Multivariate Varianzanalyse (MANOVA). Ziele.

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Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen

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Presentation Transcript


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Multivariate Analysemethoden

und

Multivariates Testen

Vorlesung

21.05.2007

Günter Meinhardt

Johannes Gutenberg Universität Mainz


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Multivariates Testen MANOVA

Multivariate Varianzanalyse (MANOVA)

Ziele

  • Mehrgruppen / Mehrfaktorenvergleiche von Messungen auf mehreren abhängigen Variablen.

  • Vermeidung von Entscheidungsfehlern durch fälschliche implizite Unabhängigkeitsannahme bei univariater Abtestung der einzelnen abhängigen Variablen.

  • Vermeidung der Probleme durch multiples Testen durch Verwendung eines einzigen Tests für das gesamte Design.

  • Verbesserte Teststärke und Validität bei Verwendung von Testbatterien und (mäßig) korrelierten Profilskalen.

Voraussetzung

  • Gleiche (homogene) Varianz-Kovarianz Matrizen (Sj) in allen Gruppen.

  • Testungen der Gruppenunterschiede (Centroide), sowie der Homogenität der Sj- Matrizen erfordern die Gültigkeit der multivariaten Normalverteilung.


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Multivariates Testen MANOVA

Ansatz

  • Vergleich der Quadratsummen für „between“ und „within“ Group Varianz, erzeugt aus allen Variablenkomponenten.

  • Statistik erhält man ebenso über über Eigenwertzerlegung einer ausB und W Komponenten zusammengesetzten Matrix.

Anwendung

  • Allgemein: Experimentelle Analyse im Rahmen von multidimen- sionalen Evaluationsstudien.

  • Multiple Effektivitätsstudien. Nachweise der Veränderung von Profilen durch experimentelle oder therapeutische Intervention in repeated measurement Designs.

  • Untersuchung differentieller Effekte auf mehren Ebenen (Mehrebeneanalyse). (Z.B. Arbeitszufriedenheit auf 3 Hierachieebenen untersuchen).

Nachteile

  • Restriktion gleicher Varianz-Kovarianz Matrizen in allen Gruppen.

  • Auswirkung der Verletzung der Annahme der multivariaten Normalverteilung schwer abzuschätzen.


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3.5

3.0

2.5

2.0

Fahrleistung: X2

1.5

1.0

0.5

0.0

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

Koordination: X1

0.5 Promill

1 Promill

2D Beispiel MANOVA

2D-Beispiel

Regression nüchtern

Regression 1 Promill

PrototypischeDatensituation

  • Generell: g- Gruppen gemessen auf p Variablen. Hier g=2, p=2, Koordination (X1) und Fahrleistung (X2)

  • Gleiche Regressionssteigungen und gleiche Varianzen in den Gruppen auf beiden Variablen (Homogenität der Varianzen und Covarianzen)

  • Stichprobendaten entstammen multivariat normalverteilten Populationen.


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0.5 Promill

1 Promill

2D Beispiel MANOVA

Fahrleistung: X2

2D-Beispiel

Regression 0.5 Promill

Regression 1 Promill

Koordination: X1

1D - Testen unzulänglich

  • Univariat sind die Rohwertverteilungen nicht gut getrennt, und daher ebenfalls nicht die Mittelwerteverteilungen (hohes N nötig für signi- fikante Gruppenunterschiede in den Kennwerteverteilungen)

  • Signifikanzurteile sind unabhängig und führen zu p Signifikanzaus- sagen, obwohl nur eine erwünscht ist

  • Information der gleichen Beziehung zwischen den abhängigen Variablen (gleiche Korrelation) wird nicht genutzt .


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0.5 Promill

1 Promill

2D Beispiel MANOVA

Fahrleistung: X2

2D-Beispiel

Regression 0.5 Promill

Regression 1 Promill

Koordination: X1

2D - Testen Ausgangslage

  • 2D 95% Quantile zeigen an, daß die Mittelwerte der jeweils anderen Gruppe nicht mehr im Konfidenzbereich der Rohwerte liegen (bei den univariaten Verteilungen liegen sie darin)

  • Orthogonal zur Hauptvarianzrichtung der Ellipsen bestehen optimale Trennbedingungen für die Mittelwerte

  • Ein Test, in den die Korrelation der beiden Variablen eingeht, hat daher optimale Chancen, Unterschiede der Centroide aufzudecken.

MANOVA


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Konstanten

g = Anzahl Gruppen

n = Snl = n1+ n2+…ng

p = Anzahl Variablen

Population 1:

Population 2:

Indices

i : Fälle (Personen)

l : Gruppen

Population g:

1. One-Way MANOVA MANOVA

Problem

Unterscheiden sich g unabhängige Populationen in ihren auf p Variablen gemessenen Centroiden ?

Annahmen

  • Die Samples X1l, X2l,…, Xnll sind Zufallsstichproben der Größe nl mit einem Populationszentroiden ml. Die Zufallsstichproben sind unabhängig.

  • Alle Populationen haben dieselbe wahre Varianz-Covarianzmatrix S.

  • Jede Population ist p- variat normalverteilt.


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Parameter-

schätzer

xilj

Case

Group

Zu prüfende

Annahmen

Var

Homogenität der Varianz-Covarianz-Matrizen und p-variate Normalverteilung der Stichprobenwerte

1. One-Way MANOVA MANOVA

Datenschema

Population 1:

Population 2:

Population g:


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Additives Modell zum Vergleich von Centroiden aus g Populationen

mit eilunabhängigenund N(0,S) verteilten Fehlerkomponenten.

Additive Zerlegung

Beobachtung

Grand Mean

Treatmenteffekt

Fehlerkomponente

Grand Mean abziehen, Kreuzprodukt bilden , und summieren über Fälle ergibt:

p x p Matrizen

Totale QS und Kreuzprodukte

Treatment QS und Kreuzprodukte

Fehler QS und Kreuzprodukte

1D Analog

1. One-Way MANOVA MANOVA

MANOVA

Modell


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1. One-Way MANOVA MANOVA

p x p Matrizen

Hierin sind die x Vektoren mit p Komponenten (Variablen):

Regel

Die Matrizen B und W werden als inneres Produkt (Zeilen- mal Spalten)

der Variablen-Vektoren aufgebaut und dann über Fälle und Gruppen

summiert. Sie sind stets p x p Matrizen.

Matrix-Notation

Additivität der Variation

Within Group QS

und Kreuzprodukte

Es gilt:

Totale QS und

Kreuzprodukte

Between Group QS

und Kreuzprodukte


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1. One-Way MANOVA MANOVA

W-Matrix

aus gepoolten S- Matrizen

mit Sl der Varianz-Covarianz Matrix in Gruppe l.

B-Matrix

(p=2 Vars

Beispiel)

Treatment (Group) Quadratsummen & Kreuzprodukte

x1

x2

x1

x2

Komponenten

Var

Var

Group


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1. One-Way MANOVA MANOVA

MANOVA

Table

Source of

Variation

Matrix of SS & Cross- Products (SSP)

Degrees of Freedom

g - 1

B

Treatment

W

Error

n- 1

M = B + W

Total

Test-Statistik

Die H0: t1 = t2 = … = tg = 0 wird abgelehnt, wenn

(Quotient der generalisierten Varianzen, „Wilk‘s Lambda“)

zu klein wird.

mit s der Rang der Matrix W-1B und

li ihr i-ter Eigenwert

Alternative Berechnung


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1. One-Way MANOVA MANOVA

Lehne H0 ab, wenn

c2

- Test der

Wilks Statistik

(c2 Verteilung mit p(g-1) Freiheitsgraden, Bartlett)

Für p < 3 und g < 3 sind F-Tests üblich. Bartletts Test ist für

größere Stichproben und eine größere Anzahl Variablen exakt.

Simultane Kontraste

Als Kontraste sind Wilks-Tests oder Hotellings T2 gebräuchlich:

ist verteilt wie

mit

Vorteil der

MANOVA

(Höhere Freiheitsgrade)


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1. One-Way MANOVA MANOVA

Voraussetzung

Homogene

S – Matrizen

Prüfgröße

Box-M Test

ist c2 verteilt mit p(p+1)(g-2)/2 Freiheitsgraden

Voraussetzungund Probleme der Prüfung

Der Test setzt multivariat normalverteilte Populationen voraus.

Ebenso sollte die Anzahl der Messungen in den Gruppen >20 und

die Anzahl der Variablen < 5 sein.

Testung über die Homogenität der Korrelationsmatrizen

(Residualanalyse) prüft nur die Homogenität der Covarianzen,

nicht der Varianzen. Diese können aber mit einem Bartlett Test

Gesondert auf Homogenität geprüft werden.


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